fft和dft的區(qū)別聯(lián)系

快速傅里葉變換（FFT）和離散傅里葉變換（DFT）是信號處理和數(shù)學(xué)計(jì)算領(lǐng)域中最常見的技術(shù)之一。它們都是用于將離散信號從時(shí)域轉(zhuǎn)換到頻域的方法，而在此轉(zhuǎn)換過程中，它們都利用傅里葉級數(shù)的基本原理。雖然FFT算法通過高效的技術(shù)大大提高了計(jì)算速度，但它們與DFT之間仍然存在一些重要的區(qū)別。本文將詳細(xì)介紹FFT和DFT之間的聯(lián)系和區(qū)別。

DFT和FFT的定義

DFT是一種將離散時(shí)間序列信號轉(zhuǎn)換為頻率域信號的技術(shù)。DFT算法將具有N個樣本的時(shí)域信號x(n)解析為具有相同數(shù)量的離散頻率點(diǎn)X(k)的頻域表示。

$$X(k)=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)\cdot e^{-j2\pi kn/N}$$

其中，j表示虛數(shù)單位，N表示樣本長度，k表示頻率索引。DFT算法需要運(yùn)算N次S-FFT和N次復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算。S-FFT表示大小為S的傅里葉變換。

FFT算法則是一種高效計(jì)算DFT算法的技術(shù)，它能夠?qū)個樣本的DFT在O（NlogN）時(shí)間內(nèi)計(jì)算出來。而DFT算法的時(shí)間復(fù)雜度為O（N^2）。FFT通過分治法將長序列劃分為若干個長度較小的子序列并依次進(jìn)行運(yùn)算，因此運(yùn)算復(fù)雜度顯著降低了。

DFT和FFT的區(qū)別

1.時(shí)間復(fù)雜度

如上所述，DFT的時(shí)間復(fù)雜度為O（N^2），而FFT的時(shí)間復(fù)雜度則為O（NlogN）。

2.運(yùn)算方式

DFT算法需要運(yùn)算N次S-FFT和N次復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算，其中S和N之間的關(guān)系是S=N。FFT算法則通過分治法將長序列劃分為若干個長度較小的子序列并依次進(jìn)行運(yùn)算，因此運(yùn)算過程更高效。

3.數(shù)據(jù)的存儲方式

在DFT算法中，需要將N個信號樣本存儲在數(shù)組中，并將其作為參數(shù)傳遞給算法。但在FFT算法中，信號樣本則以螺旋的方式存儲，稱為蛇形的存儲方式。這種存儲方式可以通過遞歸分治方法更方便地進(jìn)行FFT運(yùn)算。

4.計(jì)算機(jī)硬件的需求

DFT算法需要更高的計(jì)算機(jī)存儲和處理能力。因?yàn)樗枰獙個信號樣本以及用于存儲變換輸出的數(shù)組存儲在內(nèi)存中。而FFT算法則將輸入數(shù)據(jù)分為若干段，逐段進(jìn)行計(jì)算，從而更方便地利用計(jì)算機(jī)的處理能力。

DFT和FFT的聯(lián)系

DFT和FFT算法都是基于傅里葉變換原理，將離散時(shí)間序列信號轉(zhuǎn)換為功率譜形式，同時(shí)在某些方面也有相似之處。

首先，它們都可以用于確定離散信號中存在的具體頻率。其次，它們都可以用于信號濾波，這意味著它們都可以刪去不需要的頻率成分，從而獲得所需的頻率范圍。最后，在實(shí)際應(yīng)用中，F(xiàn)FT算法通常更常見，因?yàn)樗浅＿m合于處理大量的信號樣本。

結(jié)論

綜上所述，DFT和FFT算法都是基于傅里葉變換原理，可用于將離散時(shí)間序列信號轉(zhuǎn)換為頻率域信號。FFT通過分治法將長序列劃分為若干個長度較小的子序列并依次進(jìn)行運(yùn)算，從而提高計(jì)算速度。DFT的時(shí)間復(fù)雜度更高，需要更高的計(jì)算機(jī)存儲和處理能力。它們在某些方面也存在聯(lián)系，兩種方法都可以用于確定離散信號的頻率，以及信號的濾波。在實(shí)際應(yīng)用中，F(xiàn)FT算法通常更為常見，因?yàn)樗m用于處理大量的信號樣本。