眾所周知，作為溫度函數(shù)的傳統(tǒng)半導體（Si、Ge 等）的帶隙εg遵循以下定律：

其中T 0 = 300 K，a 》 0 是一個系數(shù)，其值使得ε g 的變化對于設備的適當工作范圍可以忽略不計。

在這項研究中，我們將解釋在一定溫度范圍內對碳化硅樣品進行的本征電導率測量

表明對于這個范圍（比傳統(tǒng)半導體寬得多），帶隙實際上是恒定的。這種情況對于器件的熱穩(wěn)定性至關重要。

實驗室經(jīng)驗

在我們的研究中，實驗室經(jīng)驗包括測量電導率作為數(shù)量的函數(shù)：

進行測量的半導體樣品可以是本征的和外征的（即摻雜的）。在后一種情況下，需要參考本征電導率占主導地位的溫度范圍，因此從現(xiàn)在開始，我們將采用符號σ intr 來表示電導率。

在室溫下，它是

進行測量以將溫度升高到最大值

對應于大約 300 ? C。因此，變量β 的范圍為

然后，我們在對數(shù)尺度上報告σ intr 作為β的函數(shù)，獲得線性下降趨勢。所以我們會寫：

式中，α 》 0 為排列實驗數(shù)據(jù)的直線原點的縱坐標，χ 》 0 為角度系數(shù)的絕對值，如圖 1 所示。

從公式 7 可以得出：

其中A = e α 是具有電導率維度的正常數(shù)，而χ具有能量維度，因為指數(shù)參數(shù)是無量綱的。在這個指數(shù)中，我們認識了同名統(tǒng)計量的玻爾茲曼因子。

圖 1：電導率測量趨勢。在橫坐標上，數(shù)量β = （ k T -1

數(shù)據(jù)圍繞通過插值獲得的直線分布。在室溫下，它是σ intr （ β 0 ） = 2 。02 米/米。

實驗數(shù)據(jù)解讀

在任何理論模型中，半導體的電導率σ很容易從 Drude 模型的擴展中獲得，眾所周知，該模型調節(jié)金屬中的電子電導率（然而，沒有考慮量子效應）。更準確地說，在半導體的情況下，得到

其中 e = 1 。602·10 -19 C是電子電荷的絕對值；n、p分別為導帶電子數(shù)密度和價帶空穴數(shù)密度；μ e 、μ h分別是電子和空穴的遷移率（每單位電場的漂移速度）。對于室溫下的 SiC：

這些量與帶隙寬度成反比；這是一個物理上顯而易見的結果 ［1］。

考慮到電子和空穴的微觀動力學［2］，我們可以寫：

帶星號的數(shù)量分別是電子和空穴的有效質量。我們很快回憶起，這些值測量的是自由粒子在位于 SiC（或任何其他固體、導體/半導體）晶格位置的正離子施加的勢能（周期性）能量后與慣性質量的偏差。 。 簡而言之，質量為m的粒子在空間坐標中的周期性勢能場中的運動等價于不受力但有效質量為m ?的粒子的運動。剩余量τ e ， τ h 是特征時間間隔（弛豫時間），其倒數(shù)是電子-離子（或空穴-離子）碰撞的平均頻率?，F(xiàn)在我們需要確定電子和空穴的濃度，即數(shù)量n，p。作為費米子，我們有單個粒子的能級是根據(jù)費米-狄拉克統(tǒng)計來填充的：

其中μ （ T ） 是費米子的化學勢。準確地說，當ε ≥ ε C和ε ≤ ε V時，單個粒子的能級連續(xù)分布1，即ε C和ε V分別是導帶的最小能量和價帶的最大能量。形式上，我們可以考慮能級的連續(xù)分布：

如圖 2 所示。

圖 2：半導體的價帶和導帶示意圖，由禁帶隔開

它遵循電子

函數(shù)g C （ ε ） 是狀態(tài)的密度，即g C （ ε ） dε是之間的能量狀態(tài)數(shù)

ε和ε + dε是量子典型能級退化的連續(xù)模擬

系統(tǒng)。從［1］：

所以

同樣對于孔

根據(jù)洞的定義：

在統(tǒng)計描述中（因此是大量粒子的行為），量化水平的分布非常密集，因此可以很好地近似于連續(xù)譜。

和

所以

與金屬不同，其中傳導電子構成簡并費米?理想氣體?（因此，它表現(xiàn)出與玻爾茲曼統(tǒng)計量的偏差），半導體中的電子和空穴遠未簡并。從物理上講，這意味著溫度是這樣的

因此，各個分布函數(shù)的指數(shù)分母就單位而言是主要的：

因此，方程 16 到 20 中的積分很容易計算，得到：

這可以看作是一個未知數(shù)μ （ T ） 中的兩個方程組。對于任何半導體（內在或外在），我們都可以擺脫這個未知數(shù)，只需將兩個方程相乘并使用指數(shù)，即可獲得：

在哪里

是所討論的半導體的帶隙。請注意，此結果也適用于摻雜半導體。為了確定化學勢，讓我們參考n = p的本征半導體。根據(jù)公式 23：

從中

如果m? h = m? e

也就是說，無論熱力學平衡溫度是多少，化學勢都落在間隙的中間，如圖 3 所示。

圖 3：對于m? h = m? e，化學勢落在間隙的中間。

再次考慮內在機制，它必須是n = p，因此等式 24 變?yōu)?/p>

在等式 9 中替換返回：

取兩邊的對數(shù)：

存在

我們考慮了流動性對溫度的依賴性。在比較等式 31 和等式 7 之前，讓我們研究 （32） 對β → 0 +的行為。我們有：

因為在無限溫度的限制下，我們期望無限的流動性。相反，在等式 7 中，我們在這里重寫

常數(shù) 0 《 α 《 +∞ 是分布實驗數(shù)據(jù)的直線原點的縱坐標。后者沿著指定的β min上升，低于該值的 ln σ intr 遠離線性趨勢，在 β → 0 + 即 T → +∞ 的極限內正向發(fā)散。但這只是理論上的趨勢，因為對于T ? T 0我們預計半導體會被破壞。

將有效質量近似為電子質量 （ m ? ? m ? ? m e ）：

我們感興趣的區(qū)間由公式 6 給出，并考慮遷移率常數(shù)

其中電子遷移率和間隙遷移率都在室溫下凍結（方程式 10）。有了這個假設，公式 36 寫成：

在上述區(qū)間中，它可以被認為是具有良好近似的常數(shù)（由于分子中的主導項）。所以讓我們假設

我們現(xiàn)在可以寫出插值線的方程：

考慮到實驗數(shù)據(jù)σ intr （ β 0 ） = 2 。02 S/m，而使用Mathematica執(zhí)行的擬合需要角線的系數(shù)，因此：

這是 SiC 半導體的典型帶隙值。

審核編輯：郭婷