電感和電容在 Buck 轉(zhuǎn)換器中構(gòu)成低通濾波器，此 LC 濾波器的轉(zhuǎn)折頻率總是設(shè)計(jì)得較低以便濾除開(kāi)關(guān)紋波。常用的設(shè)計(jì)規(guī)則是，電感電流紋波被設(shè)計(jì)成電感平均電流的 30% 左右。本文引入表達(dá)電感紋波電流和其平均電流的比值的紋波系數(shù)的概念并由它導(dǎo)出電感尺寸的表達(dá)式。通過(guò)利用面積積的概念和方法來(lái)設(shè)計(jì)電感，可以獲得一個(gè)優(yōu)化的紋波系數(shù)范圍，這對(duì)進(jìn)行轉(zhuǎn)換器設(shè)計(jì)時(shí)選擇合適的電感具有很大的幫助。

1. 介紹

Buck 轉(zhuǎn)換器被廣泛應(yīng)用于大量的降壓應(yīng)用中，板上負(fù)載點(diǎn)轉(zhuǎn)換器是這種應(yīng)用的典型例子。從原理上看，它就是用一個(gè)功率開(kāi)關(guān)和一個(gè)自動(dòng)運(yùn)行的續(xù)流二極管構(gòu)成一個(gè)斬波電路將輸入電壓變成一個(gè)矩形波，再通過(guò)一個(gè)低通 LC 濾波器濾除高頻開(kāi)關(guān)紋波和噪聲以后生成一個(gè)基本上是純粹直流電壓供給負(fù)載使用的電路。圖1 顯示了典型的Buck 電路和他的開(kāi)關(guān)波形。

圖1. (a) 典型的 Buck 電路 (b) 開(kāi)關(guān)波形

當(dāng)功率開(kāi)關(guān) Q1 導(dǎo)通時(shí)，續(xù)流二極管反向偏置，輸入電流直接通過(guò) LC 濾波器流向負(fù)載；當(dāng) Q1 關(guān)閉時(shí)，電感電流 iL 強(qiáng)制 D1 正向偏置導(dǎo)通。開(kāi)關(guān)電壓波形如圖1所示為矩形脈沖。經(jīng)過(guò) LC 濾波以后，假設(shè) LC 濾波器的轉(zhuǎn)折頻率遠(yuǎn)低于開(kāi)關(guān)工作頻率，輸出電壓基本上是純粹的直流狀態(tài)。

從濾波器理論很容易理解到，增加電感、減小電容可以導(dǎo)致同樣的輸出紋波效果，但是大電感會(huì)導(dǎo)致大體積和高成本的結(jié)果，反之，使用小電感則要求使用大電容，這并不是一個(gè)純粹的設(shè)計(jì)取舍問(wèn)題。

為了探討此問(wèn)題，讓我們從穩(wěn)態(tài)下的電感電流開(kāi)始思考。

當(dāng)功率開(kāi)關(guān)導(dǎo)通 (ON) 時(shí)，加在電感上的電壓是輸入電壓和輸出電壓之間的電壓差：

電感電流將從 iL(0) 開(kāi)始線性增加：

當(dāng)功率開(kāi)關(guān)截至 (OFF) 時(shí)，加在電感上的電壓與輸出電壓相同，但極性相反：

在此期間，電感電流將以斜率從 iL(Ton) 開(kāi)始線性減少：

根據(jù)電感伏秒平衡的特性，很容易從式 (1) 和 (3) 得到電壓傳輸比：

這也就是占空比。與圖1(b) 進(jìn)行比較，LC 濾波器工作起來(lái)就像一個(gè)平均函數(shù)，而占空比 D 就定義為開(kāi)關(guān)管的導(dǎo)通時(shí)間和一個(gè)開(kāi)關(guān)周期的比。

2. 紋波系數(shù)
圖2 所示為電感電流波形。因?yàn)殡姼兴茈妷菏蔷匦蚊}沖波，所以電感電流是包含一個(gè)支流分量的三角波。

圖2. 電感電流波形電感紋波電流值被定義為

很明顯，負(fù)載電流可表達(dá)為

紋波系數(shù)可被定義為

當(dāng)紋波系數(shù)小于2時(shí)，轉(zhuǎn)換器工作在連續(xù)導(dǎo)通模式 (Continous Conduction Mode, CCM)，否則就是非連續(xù)導(dǎo)通模式 (Discontinuous Conduction Mode, DCM)。由于連續(xù)導(dǎo)通模式下功率元件所受電流應(yīng)力較低，工作在滿載狀態(tài)下的 Buck 轉(zhuǎn)換器一般都被設(shè)計(jì)成工作在這種模式下。因此，本文也只對(duì)連續(xù)導(dǎo)通模式進(jìn)行討論。

等式(8)可以被表現(xiàn)為電壓相關(guān)的形式：

對(duì)于一個(gè)固定的電感量而言，輸入電壓越高，紋波系數(shù)就越高。當(dāng)輸入電壓固定時(shí)，電感量越小，紋波系數(shù)就越高。紋波系數(shù)越高，意味著流過(guò)電容的紋波電流越大，對(duì)于相同的紋波電壓需求來(lái)說(shuō)，就需要更大的電容量。

3. 電感的面積積
從前面的描述中我們已經(jīng)知道，開(kāi)關(guān)導(dǎo)通期間電感儲(chǔ)存能量，開(kāi)關(guān)截至期間電感釋放能量。從原理上講，負(fù)載電流會(huì)流過(guò)電感，所以足夠的線圈空間是必須的。假如設(shè)計(jì)了較低的紋波系數(shù)（或是較高的電感量），較多的線圈匝數(shù)就是必須的，這將導(dǎo)致更大的電感尺寸。我們要在這里引入一個(gè)面積積 (Area Product, AP) 的概念來(lái)表征電感尺寸，它是磁芯的有效橫截面積和線圈窗口面積的乘積，其單位是 m4 而不是表達(dá)體積的 m3，但面積積是和磁芯的體積成正比的。

根據(jù)法拉第定律電感量 (L)、峰值電流 (ipk) 個(gè)磁芯之間的關(guān)系可以表達(dá)為

其中，ipk = io + 1/2 ΔiL，N 是線圈匝數(shù)，Bm 是磁芯的最大磁通密度，AC 是磁芯的有效橫截面積對(duì)于線圈，有下列等式成立

其中，AWT 線圈導(dǎo)體的橫截面積，J 導(dǎo)體中的電流密度，kW 是磁芯的填充系數(shù)，Wa 是線圈窗口面積。結(jié)合 (10) 和 (11) 式，我們可以得到

電感的電流有效值可用它的直流分量和交流分量來(lái)表達(dá)：

等式 (12) 可被重寫為

圖3 顯示了磁芯在不同占空比下的歸一化尺寸和紋波系數(shù)之間的關(guān)系。

圖3. 不同占空比下紋波系數(shù)和電感尺寸之間的關(guān)系

當(dāng)紋波系數(shù)很低時(shí)，磁芯尺寸顯著地增加；當(dāng)紋波系數(shù)較高時(shí)，磁芯尺寸幾乎沒(méi)有什么變化。這意味著在曲線拐彎的區(qū)域存在一個(gè)最優(yōu)化的地帶。從原則上講，高紋波系數(shù)意味著濾波電容也要大，反之亦然。舉例言之，當(dāng)D= 0.3 時(shí)，紋波系數(shù)可以設(shè)定在 0.2~0.4 之間，這樣可以得到比較合適的磁芯尺寸和電容尺寸。

4. 一個(gè)設(shè)計(jì)示例
一個(gè)開(kāi)關(guān)工作頻率為 300kHz 的 Buck 轉(zhuǎn)換器要在下列條件下工作：
Vin = 4 ~ 12V, Vout = 1.8V, Io = 6A, ΔVo = 10mV （輸出電容上的紋波電壓）。設(shè)計(jì)中假設(shè)功率開(kāi)關(guān)和續(xù)流二極管都是理想的，表1 顯示了用傳統(tǒng)方法按照 30% 紋波系數(shù)計(jì)算出的電感量，而按照本文提案的面積積方法得出的經(jīng)過(guò)優(yōu)化的計(jì)算結(jié)果在表2 中列出。

表1. 傳統(tǒng)方法 30% 紋波系數(shù)計(jì)算結(jié)果

表2. 優(yōu)化后方法計(jì)算結(jié)果

在表1中，傳統(tǒng)的計(jì)算方法設(shè)定了相同的紋波電流值，因而輸入電壓較高時(shí)電感值就較大；而在表2中應(yīng)用的是面積積的計(jì)算方法，不同輸入電壓下的電感量基本上是相同的，但輸入電壓較高時(shí)紋波電流也較大。在實(shí)際的高頻設(shè)計(jì)實(shí)踐中，常常采用 POCAP 或 MLCC 作為輸出電容，它們都具有極低的串聯(lián)等效電阻，因此要得到紋波電壓指標(biāo)是很容易的。

5. 總結(jié)
本文提出了一種 Buck 轉(zhuǎn)換器設(shè)計(jì)中電感尺寸和紋波電流之間關(guān)系的理論分析方法，利用面積積方法可在不同輸入電壓下得到優(yōu)化的紋波系數(shù)范圍，可作為 Buck 轉(zhuǎn)換器設(shè)計(jì)中優(yōu)化電感設(shè)計(jì)的指南予以利用。