柵線投影可能在其他領(lǐng)域更多的被成為面結(jié)構(gòu)光，其和DIC或者線結(jié)構(gòu)光技術(shù)相比，有著一些優(yōu)點：測量數(shù)據(jù)點多，由于柵線投影技術(shù)是逐像素點進行獨立求解的（相移方法），所以其可以獲得大量的獨立點云數(shù)據(jù)，以2048*2448的相機為例，其可以獲得500萬級別的數(shù)據(jù)量，但是對于線結(jié)構(gòu)光，一般只能獲得2048或2448的有限倍的數(shù)據(jù)量。 但是，從另一方面而言，固體力學(xué)中主要利用lagrange描述方法的理論，而并不是這種Euler描述，雖然二者之間有著轉(zhuǎn)換理論，但是有著一定的不直觀性。而且當(dāng)位移是發(fā)生在面內(nèi)而不是離面時，柵線投影的測量不敏感（所以DIC和柵線投影的結(jié)合也是一個發(fā)展趨勢）。 下面就講一下柵線投影的相關(guān)理論。 ?

基本原理

柵線投影法實質(zhì)也是一種三角測量方式，通過投影儀和相機光軸呈一定角度來構(gòu)建搭建三角關(guān)系。其反映在具體圖像中，可以認為原本均勻分布的柵線，因為三角關(guān)系的存在，被物體表面的高度信息調(diào)制為特殊的柵線模式（發(fā)生了一定的彎曲變形），如圖所示。示意圖中被測物體選擇了二元高斯密度函數(shù)。

三角關(guān)系示意圖 ?

相位高度關(guān)系

柵線投影法的測量系統(tǒng)一般由投影儀和相機兩個部件組成。其中投影儀負責(zé)向被測量物體表面投射特定模式的柵線圖案，相機負責(zé)采集被投射物體表面的圖像。部分情形下還會在被測量物體后引入一個平面作為載波平面，但是即使不引入，在求解時也可以假設(shè)一個虛平面，不影響系統(tǒng)的測量。 系統(tǒng)的光路圖如下圖所示（一般來說相機光軸和投影儀光軸不可能共面，當(dāng)不共面同樣可以推導(dǎo)，這里為了展示線性關(guān)系所以建立了比較簡單的模型）。其中P為投影儀光心，C為相機光心。O為相機光軸和投影儀光軸的交點。設(shè)通過O點的水平平面為計算中基準(zhǔn)X軸。L1和L2分別為相機光心和投影儀光心到X軸的距離。d為相機光心到投影儀光心沿X軸方向的距離。A-B-0平面為假設(shè)的虛平面，所假設(shè)的虛平面平行于投影儀光心和相機光心的連接線PC。

基本光路圖 首先由平行相似關(guān)系可得虛平面到PC的距離為下：

其中??為??點至??的距離，在后文中，形如??的表達式均代表距離?？紤]物體上的任意一點??,其中點??與點??分別為相機和投影儀通過點??在虛平面上的投影。由于??相似于??，故有以下比例關(guān)系：

故我們可以從方程中解出高度??的表達式，如下：

由于在實際測量中，??遠小于??，故可以忽略其在分母中的存在，將上述公式簡化如下：

若投影儀投射出的光柵圖案具有固定的周期，由于平面（理想的DLP微鏡陣列）至平面的投影為線性映射，故圖案映射在虛平面上也具有固定的周期。在投影的圖案中引入線性的相位 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??信息，綜上所述??與??也呈線性關(guān)系，即： 其中??為B點與A點之間的相位差距，??為Q點與A點之間的相位差距。注意到此理想情況下，以虛平面為基準(zhǔn)面，當(dāng)??時，??，故其為常數(shù)項為0的線性關(guān)系。而在具體實驗系統(tǒng)標(biāo)定時，所設(shè)置的標(biāo)定零平面與虛平面往往不重合，其表達式之間存有一個線性轉(zhuǎn)化關(guān)系，故實際的??與??的線性關(guān)系常數(shù)項不為0，即可進一步表達為： 其中??為標(biāo)定零平面上對應(yīng)點的參考相位，k與b為系統(tǒng)的測量標(biāo)定系數(shù)。上式表明，對于物體表面任意一點的高度??，與相機采集到的投影圖案所對應(yīng)的相位值是呈近似線性關(guān)系的。故在測量中首先對測量系統(tǒng)的k與b進行標(biāo)定，進而只需要求解出物體表面每一點的相位值即可解出物體表面的三維形貌。 較為特殊的，在力學(xué)領(lǐng)域往往更關(guān)心物體的變形信息而不是形貌，在此情況下有： 故若只關(guān)心位移，僅需要對測量系統(tǒng)中的k參數(shù)進行標(biāo)定即可。
? 柵線投影系統(tǒng)的平面標(biāo)定

當(dāng)前對于測量系統(tǒng)標(biāo)定的方法主要有兩類。第一類是將相機、投影儀的內(nèi)參與外參全都標(biāo)定出來，即分別明確投影儀和相機在空間內(nèi)的3個空間坐標(biāo)，3個光軸方向坐標(biāo)和一個傳感器角度坐標(biāo)，通過標(biāo)定出這些參數(shù)，則能夠直接將柵線相位和高度之間的關(guān)系計算出來。第二類是平面標(biāo)定，即通過一個平面標(biāo)定板，對空間不同位置進行多次標(biāo)定，從而建立相位差值和高度之間的關(guān)系。兩種方法相比，雖然平面標(biāo)定需要一個高精度的平移臺做硬件支撐，但其操作簡單，計算精度高，是比較常用的一種方法。投影儀相機聯(lián)合標(biāo)定將在以后的文章中敘述。

同坐標(biāo)相位標(biāo)定方法

同坐標(biāo)相位標(biāo)定算法是一種基于相機同一個像素點的標(biāo)定方法。這種方法采用一個標(biāo)準(zhǔn)平面與一個平移臺。其中平移臺的精度越高越好，因為系統(tǒng)的測量精度取決于平移臺的位移精度。其原理圖如下所示。

同坐標(biāo)相位標(biāo)定方法示意圖 對于相機的某一個像素而言，當(dāng)標(biāo)定板位于??和??位置時采集的相位為??和??。注意這里的相位是投影儀的總相位，即通過投影儀投射一根標(biāo)準(zhǔn)亮條紋確定真實相位所在的周期，再以該周期為起始區(qū)域向四周解包裹得到所用的相位。對于被測量實際物體上的一點，由于相似關(guān)系有：

故對于該點處實測到的相位??，可求算處其相對于標(biāo)定零位面的高度為：

可以看出，二者之間呈一定線性關(guān)系。一般來說，由于可能存在環(huán)境振動和電子元器件噪音，用兩個標(biāo)定面所得到的標(biāo)定結(jié)果不一定精確。故可以增加多個標(biāo)定平面，利用最小二乘技術(shù)直接去將二者線性關(guān)系的參數(shù)擬合出來即可。 等相位坐標(biāo)標(biāo)定方法 等相位坐標(biāo)標(biāo)定算法是一種基于相機不同像素點尋找等相位距離的標(biāo)定方法。其所需要的實驗硬件與上一方法一致。其原理如下所示。

等相位坐標(biāo)標(biāo)定方法示意圖 與前文方法所不同的是，先前為固定對相機的每個像素進行進行標(biāo)定，本方法的實質(zhì)為固定對投影儀的每個像素進行標(biāo)定。由于每個像素所對應(yīng)的相位值是一定的，故將其稱為等相位坐標(biāo)標(biāo)定。對于某一相位值而言，其對應(yīng)在兩個標(biāo)定平面上的位置分別為??與??。同樣利用相似性比例關(guān)系有：

故對于該點處實測到的相位??，記錄其像素位置，再根據(jù)標(biāo)定找出相同相位對應(yīng)的位置??與??，即可求算處其相對于標(biāo)定零位面的高度為：

本標(biāo)定方法的相位值，與前文方法相同，同樣通過投影儀投射一根標(biāo)準(zhǔn)亮條紋確定真實相位所在的周期，再以該周期為起始區(qū)域向四周解包裹得到所用的相位。相位??與其所在的位置??呈一定線性關(guān)系。為了提高標(biāo)定精度，一般同樣增加多個標(biāo)定平面，利用最小二乘技術(shù)直接去將線性參數(shù)進行擬合。 等相位坐標(biāo)標(biāo)定算法與同坐標(biāo)相位標(biāo)定算法相比，可有效消除由于高階諧波不當(dāng)引起的誤差（高階諧波對于測量的影響會在今后的文章中介紹）。這是因為等相位坐標(biāo)標(biāo)定算法在標(biāo)定中將這一誤差也耦合在里標(biāo)定關(guān)系中，這是同坐標(biāo)相位標(biāo)定算法所不能實現(xiàn)的。但是由于等相位坐標(biāo)標(biāo)定算法需要亞像素定位，其定位由于只能通過插值來實現(xiàn)，故定位精度較差會對實際測量精度產(chǎn)生負面影響。

編輯：黃飛