深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)這個(gè)黑箱子，似乎有了更清晰的輪廓。

我們都知道深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)性能十分強(qiáng)大，但具體效果為什么這么好，權(quán)重為什么要這么分配，可能連“設(shè)計(jì)者”自己都不知道如何解釋。

最近，一項(xiàng)來(lái)自UC伯克利和波士頓大學(xué)的研究，就對(duì)這個(gè)黑箱子做了進(jìn)一步的解密：

經(jīng)過(guò)訓(xùn)練和權(quán)重修剪的多層感知器（MLP），與具有相同權(quán)重分布的隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)相比，通常模塊化程度更高。

也就是說(shuō)，在特定條件下，深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是模塊化（modularity）的。

研究人員認(rèn)為：

了解神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的模塊化結(jié)構(gòu)，可以讓研究工作者更容易理解神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部的工作原理。

這項(xiàng)研究還被ICML 2020接收，也已在GitHub開(kāi)源（見(jiàn)文末“傳送門”）。

將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模塊化

為什么要用模塊化來(lái)研究深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)呢？

首先，模塊化系統(tǒng)允許分析系統(tǒng)的研究人員，檢查單個(gè)模塊的功能，并將他們對(duì)單個(gè)模塊的理解合并為對(duì)整個(gè)系統(tǒng)的理解。

其次，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)由不同的層（layer）組成，在定義網(wǎng)絡(luò)時(shí)，不同的層可以單獨(dú)配置。

而通過(guò)實(shí)驗(yàn)，研究人員發(fā)現(xiàn)：

一個(gè)深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是模塊化的，它可以被分割成神經(jīng)元集合，其中每個(gè)神經(jīng)元集合內(nèi)部高度連接，但集合之間的連接度很低。

更具體點(diǎn)來(lái)說(shuō)，研究人員使用圖聚類（graph clustering）算法將訓(xùn)練好的網(wǎng)絡(luò)分解成集群，并將每個(gè)集群視為一個(gè)“模塊”。

采用的聚類算法叫做譜聚類（spectral clustering），用它來(lái)計(jì)算一個(gè)劃分（partition）以及評(píng)估一個(gè)聚類的n-cut。

通俗點(diǎn)來(lái)說(shuō)，就是：

先把數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為圖，所有的數(shù)據(jù)看做是空間中的點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)之間用邊相連。距離較遠(yuǎn)的兩個(gè)點(diǎn)，它們之間邊的權(quán)重值較低，距離較近的兩點(diǎn)之間邊的權(quán)重值較高。

接下來(lái)，進(jìn)行n-cut操作，也就是切圖。目標(biāo)就是要讓切圖后不同的子圖間“邊權(quán)重和”盡可能的低，而子圖內(nèi)的“邊權(quán)重和”盡可能的高。

那么，實(shí)驗(yàn)結(jié)果又如何呢？

實(shí)驗(yàn)主要采用了3個(gè)數(shù)據(jù)集，分別是MNIST、Fashion-MNIST和CIFAR10，并在每個(gè)數(shù)據(jù)集上訓(xùn)練了10次。

可以看到，對(duì)MNIST測(cè)試的正確率為98%，F(xiàn)ashion-MNIST的正確率為90%，而CIFAR-10的正確率為40%。修剪后的網(wǎng)絡(luò)通常比隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)具有更好的聚類性。

下圖顯示了在剪枝前和剪枝后，所有受訓(xùn)練網(wǎng)絡(luò)的n-cut和測(cè)試精度結(jié)果。

△每個(gè)訓(xùn)練網(wǎng)絡(luò)的n-cut和精度的散點(diǎn)圖

為了幫助解釋這些n-cut值，研究人員還對(duì)200個(gè)隨機(jī)初始化的網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行了聚類，n-cut的分布如下圖所示。

△200個(gè)隨機(jī)初始化網(wǎng)絡(luò)n-cut分布的直方圖和核密度估計(jì)

當(dāng)然，作者也指出一點(diǎn)，這項(xiàng)研究的定義只涉及到網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)權(quán)值（learned weight），而不是數(shù)據(jù)分布，更不是模型的輸出或激活的分布。

模塊之間的重要性和依賴性

那么，這些模塊之間的又有怎樣的關(guān)聯(lián)呢？

研究人員進(jìn)一步評(píng)估了不同模塊之間的重要性和關(guān)系。

在神經(jīng)科學(xué)領(lǐng)域中，要想確定大腦某個(gè)區(qū)域的功能，有一種方法是研究這個(gè)區(qū)域意外受損的患者的行為，叫做損傷實(shí)驗(yàn)（lesion experiment）。

類似的，研究人員也采用了這樣的方法：

通過(guò)將模塊的神經(jīng)元激活設(shè)置為0，來(lái)研究模塊的重要性，并觀察網(wǎng)絡(luò)如何準(zhǔn)確地對(duì)輸入進(jìn)行分類。

在這項(xiàng)實(shí)驗(yàn)中，“損傷”的原子單位是每個(gè)模塊與每個(gè)隱含層的交集，稱之為“子模塊”。

重要性

對(duì)于每個(gè)子模塊，將傳入組成神經(jīng)元的所有權(quán)重設(shè)置為0，并保持網(wǎng)絡(luò)的其余部分不變。

然后，確定受損網(wǎng)絡(luò)的測(cè)試集精度，特別是它比整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的精度低了多少。

△使用剪枝和dropout在Fashion-MNIST上訓(xùn)練后，不同子模塊的繪圖

如上圖所示，重要的子模塊會(huì)先標(biāo)記它的層號(hào)，然后再標(biāo)記模塊號(hào)。橫軸表示該層神經(jīng)元在子模塊中的比例，縱軸表示由于子模塊受損而導(dǎo)致精度的下降。

這項(xiàng)實(shí)驗(yàn)表明，許多子模塊太小，不能算作重要模塊，而許多子模塊在統(tǒng)計(jì)上有顯著影響，但在實(shí)際中卻不顯著。然而，有些子模塊顯然對(duì)網(wǎng)絡(luò)的運(yùn)作具有實(shí)質(zhì)的重要性。

依賴性

既然已經(jīng)知道了哪些子模塊是重要的，那么最好還能夠理解這些重要的子模塊是如何相互依賴的。

為了做到這一點(diǎn)，研究人員在不同的層中破壞兩個(gè)不同的重要子模塊，稱之為X和Y。

通過(guò)實(shí)驗(yàn)，研究人員得到了如下結(jié)論：

如果X在Y上不是重要條件，且Y在X上也不是重要條件，那么來(lái)自X上的所有信息都傳遞給了Y。

如果X不是以Y為重要條件，而Y是以X為重要條件，則X將其所有信息發(fā)送給Y，并且Y還從其他子模塊中接收到了信息。

如果Y不是以X為條件的重要條件，而是X是以Y為條件的重要條件，則認(rèn)為Y從X接收其所有信息，然后X將信息發(fā)送到其他子模塊。

如果X和Y都是彼此重要的條件，則無(wú)法得出任何結(jié)論。