我們每個(gè)人從小最先學(xué)的數(shù)學(xué)就是1+1=2，然后就是小九九，因?yàn)檫@是我們長(zhǎng)大以后混世界的最基本的能力，加、減、乘、除是人腦“數(shù)字邏輯”的基礎(chǔ)。作為替代人腦進(jìn)行運(yùn)算的數(shù)字計(jì)算機(jī)，無(wú)論是控制器還是處理器，無(wú)論是簡(jiǎn)單的單片機(jī)還是大型的服務(wù)器，以加、減法為基礎(chǔ)的算術(shù)單元自然是最重要的核心部件。

雖然我們對(duì)十進(jìn)制的加減乘除都已經(jīng)熟悉到了本能的地步，如何讓晶體管構(gòu)建的、以二進(jìn)制為基礎(chǔ)的數(shù)字電路來(lái)實(shí)現(xiàn)我們?nèi)祟愋枰募?、減、乘、除？

著名科普專家“冬瓜哥”在其定價(jià)為600元的巨著《大話計(jì)算機(jī)》開(kāi)篇就對(duì)這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行了闡述：

十余年的困惑，自然是上升到了常人不可達(dá)的層面才想明白的一些道理，有興趣的同學(xué)可以跟著他的思路繞一繞，蘇老師讀了半個(gè)小時(shí)就已經(jīng)感覺(jué)到腦細(xì)胞嚴(yán)重疲勞。

他切入計(jì)算機(jī)的入口就是加法器，準(zhǔn)確地講就是在我們的數(shù)字電路中一帶而過(guò)的Adder - 半加器、全加器以及超前進(jìn)位加法器（很多教程僅給出了半頁(yè)的篇幅）。冬瓜哥得出的結(jié)論是“CPU內(nèi)部就是個(gè)加法器”?？梢?jiàn)它的重要性，也可見(jiàn)我們對(duì)它真的是嚴(yán)重忽略了，就像1+1=2一樣，它重要得實(shí)在太平凡了。

但，它確實(shí)是我們數(shù)字計(jì)算的基礎(chǔ)，理解了它才能夠理解整個(gè)的數(shù)字邏輯世界。

我們先通過(guò)硬禾學(xué)堂制作的一個(gè)7分鐘的視頻教程來(lái)看一下加法器最基本的兩個(gè)示例：

第一個(gè)案例 - 1位半加器

根據(jù)我們?nèi)祟愒谑M(jìn)制領(lǐng)域定義的加法規(guī)則，來(lái)操作2個(gè)1位的數(shù)據(jù)相加，從最基本的門的功能以及加法的規(guī)則需求，我們得到來(lái)實(shí)現(xiàn)它的電路 - 通過(guò)一個(gè)“異或門”得到加法以后的1位的結(jié)果，以及通過(guò)一個(gè)“與門”得到一個(gè)“進(jìn)位”位的值，就像我們十進(jìn)制的加法，如果兩個(gè)數(shù)字相加超過(guò)了一個(gè)“位”（十進(jìn)制的位）能夠表達(dá)的范圍，就要生成一個(gè)進(jìn)位信號(hào)。通過(guò)真值表能夠比較直觀地看出反映2個(gè)輸入位同經(jīng)過(guò)加法操作以后得到的輸出位的關(guān)系。

使用Verilog代碼的1位半加器：

module halfadder （ input a， //第一個(gè)加數(shù)a input b， //第二個(gè)加數(shù)b output sum， //顯示和的led output cout //顯示進(jìn)位的led ）; assign sum=a ^ b; //sum=a⊕b assign cout=a & b; //cout=ab endmodule

第二個(gè)案例 - 1位全加器

畢竟2個(gè)1位的數(shù)相加只是基礎(chǔ)，太局限，我們擴(kuò)展一下，如果需要有超過(guò)1位的數(shù)字相加，該如何操作？那就需要將“進(jìn)位”的值考慮進(jìn)來(lái)，作為一個(gè)輸入，有了進(jìn)位輸入、進(jìn)位輸出的加法器被稱之為“全加器”，全了，誰(shuí)都不缺了。

使用Verilog代碼的1位全加器的Verilog代碼：

module adder1 （ input wire a， //輸入的低位進(jìn)位及兩個(gè)加數(shù)cin、a、b input wire b， input wire cin， output wire sum， //輸出的和與進(jìn)位 output wire cout ）; wire s1，s2，s3; //定義中間變量 xor （s1，a，b）; //調(diào)用基本異或門 xor （sum，s1，cin）; nand （s2，a，b）; //調(diào)用基本與非門 nand （s3，s1，cin）; nand （cout，s2，s3）; endmodule

通過(guò)上面的兩段Verilog代碼，可以看出用Verilog這種硬件描述語(yǔ)言的一些特點(diǎn)，這個(gè)在后面的文章中會(huì)專門介紹。

多數(shù)的“數(shù)字電路”教程關(guān)于加法器也基本上點(diǎn)到此為止了。

但上述的基本單元能用來(lái)做啥的？如果不做擴(kuò)展，同學(xué)們很難有進(jìn)一步的理解，因此我建議大家可以自行做一些擴(kuò)展：

支持多位二進(jìn)制數(shù)相加的并行二進(jìn)制加法器

比如2個(gè)4位二進(jìn)制的加法器，它可以由3個(gè)全加器和1個(gè)半加器構(gòu)成，低位的加法進(jìn)位可以作為相鄰高位加法的一個(gè)輸入端，最低位僅用一個(gè)半加器，最高位生成的進(jìn)位信號(hào)作為后續(xù)電路的輸入。

是不是像極了我們的十進(jìn)制加法？原理是一樣的，只是采用的進(jìn)制不同，而二進(jìn)制可以通過(guò)數(shù)字電路的0、1比較容易地實(shí)現(xiàn)。

了解了加法器，減法器也就不難理解，就像我們十進(jìn)制中的加和減的關(guān)系一樣。它的基本規(guī)則：

0 - 0 = 0

0 - 1 = （借）1 1

1 - 0 = 1

1 - 1 = 0

既然多位的全減器也可以用全加器來(lái)實(shí)現(xiàn)，是不是可以有一種統(tǒng)一的結(jié)構(gòu)能夠?qū)崿F(xiàn)加、減的功能？畢竟減和加是對(duì)偶的，減法也可以看作是+（-）的操作。

統(tǒng)一結(jié)構(gòu)的并行加、減法

從前面的加減法構(gòu)成可以看出，加法器和減法器都可以用共同的加法器來(lái)實(shí)現(xiàn)，如果我們添加一個(gè)控制信號(hào)M，最低位也使用一個(gè)全加器，將這個(gè)M值連接到該全加器的進(jìn)位輸入端，就可以通過(guò)這個(gè)M是0或1來(lái)決定此電路時(shí)加法電路還是減法電路：

M=1的時(shí)候?yàn)闇p法器

M=0的時(shí)候行使加法器的功能。

如果你需要將更多的位數(shù)的二進(jìn)制數(shù)字相加或相減，你可以使用更多個(gè)加法器級(jí)聯(lián)即可得到。細(xì)心和動(dòng)腦的同學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)，如果任何操作需要哪怕一丁點(diǎn)的時(shí)間（有了時(shí)間的概念也就意味著 - 因果之間有了先后，有了“時(shí)延”，我們生存的世界時(shí)間是一個(gè)客觀存在的維度），那么圖中的操作在每個(gè)位上的輸出就會(huì)產(chǎn)生時(shí)間上的差異，最高位的值和進(jìn)位依賴于低位的值和每一位加法操作的時(shí)間（也就是構(gòu)成加法器的門的響應(yīng)時(shí)間）。就像綠燈亮起，并不是所有等待的車同時(shí)啟動(dòng)前行，而是從第一輛車逐級(jí)傳遞過(guò)來(lái)的一樣。

用上述方法構(gòu)建的加法器、減法器，位數(shù)越多，由于電路門時(shí)延帶來(lái)的計(jì)算結(jié)果會(huì)越慢出現(xiàn)，聰明的前輩大神們竟然通過(guò)一系列的邏輯運(yùn)算發(fā)明了“超前進(jìn)位加法器”的結(jié)構(gòu)，即便實(shí)際的電路上每個(gè)操作都有先后帶來(lái)的時(shí)延，我們也可以不需要考慮每個(gè)進(jìn)位的逐級(jí)傳遞，而是一次性地根據(jù)各個(gè)輸入端的位上的值直接得出運(yùn)算以后的結(jié)果。

是不是很不可思議？

為啥需要逐級(jí)傳遞的信息可以提前預(yù)知？為什么在布爾表達(dá)式中的一些變量經(jīng)過(guò)邏輯化簡(jiǎn)以后發(fā)現(xiàn)它們只是打醬油的可有可無(wú)？

我們的生活中是否也是如此？每當(dāng)綠燈亮起的時(shí)候所有的車是否也能同步啟動(dòng)前行？

這些問(wèn)題留給大家思考。

有了加法器、減法器，也就很容易構(gòu)建乘法器 - 重復(fù)多次的加，和除法器 - 重復(fù)多次的減。

因此加法器是構(gòu)成整個(gè)數(shù)字計(jì)算的基礎(chǔ)，是最重要的一個(gè)部件，它的設(shè)計(jì)好壞直接影響了處理器/控制器的性能、性價(jià)比等。

比如在電子森林“電路仿真”中的Brent-Kung樹(shù)形加法器就是一種最小化芯片面積和成本的結(jié)構(gòu)。有興趣的同學(xué)可以點(diǎn)擊https://www.eetree.cn/war/circuitjs.html？lang=zh 來(lái)體驗(yàn)一下。

正如前面文章所述，在FPGA沒(méi)有大面積普及應(yīng)用的年代，曾經(jīng)有一系列的中等規(guī)模的集成電路模塊推出，最著名的就是74系列的器件，其中74HC283就是一種4位超前進(jìn)位的全加器器件。很多高?？赡苓€在拿它做數(shù)電的實(shí)驗(yàn)，

外形長(zhǎng)這樣

內(nèi)部功能這樣

最后，給大家介紹一款國(guó)外公司制作的4位加法器的訓(xùn)練套件

為了方便大家實(shí)驗(yàn)，這個(gè)產(chǎn)品中包含了如下的一些器件：

1個(gè)多路選擇器（CD74HC157E）

2個(gè)寄存器 /4個(gè)D觸發(fā)器 （CD74HC173E）

1個(gè)4位全加器 （CD74HC283E）

1個(gè)6通道具有施密特觸發(fā)器輸入的反相器 （CD74HC14E）

1個(gè)4位幅度比較器 （CD74HC85E）

1個(gè)雙4輸入異或門 （CD74HC4002E）

1個(gè)4組 2輸入異或門 （CD74HC86E）

得說(shuō)，這個(gè)套件的文檔寫得特別的棒，有興趣的老師和同學(xué)可以自己搜一下。

這個(gè)套件用了8顆中等規(guī)模的集成電路，加上很多連線連線。其實(shí)呢，用小腳丫FPGA內(nèi)部的不到1%的資源就能實(shí)現(xiàn)，而且只需要寫很短的幾行Verilog代碼。

責(zé)任編輯：haq