上期我們知道了傳遞函數(shù)的重要性，而傳遞函數(shù)只有線性系統(tǒng)才有，開關(guān)電源并不是一個線性電路，所以我們需要將其線性化。當然，這個線性化肯定是有約束條件的，即在一定條件下才成立。

我如果說秒針是勻速旋轉(zhuǎn)的，大家應該沒什么異議吧，秒針每過1秒轉(zhuǎn)動1小格，確實是勻速旋轉(zhuǎn)，即秒針轉(zhuǎn)的弧度與時間是線性關(guān)系。

但是如果我說秒針是每時每刻都是勻速旋轉(zhuǎn)的，那就不對了吧。仔細觀察的話，這種時鐘，實際是時間每過1秒，迅速轉(zhuǎn)動一小格，然后等待一秒，到了一秒后馬上又轉(zhuǎn)動一小格，所以它的速度并不是每時每刻都是一樣的，期間甚至有靜止不動的時候，即秒針轉(zhuǎn)的弧度與時間并不是絕對的線性關(guān)系。

總之，嚴格來說，秒針轉(zhuǎn)的弧度與時間并不是線性關(guān)系，但是如果滿足一定的條件——時間夠長，我們把它當成線性關(guān)系去看待反而會使問題更為簡單，在計算一定時間秒針轉(zhuǎn)了多少圈這種問題時，得到的結(jié)果也能接受，誤差并不太大。

類似時鐘的例子，在滿足一定條件的時候，開關(guān)電源也可以看成是線性系統(tǒng)。

那問題來了，這個一定條件，到底是什么條件呢？

開關(guān)電源線性化的條件

要知道線性化的條件，那自然要知道開關(guān)電源哪里不是線性的。我們還是以最常見的電壓反饋型的buck為例子吧。

下圖是電壓反饋型的BUCK的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖

整個系統(tǒng)結(jié)構(gòu)主要有4個部分：

1、采樣網(wǎng)絡

2、放大和補償器

3、脈沖調(diào)制器

4、開關(guān)變換器

采用網(wǎng)絡

采樣網(wǎng)絡一般就是指FB上面的兩個分壓電阻，采樣網(wǎng)絡的輸入是電源的輸出Vo，采樣網(wǎng)絡的輸出是FB的電壓，很明顯，它們是線性的。

比如下面buck芯片MP1484電路，這一級的傳遞函數(shù)都能很容易寫出來，是線性的。

放大和補償器

放大和補償器要稍微復雜一點，我們可以打開MP1484的內(nèi)部框圖看看。

放大器工作在線性放大區(qū)，那就是線性的，補償電路一般是阻容RC補償，這一級沒有非線性器件，所以這一級也是線性的。

脈沖調(diào)制器

脈沖調(diào)制器可能看著有點不好處理。

因為前面不論是采樣網(wǎng)絡，還是放大和補償器，它們的輸入和輸出都是電壓信號，且都是模擬量。而這個東西，將輸入的模擬電壓信號搞成PWM波了，我們總不至于說PWM波和前面的模擬量是線性關(guān)系吧（可以通俗理解線性關(guān)系就是比例關(guān)系）。

所以，如果看輸入和輸出的電壓比例關(guān)系，脈沖調(diào)制器這一級就不是線性的。

這一點應該很明白，如果是線性的，輸入是正弦波，那么輸出一定正弦波，不會產(chǎn)生新的頻率成分。

先看看這個PWM是如何產(chǎn)生的？

從放大和補償器出來的信號，我們?nèi)€名字加Vc（t）吧，它是時間的函數(shù)。Vc（t）與芯片內(nèi)部產(chǎn)生的鋸齒波做比較，就能得到PWM波。

產(chǎn)生PWM的原理如下：

1、某一時刻Vc（t）大于鋸齒波的電壓，那么輸出高

2、某一時刻Vc（t）小于鋸齒波的電壓，那么就輸出低

波形圖如下：

我們知道，開關(guān)電源就是通過控制每個開關(guān)周期內(nèi)的導通與關(guān)斷時間來達到控制輸出電壓的目的。也就是占空比d，對系統(tǒng)調(diào)整起決定作用的就是這個PWM的占空比d。

那么我們干脆把占空比d作為這一級的輸出信號。

占空比就是每個開關(guān)周期內(nèi)PWM波為高電平所占的時間百分比，顯然，一個周期內(nèi)占空比只有一個值，一個周期之內(nèi)也只能調(diào)整一次占空比，調(diào)整的位置見上圖中紅色的點。

輸入信號Vc（t）是連續(xù)的信號，而輸出占空比d可以看成是離散的點。這是不是很像是AD采樣？每一個開關(guān)周期對Vc（t）采樣一次，也就是說采樣頻率就是開關(guān)頻率。

顯然，如果采樣率夠高，那么這些采樣出來的點連起來的形狀和Vc（t）是長的一樣的，也就是說輸出占空比d與輸入Vc（t）成線性關(guān)系。

所以，線性化的條件就是采樣率要夠高，夠高是多高呢？根據(jù)奈奎斯特采樣定律，采樣率至少是信號頻率的2倍關(guān)系。

采樣率是開關(guān)頻率，信號是Vc（t），所以Vc（t）不能超過開關(guān)頻率的二分之一。

回到主題，脈沖調(diào)制器這一級線性化的條件就是：輸入信號Vc（t）不能超過開關(guān)頻率的二分之一。

我想，這也是為什么我們會在很多地方看到類似這樣的話：環(huán)路的穿越頻率理論上要小于開關(guān)頻率的二分之一（一般都設置小于1/5以上）。

原因應該就是：如果穿越頻率大于開關(guān)頻率的二分之一，那么這個系統(tǒng)就不能看成是線性系統(tǒng)，這時候穿越頻率就沒了意義（因為它來源于我們把這個系統(tǒng)當線性系統(tǒng)）。

開關(guān)變換器

開關(guān)變換前一級為脈沖調(diào)制器，其輸出信號為占空比d，那么到了開關(guān)變換器這一級，占空比作為其輸入信號了，而輸出信號就是Vo了。

我們看中間節(jié)點SW處，SW處的波形也是占空比為d的PWM波，并且高電平的電壓為電源輸入電壓Vi，在低電平的時候為0。

我們知道，BUCK穩(wěn)定時的占空比就是：d=Vo/Vi（忽略二極管壓降）

變換一下，也就是Vo=Vi*d。一個確定的電路，電源輸入點電壓Vi是確定的（不考慮噪聲），那么Vo與d就是線性關(guān)系，即開關(guān)變換器這一級的輸出與輸入為線性關(guān)系。

另外，Vo肯定是有開關(guān)頻率的紋波的，不過通常這個紋波是幾十mv左右，這里是把這個紋波忽略掉的。因此，我們說它們是線性關(guān)系，其實是有個條件，那就是Vo的輸出紋波很小，可以忽略，這一般稱為小紋波假設。

不過，Vo與d的線性關(guān)系并不總是成立的。

如果是boost，那么其占空比的公式是這樣的：d=1-Vi/Vo，那么Vo=Vi/（1-d），顯然，vo與d并不是線性關(guān)系。這個時候怎么辦呢？

當電源輸入Vi確定時，我們畫出Vo=vi/（1-d）的曲線如下圖：

可以看到，d與Vo并不是線性關(guān)系，但是結(jié)合我們實際使用的情況，一般輸入電壓Vi和Vo確定之后，穩(wěn)定時占空比d是不變的，假設為d0。

如果干擾信號引起的占空比△d變化很小，那么在這個小范圍內(nèi)，Vo與d是可以近似為線性的關(guān)系的。

所以，如果干擾信號比較小的話——小信號假設，這一級也是可以看成線性的。

小結(jié)

開關(guān)電源系統(tǒng)一般劃分為4級：采樣網(wǎng)絡，放大和補償，PWM調(diào)制器，開關(guān)變換器。

采樣網(wǎng)絡，放大和補償這兩級本身就是線性的，PWM調(diào)制器和開關(guān)變換器為非線性的。在滿足下面三個條件時，開關(guān)電源可以看做線性系統(tǒng)。

1、低頻假設：干擾信號的頻率比較低，至少小于開關(guān)頻率的二分之一（注：一些書在建模時的條件：遠小于開關(guān)頻率）。

2、小信號假設：干擾信號的幅度比較小，引起占空比d只在小范圍變化。

3、小紋波假設：開關(guān)造成的輸出紋波幅值很小，可以忽略不計。

審核編輯：郭婷