傳遞函數(shù)零點和極點

傳遞函數(shù)分子多項式和分母多項式經(jīng)因式分解后可寫為如下形式：

Zi是分子多項式零點，稱為傳遞函數(shù)零點，Pj是分母多項式零點，稱為傳遞函數(shù)極點。系數(shù)K*=b0/a0稱為傳遞函數(shù)系數(shù)或根軌跡增益。

比較傳遞函數(shù)的一般表達式:

可知，根軌跡增益是分子和分母代數(shù)方程中最高階項對應(yīng)的系數(shù)比值；

在復(fù)數(shù)平面上表示傳遞函數(shù)零點和極點的圖形，稱為傳遞函數(shù)的零極點分布圖。在圖中一般用O表示零點，用X表示極點；通過研究零極點分布圖可以分析任意參數(shù)變化所對應(yīng)的系統(tǒng)性能指標。

傳遞函數(shù)的分子和分母多項式經(jīng)因式分解后也可以寫為如下因式連乘積形式：

上式中，一次因子對應(yīng)于實數(shù)零極點，二次因子對應(yīng)于共軛復(fù)數(shù)零極點，τ和T為時間常數(shù)，ζ為阻尼比。

定義傳遞函數(shù)系數(shù)K為：

可知，分子分母分解為時間常數(shù)形式，增益是分子和分母代數(shù)方程中零階項對應(yīng)的比值；

這里注意到，二次因子對應(yīng)的共軛復(fù)數(shù)零極點的時間常數(shù)形式，與彈簧和RLC系統(tǒng)獲得二階微分方程很相似：

把彈簧阻尼系統(tǒng)的二階微分方程改寫為如下形式：

可知：

二階系統(tǒng)的標準形式中，時間τ與質(zhì)量M呈現(xiàn)正相關(guān)性，質(zhì)量M越大時間常數(shù)越大。從慣性原理的角度考慮，質(zhì)量越大，慣性越大，物體運動加速度越小，震蕩頻率越低，時間常數(shù)就越大；

阻尼比ζ與阻尼系數(shù)f呈現(xiàn)正相關(guān)性，阻尼系數(shù)越大，阻尼比ζ越大。

阻尼比ζ與質(zhì)量M呈現(xiàn)負相關(guān)性，當f一定時，質(zhì)量M越大，阻尼比ζ越小。這個關(guān)系可以從慣性的角度理解，質(zhì)量M大，說明慣性大，對于同樣大小的彈簧阻尼系數(shù)f，慣性越大的物體，在相等的時間內(nèi)，使其由運動到停止所需要的彈簧阻尼系數(shù)f應(yīng)該更大，即阻尼比ζ應(yīng)該更大，而當彈簧阻尼系數(shù)f不變的情況下，慣性越大的物體由運動到停止所需要的時間更長，等效為阻尼比ζ相對于更大質(zhì)量M來說產(chǎn)生的使物體從運動到停止的單位時間相對阻力更小。

傳遞函數(shù)極點和零點對輸出的影響：

傳遞函數(shù)的極點就是微分方程的特征根，因此它們決定了所描述系統(tǒng)的自由運動模態(tài)。

設(shè)某系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：

可知，極點p1=-1,p2=-2,零點z1=-3.

自由運動模態(tài)為e-t和e-2t。當輸入r(t)=r1+r2e-5t時，可求出系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為：

第一項輸出值為：

第二項輸出值為：

把兩個輸出值進行疊加獲得兩個輸入量的輸出響應(yīng)：

上式中前一項包含了輸入量的模態(tài)，后一項包含了極點-1和-2產(chǎn)生的自由運動模態(tài)；

兩個不同的輸入函數(shù)都形成了自由運動模態(tài)，說明自由運動模態(tài)是系統(tǒng)固有的成分，與輸入函數(shù)形式無關(guān)；但是，如果沒有輸入量，也就不會產(chǎn)生自由模態(tài)，因此，可以認為自由模態(tài)是由輸入函數(shù)激發(fā)而形成的。

傳遞函數(shù)的零點不形成自由模態(tài)，但影響著各個自由模態(tài)在輸出響應(yīng)中的模態(tài)系數(shù)。

設(shè)兩個極點相同零點不同的傳遞函數(shù)：

極點都是-1，-2，零點分別為-0.5和-1.33.

求傳遞函數(shù)的單位階躍響應(yīng)：

上式說明，兩個不同零點的系統(tǒng)，相同的自由模態(tài)對應(yīng)的模態(tài)系數(shù)不相同。

在極點相同情況下，零點接近原點且距離兩個極點的距離都比較遠，對應(yīng)的兩個模態(tài)的系數(shù)大，反之，零點遠離原點且距離兩個極點距離較近，對應(yīng)的兩個模態(tài)的系數(shù)小；

上圖為兩個輸出響應(yīng)曲線

極點靠近原點，自由模態(tài)衰減慢，極點遠離原點，自由模態(tài)衰減快；當零點位于兩個極點之間時，運動模態(tài)系數(shù)符號都為負，系統(tǒng)不會產(chǎn)生過沖。

當零點位于兩個極點右側(cè)時，靠近零點的自由運動模態(tài)系數(shù)為正，由于極點靠近原點，衰減速度慢，所以在曲線上表現(xiàn)為過沖衰減。