通常我們分析的信號(hào)是一個(gè)純實(shí)數(shù)信號(hào)，沒有虛部。經(jīng)典的例子當(dāng)然是用正弦波。當(dāng)我們用傅立葉變換分析，通常是FFT算法，分析信號(hào)時(shí)，絕大多數(shù)人都知道我們將得到的頻率結(jié)果位于0Hz到奈奎斯特頻率（采樣頻率的一半）之間。同時(shí)也明白相應(yīng)的FFT輸出結(jié)果是復(fù)數(shù)形式，因此可以用幅值和相位形式或?qū)嵅亢吞摬啃问奖硎尽?/p>

出于解釋目的，假設(shè)我們使用的正弦波的頻率為128Hz，幅值為5，初相位為60度。信號(hào)的開始部分如圖1所示。現(xiàn)在假設(shè)我們以1024個(gè)樣本點(diǎn)每秒的速率對(duì)這個(gè)信號(hào)采集了4s的數(shù)據(jù)。顯然，這些樣本點(diǎn)稍微人為地作了些選擇，為了避免截取成非周期信號(hào)，并且要確保信號(hào)的頻率正好與FFT的某一條譜線重合。

對(duì)這個(gè)信號(hào)進(jìn)行常規(guī)的FFT計(jì)算，得到幅值和相位形式的結(jié)果如圖2所示。

圖2 FFT的半譜

注意到計(jì)算得到的幅值是2.5，剛好是原信號(hào)幅值的一半。這從數(shù)學(xué)上是正常的，將在后面進(jìn)行說明。然而，一些商業(yè)軟件給出的結(jié)果幅值是5，這是因?yàn)檫@些軟件自動(dòng)對(duì)FFT結(jié)果進(jìn)行加倍。我們也注意到相位是-30度，但我們開始使用的正弦波的初相位是60度。但這-30度卻是正確的，這是因?yàn)镕FT是用余弦定義實(shí)部，正弦定義虛部。因此，F(xiàn)FT的0度，用作余弦波在正峰開始時(shí)的參考。因此，初相位為60度的正弦波與初相位為-30度的余弦波是相同的。

從數(shù)學(xué)上，有

sin(60)=sin(90-30) =sin(90)cos(-30)+cos(90)sin(-30)=cos(-30)

展示的頻率范圍0到奈奎斯特頻率經(jīng)常被稱作半范圍的傅立葉變換。這是一個(gè)全范圍的變換，我們可以選擇的范圍從0至采樣頻率，或者從負(fù)奈奎斯特頻率到正奈奎斯特頻率（-采樣頻率/2至+采樣頻率/2）。后一種形式實(shí)際上更易于解釋，同時(shí)包含了負(fù)頻率的概念，這似乎初看起來更直觀。實(shí)際上的確非常直觀，讓我們回顧一下基本知識(shí)。

按常規(guī)，正旋轉(zhuǎn)是按逆時(shí)針方向。如果我們觀察一個(gè)向量的端點(diǎn)以角頻率ω旋轉(zhuǎn)，那么相應(yīng)的軌跡為正弦波Asinωt=Asin2**π ft 。 波形的過去和未來為圖所示。

圖3 逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的向量

假設(shè)我們現(xiàn)在觀察相同的設(shè)置，但現(xiàn)在這個(gè)向量按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)。

圖4 順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的向量

兩個(gè)波形實(shí)際上是相同的。因此，如果我們測(cè)量這個(gè)正弦波，我們不知道波形何時(shí)開始，我們也不能確定它是否是順時(shí)針方向還是逆時(shí)針方向。實(shí)際上，正頻率相當(dāng)于逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，負(fù)頻率相當(dāng)于順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)。由測(cè)量到的實(shí)數(shù)信號(hào)，我們不同區(qū)分出正負(fù)頻率。

圖5 全范圍的FFT

假設(shè)現(xiàn)在我們要對(duì)相同的正弦波進(jìn)行一個(gè)從-采樣頻率/2至+采樣頻率/2有全范圍的FFT計(jì)算。給出結(jié)果如圖5所示。這有兩個(gè)分量，二者的幅值為2.5，但一個(gè)是負(fù)頻率-128，相位為+30度，另一個(gè)為+128Hz，相位為-30度。這二者組合得到了開始時(shí)的正弦波。對(duì)于一個(gè)純實(shí)數(shù)信號(hào)而言，負(fù)頻率的幅值是正頻率幅值的鏡像，而相位鏡像成負(fù)值。因?yàn)槲覀兡軓恼l率部分完全預(yù)測(cè)出負(fù)頻率部分的幅值和相位，因而，沒有必要去計(jì)算負(fù)頻率，因?yàn)樗鼈儾⒉话嗟男畔ⅰ?/p>

從數(shù)學(xué)公式上用幅值 A ，相位 ? ，描述一個(gè)信號(hào)

Ae ^i?^ =A(cos ? +isin?)，而?=2πf+θ

因此，我們有正頻率成分

Acos (2πf-30)+i Asin (2πf-30)

和負(fù)頻率成分

Acos (-2πf+30)+i Asin (-2πf+30)

因此，整個(gè)信號(hào)有

Acos (2πf-30)+i Asin (2πf-30)+ Acos

(-2πf+30)+i Asin (-2πf+30)

我們記得

cos (-?)= cos (?)

sin(-?)=-sin(?)

因此，我們可以將負(fù)頻率成分寫成

Acos (2πf-30)-i Asin (2πf-30)

將信號(hào)的整個(gè)表達(dá)示進(jìn)行化簡(jiǎn)，得到

2Acos (2πf-30)=2Asin (2πf+30)

這表明，信號(hào)的相位與正頻率成分的相位相同，幅值2倍于正頻率成分的幅值。