摘要：給出了理想光具組系統(tǒng)矩陣的MATLAB計算程序，并借助MATLAB進(jìn)行光線追跡與數(shù)值擬合，得到了像差(球差)的多項式及曲線圖。

0.引 言

幾何光學(xué)把光源或物體看成是由許多幾何點組成，并把由這種點發(fā)出的光抽象成幾何線一樣的光線，那么，只要討論光線的傳播來研究這種點經(jīng)光學(xué)系統(tǒng)的成像，問題就變得非常簡便和實用。盡管幾何光學(xué)所研究的只是一種對真實情況的近似處理方法，按此方法所解決的有關(guān)光學(xué)系統(tǒng)的成像分析、計算和設(shè)計等方面的光學(xué)技術(shù)問題，在大多數(shù)場合下與實際情況相符。所以，幾何光學(xué)有很大的實用意義，是研究光學(xué)儀器理論必不可少的基礎(chǔ)。MATLAB作為一款優(yōu)秀的數(shù)學(xué)軟件，集成了最優(yōu)秀的算法，除具有強大的矩陣計算功能和友好的界面，還具備了良好的可視化性能．這些特點使得 MU蛆在光線計算、像差分析中大顯身手。

1.理想光具組的矩陣計算

幾何光學(xué)定律只在一級近似條件(sinφ≈φ)下成立，根據(jù)費馬定理在近軸條件下推出的物象方程，進(jìn)而得到牛頓公式（），高斯公式（）以及光焦度公式（），使得宏觀光 學(xué)的問題基本解決。對于較復(fù)雜的光學(xué)系統(tǒng)，可以通 過追跡光線，根據(jù)物象相對性原理及逐個球面成像法，求出物體經(jīng)整個系統(tǒng)后所成的像。由于近軸物象空間的光線狀態(tài)的變化可以描述成某種線性關(guān)系，因此，用矩陣方法處理許多折射面組成的復(fù)雜光學(xué)系統(tǒng)尤其便利，只要追隨光線寫下光線的傳遞矩陣及折射矩陣，再依次相乘，就可求出光學(xué)系統(tǒng)的基點和基面，也可得到物象關(guān)系。見表1

下面，以雙膠合望遠(yuǎn)鏡的目鏡為例(如圖1所示)，

圖1.雙膠合透鏡目鏡球差示意光路圖

作有關(guān)系統(tǒng)矩陣的計算，rl=62.5，r2=-43.65，

r3=-124.35，nl=1，n2=1.51633，n3=1.6727，dl=4.0，d2=2.5，入射孔徑半徑a=10。

通過MATLAB編寫的程序，很容易得到S矩陣=矩陣計算程序流程如圖2所示。

圖2. 系統(tǒng)矩陣計算程序流程圖

2.像差分析及可視化

我們已經(jīng)知道，任何實際光學(xué)系統(tǒng)只要在近軸區(qū)，就能象理想光具系統(tǒng)那樣具完善成像的性質(zhì)。因此，即使單個透鏡，只要其相對孔徑(孔徑僬距)和視場很小，也是能夠以單色光成完善像。但是，遺憾的是，只能對近軸小物體以細(xì)光束成完善像的光學(xué)系統(tǒng)并無實際意義，因為恰恰是相對孔徑和視場這兩個參數(shù)與光學(xué)系統(tǒng)的功能和使用價值密切相關(guān)。實際上，任何光學(xué)系統(tǒng)都需根據(jù)儀器的要求而具一定大小的視場和孔徑，它遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出近軸區(qū)所限定的范圍。物面上各點成像光線的實際光路過于偏離理想路徑，是理想成像所應(yīng)有的物象之間的共軛關(guān)系遭到破壞，形成像差。因此，任何實用的光學(xué)系統(tǒng)，旨在校正其像差以達(dá)到良好的成像質(zhì)量，都需要反復(fù)做大量的光路計算。

仍以雙膠合望遠(yuǎn)鏡的目鏡為例，以單色光的軸上點球差為對象，用MATLAB計算并分析像差。當(dāng)透鏡孔徑較大時，光軸上某一點發(fā)出的光束經(jīng)透鏡不再交于一點，這種現(xiàn)象稱為球差。對單色光而言，軸上點成像的不完善僅由球差引起(見球差示意光路)。由于像方截距L'是U或h的函數(shù)，則球差也必然是U或h的函數(shù)。但是L'與U或h之間被一套包括系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)在內(nèi)的光路計算公式所聯(lián)系，無法把球差用U或h顯函數(shù)形式表達(dá)出來。不過，可算出少數(shù)幾條實際光線后，用最小二乘法擬合出U或h多項式函數(shù)。由于光束對光軸的對稱性質(zhì)，δL'的多項式中只能包含U或h的偶次方項，并且，只要計算子午面內(nèi)的子午光線。可按下列公式組計算。

圖3.球差一光線高度曲線圖

4.結(jié)束語

借助腳LAB強大的矩陣計算功能，優(yōu)秀的數(shù)值處理算法以及方便快捷的圖形可視化特點，來解決幾何光學(xué)中的理想光具組計算及像差分析，應(yīng)該是一種有效的工具。

審核編輯：湯梓紅