功率電子轉換器可以視為由分段線性元件(傳統(tǒng)元件如電阻、電感和電容是特例)與電壓源、電流源、二極管和電子開關(如晶閘管、晶體管、MOSFET等)組成。

在此背景下，我們將電子設備(ED)定義為任何具有分段線性電流-電壓特性的電氣或電子元件，盡管這可能是一個不太精確的術語。在許多實際情況下，電子設備可以建模為一個可變電阻，其在導通狀態(tài)下的值非常低，而在阻斷狀態(tài)下的值非常高。在其他情況下，可能需要使用更詳細的半導體模型來表示設備。然而，在系統(tǒng)層面，特別是在建模、仿真和控制設計中，快速切換現(xiàn)象通常不是主要關心的問題。在這些情況下，將二極管和開關視為理想元件更為便利，假設它們在實質上瞬間在打開和關閉狀態(tài)之間切換。

這種特性賦予了系統(tǒng)模型一種混合性質，結合了離散和連續(xù)時間元素。因此，開關電子系統(tǒng)被歸類為混合系統(tǒng)。這些系統(tǒng)通過多種拓撲或模式運行，具體取決于開關設備的狀態(tài)。因此，有必要區(qū)分轉換器的不同模式，為每種模式開發(fā)線性時不變動態(tài)模型，并定義系統(tǒng)在模式之間切換的條件。由此過程得到的模型通常被稱為開關模型，這是許多功率轉換器仿真器(如PLECS)使用的框架。不幸的是，切換的條件可能依賴于狀態(tài)變量(稱為內部控制換相)，這使得開關模型變得越來越復雜，即使對于相對簡單的轉換器拓撲也是如此。

一般來說，構建一個涵蓋所有可能操作條件的開關模型(稱為完整開關模型)對于具有兩個以上電子設備(ED)的轉換器來說變得非常具有挑戰(zhàn)性。這對于涉及具有內部控制換相特征的電子設備的轉換器也是如此。此類場景的一個典型示例是由于某些二極管的阻斷狀態(tài)而發(fā)生的間歇導電模式。

相反，互補模型則易于構建，并能夠捕捉轉換器的所有模式，無需列舉它們，也不假設關于模式順序和切換時間換相時刻的先驗知識。構建功率轉換器互補模型的關鍵思想是將非線性設備(包括二極管和開關)的電壓-電流特性視為網絡動態(tài)線性部分的輸入-輸出，可以利用經典電路理論技術進行建模。模型隨后用電子設備的特性進行補充。

構建功率轉換器互補模型的方法是將ED的特性與它們所處電路分開建模，然后將這些表示與電路的動態(tài)方程整合。在修改后的節(jié)點分析中使用了類似的方法，這是在仿真程序(如PSpice)中采用的建模技術，其中ED的特性通過非線性平滑代數(shù)關系詳細表示。相比之下，在這種方法中，ED被假定為理想的，其特性通過分段仿射關系表示，這是一種為建模和仿真便利而選擇的經典方法。

在這種方法中，功率轉換器被表示為線性時不變動態(tài)系統(tǒng)(記作Σd)的反饋互連，該系統(tǒng)描述電路拓撲，以及一組分段仿射特性(?，λ)，表示電子設備(ED)的電流-電壓特性(見圖1)。在文獻中也稱為Lur’e模型。

可以使用經典電路理論技術，根據(jù)功率轉換器的配置推導出Σd的最小狀態(tài)空間表示。

非遞減的分段仿射ED特性在互補形式中表示，如前一篇文章《開關系統(tǒng)的線性互補模型簡介》中所示。

要構建動態(tài)塊Σd的模型，讓我們將每個第i個電子設備(ED)的電流和電壓視為輸入?i或作為電路其余部分的輸出λi，后者代表系統(tǒng)的動態(tài)部分。通過提取Ns個ED(由線性元件(電阻器、電感器、電容器)和外部源組成)，在非常一般的假設下，所獲得的電路可以通過狀態(tài)空間系統(tǒng)描述：

其中，x是狀態(tài)向量，e表示外部源，?和λ是具有Ns個分量的向量，使得第i個分量對(?i，λi)表示第i個ED的特性。

二極管的線性互補模型

理想二極管(ID)的電壓-電流特性如圖2所示?？梢杂没パa條件簡單表示：

在雙重情況下，當λ是ID電流，?是ID電壓時，通過改變方程2中兩個等式右側的符號可以得到互補模型。電路的拓撲決定了二極管電流應標記為?(從而影響狀態(tài)變量的時間導數(shù))還是λ(因此不進入狀態(tài)的動態(tài)方程，而只滿足代數(shù)方程)。

示例電路

為了展示這種建模技術在實際應用中的應用，我們可以考慮基于半波整流器的電源，如圖3所示。

通過將進入電容器的電流選擇為狀態(tài)變量，以及將二極管的互補表示用?作為電流，λ作為電壓，我們可以使用方程2寫出電路的Lur’e表示：

由此我們最終可以推導出系統(tǒng)的線性互補表示(也稱為線性互補系統(tǒng))：

通過離散化方程4，可以在每個積分步驟中通過解決相應的線性互補問題(LCP)找到解決方案。如所示，一個單一的方程組可以捕捉電路的動態(tài)，消除了對二極管每個狀態(tài)(導電或阻斷)詳細說明每個等效電路的需要。在經典仿真中(無論是使用可變還是固定步長)，求解器必須檢測狀態(tài)的切換(例如，通過電流或電壓的零交叉)，然后更新下一組方程和狀態(tài)變量的初始值。然而，由于現(xiàn)代微處理器的計算能力，這種方法不再是問題。此外，所討論的緊湊表示也對復雜電路的理論分析有價值，因為它使得在一組方程中包含整個系統(tǒng)的動態(tài)成為可能。

為了解決這類問題，開發(fā)了一種特殊算法，稱為Lemke算法。為了提高找到解決方案的性能，可以在Matlab中使用另一個專用求解器，稱為“路徑”。

仿真結果在以下圖中呈現(xiàn)：?和λ在圖4中描繪，而在圖5中它們相對于最大值進行了歸一化，因此可以注意到它們是非負的，并且從未同時為零，因為它們(在這種特定情況下)對應于互補變量，如圖2所述。

結論

大多數(shù)功率電子電路可以建模為線性動態(tài)系統(tǒng)與靜態(tài)分段線性特性的反饋互連，這可以使用一組非負互補變量進行描述。集合值函數(shù)，例如理想二極管中的電壓-電流關系(電壓為零時，電流可以取任何非負值，或者電流為零時，電壓可以取任何非正值)，也可以使用互補變量表示。在這一框架中，可以利用線性互補模型來分析和仿真具有內部切換行為的電路。