文章來(lái)源：SPICE 模型

原文作者：若明

本文介紹了MOSFET中的噪聲機(jī)理及其測(cè)試與建模方法。

在無(wú)線通信中，接收器接收到的信號(hào)非常小，以至于系統(tǒng)中只能容忍有限的噪聲。因此，對(duì)于電路設(shè)計(jì)人員來(lái)說(shuō)，能夠以合理的精度預(yù)測(cè)MOS器件的噪聲以及了解噪聲對(duì)器件幾何和偏置條件的依賴是非常重要的。因此，精確的器件模型應(yīng)該包含噪聲模型，能夠準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)器件的噪聲行為。這篇我們來(lái)聊一聊器件噪聲模型。

常見(jiàn)的器件的噪聲按照物理機(jī)制的不同分類如下圖所示，分為：散粒噪聲，閃爍(1/f)噪聲，熱噪聲，產(chǎn)生-復(fù)合(g-r)噪聲四大類。在一般的頻率范圍內(nèi)，熱噪聲和散粒噪聲的功率譜密度與頻率無(wú)關(guān)，統(tǒng)稱為白噪聲。1/f噪聲和g-r噪聲的功率譜密度與頻率相關(guān)，前者與1/f成正比，后者則按1/(1+f^2/f0^2)規(guī)律變化，其中f0為轉(zhuǎn)折頻率，統(tǒng)稱為有色噪聲。由于這兩種噪聲在低頻情況下顯著，也成為低頻噪聲。在很高的頻率下(如大于1GHz)，熱噪聲和散粒噪聲也將隨頻率變化。當(dāng)頻率接近于器件的高頻截止頻率時(shí)，噪聲隨頻率的增加而上升往往不是因?yàn)槌霈F(xiàn)了新的噪聲機(jī)制，而是由于器件的增益隨頻率下降所致。噪聲問(wèn)題，包括它的SPICE模型，在過(guò)去的幾十年里得到了廣泛的研究。后面我將以BSIM4中的1/f Noise Model和Thermal Noise Model來(lái)和大家做一些討論。

要研究噪聲，我們需要引入幾個(gè)概念，以方便大家理解。

相關(guān)性函數(shù)與功率譜密度（Power Spectral Density，PSD）

統(tǒng)計(jì)平均量

稱為隨機(jī)變量 x 的自相關(guān)函數(shù)。它是 t 時(shí)刻的隨機(jī)量數(shù)值在此時(shí)刻后能夠持續(xù)多長(zhǎng)時(shí)間的度量，反映了隨機(jī)量在不同時(shí)刻數(shù)值之間的相關(guān)性。

設(shè)x(t)為一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)變量，則x(t)的功率譜密度定義為:

式中，f 為頻率；an 為x(t)在時(shí)間區(qū)間 0≤t≤T 內(nèi)的傅里葉展開(kāi)系數(shù)，an*表示an的復(fù)數(shù)共軛值。

根據(jù)維納—辛欽(Wiener—Khintchine)定理，隨機(jī)變量x(t)的自相關(guān)函數(shù)Rx(t)與功率譜密度Sx(f)之間滿足下列關(guān)系:

也就是說(shuō)，Sx(f)是2Rx(t)的傅里葉變換，Rx(t)是Sx(f)/2的傅里葉逆變換。 根據(jù)Rx(t)的定義，令上式中的τ =0，得：

可見(jiàn)，Sx(f)的物理意義是在頻率 f 附近單位頻寬內(nèi)起伏量 x 的均方值。Sx(f)隨頻率 f 變化的曲線就是通常所說(shuō)的噪聲頻譜。它表示x(t)在頻率域的統(tǒng)計(jì)量，表示了隨機(jī)信號(hào)的各個(gè)頻率分量所包含的強(qiáng)度。

二端口網(wǎng)絡(luò)的噪聲理論和參數(shù)表示

在更一般的表述中，MOSFET晶體管可以用如下圖所示的產(chǎn)生噪聲的二端口有源網(wǎng)絡(luò)來(lái)描述。在該圖中，網(wǎng)絡(luò)的輸入輸出導(dǎo)納Yi和Yo均為復(fù)數(shù)。例如，Yi = Gi +jBi，Gi為電導(dǎo)，Bi為電納。

任何二端口噪聲網(wǎng)絡(luò)均可以用一個(gè)相應(yīng)的無(wú)噪二端口網(wǎng)絡(luò)與兩個(gè)外加的噪聲源構(gòu)成的等效電路來(lái)表示。根據(jù)噪聲源的不同組合，這種等效電路有六種不同的表征方法，但是在實(shí)際應(yīng)用中，如下所示，(a)導(dǎo)納表征、(b)阻抗表征和(c)ABCD參數(shù)表征是最為常用的。

每種表征方式中的噪聲特性均可以采用相關(guān)矩陣C來(lái)表示，矩陣中的每個(gè)元素，即功率譜Cs1s2*代表的是噪聲源s1和s2之間的自相關(guān)和互相關(guān)函數(shù)的傅立葉變換，其定義如下：

上式中，左邊是噪聲功率譜密度，右邊是噪聲相關(guān)矩陣。上述三種不同表征的噪聲等效網(wǎng)絡(luò)表示如下，且它們之間是可以相互轉(zhuǎn)化的。

導(dǎo)納表征

這種表征方式通常在兩個(gè)二端口噪聲網(wǎng)絡(luò)并行連接的情況下使用，設(shè)兩個(gè)并聯(lián)網(wǎng)絡(luò)為Y1和Y2，則具體表示如下：

式中，Cimin表示的是輸入端、輸出到噪聲電流的自噪聲功率譜密度和互噪聲功率譜密度；R[Y]代表的是無(wú)源網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)實(shí)部。

阻抗表征

這種表征方式通常在兩個(gè)二端口噪聲網(wǎng)絡(luò)串行連接的情況下使用，設(shè)兩個(gè)并聯(lián)網(wǎng)絡(luò)為Z1和Z2，則具體表示如下：

ABCD參數(shù)表征

這種表征方式通常在兩個(gè)二端口噪聲網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)的情況下使用，設(shè)兩個(gè)并聯(lián)網(wǎng)絡(luò)為A1和A2，則具體表示如下：

式中，A1*表示的是A1矩陣的轉(zhuǎn)置共軛矩陣，相關(guān)矩陣中的每一個(gè)元素均可以從所測(cè)試的噪聲數(shù)據(jù)中得到(Rn, Fmin, Yopt)，這種表征方法在實(shí)際電路噪聲分析中最為常用。

三種不同表征方法之間是可以相互轉(zhuǎn)換的，具體如下表所示：

噪聲的四個(gè)參數(shù)表示

一個(gè)系統(tǒng)的噪聲系數(shù)大小不僅僅取決于系統(tǒng)內(nèi)部產(chǎn)生的噪聲,還與驅(qū)動(dòng)該系統(tǒng)的源導(dǎo)納或源反射系數(shù)有關(guān)，如下圖所示是系統(tǒng)噪聲系數(shù)與源反射系數(shù)之間典型的拋物線關(guān)系，圖中x軸、y軸分別是源反射系數(shù)的實(shí)部和虛部，z軸是系統(tǒng)在一定源反射系數(shù)下的噪聲系數(shù)。它們之間的這一關(guān)系可以采用經(jīng)典的四個(gè)噪聲參數(shù)Fmin, Rn, Gopt, Bopt表示:

噪聲因子（F）：是最常用的噪聲參數(shù)，它描述了二端口網(wǎng)絡(luò)對(duì)輸入噪聲的放大或衰減程度。噪聲因子是網(wǎng)絡(luò)輸出端信噪比與輸入端信噪比的比值，即F=SNRout/SNRin。

最小噪聲因子（Fmin）：二端口網(wǎng)絡(luò)能達(dá)到的最小噪聲因子。

噪聲系數(shù)（NF）：與噪聲因子類似，也是描述二端口網(wǎng)絡(luò)噪聲性能的參數(shù)，通常以分貝（dB）為單位表示，NF=NFmin+matched network factor。

噪聲溫度（T）：與噪聲因子類似，也是描述二端口網(wǎng)絡(luò)噪聲性能的一個(gè)參數(shù)。它將網(wǎng)絡(luò)的噪聲水平與一個(gè)假想的絕對(duì)溫度相聯(lián)系，定義為在相同帶寬下，等效噪聲功率與絕對(duì)溫度的比值，即Tnoise=Pnoise/kΔf。

等效噪聲電阻（Rn）：表征二端口網(wǎng)絡(luò)噪聲源的一種方式，它假設(shè)網(wǎng)絡(luò)的噪聲由輸入端的一個(gè)等效電阻產(chǎn)生，計(jì)算公式為Rn=Pnoise/kTB。

最佳源反射系數(shù)（Γopt）：當(dāng)信號(hào)源的反射系數(shù)為此值時(shí)，二端口網(wǎng)絡(luò)達(dá)到最小噪聲因子。

閃爍(1/f)噪聲

閃爍噪聲通常又被稱為低頻噪聲或 1/f 噪聲。凡是功率譜密度與頻率成反比的隨機(jī)漲落現(xiàn)象均可稱為 1/f 噪聲。在電子器件中 1/f 噪聲的電壓功率譜密度可以寫(xiě)成如下的形式：

其中，I 為通過(guò)器件的電流，f 為頻率，參數(shù) A 由器件結(jié)構(gòu)等特性決定，r 可取 0.8～1.2，對(duì)于均勻材料，β=2.0。

1/f噪聲則與器件中的電流或外加電壓有關(guān)，一旦電流或電壓消失，這些噪聲也就不復(fù)存在。

閃爍(1/f)測(cè)量：

雖然通過(guò)對(duì)直流數(shù)據(jù)進(jìn)行傅里葉變換，隨著時(shí)間的推移進(jìn)行采樣，任何直流測(cè)量系統(tǒng)都可以對(duì)噪聲進(jìn)行表征。如下圖是一個(gè)BJT直流采樣后通過(guò)FFT變換，可以得到Noise的特性。但是這種方法受諸多因素限制，如，DC偏置的影響，采樣的限制，系統(tǒng)噪聲，連線的影響，環(huán)境的影響。測(cè)得的噪聲數(shù)據(jù)波動(dòng)大，數(shù)據(jù)處理麻煩，難以復(fù)現(xiàn)。

因此業(yè)界提出了一些集成方案和設(shè)備。

1/f噪聲模型：

對(duì) 1/f 噪聲的研究有兩種物理模型，一是表面載流子漲落模型，二是遷移率漲落模型。

McWhorter 模型認(rèn)為閃爍噪聲來(lái)自于靠近 Si-SiO2界面的氧化物陷阱對(duì)載流子的俘獲和釋放

Hooge 模型認(rèn)為閃爍噪聲來(lái)自于載流子-聲子散射引起的遷移率波動(dòng)。

在BSIM4模型中提供了兩種1/f噪聲模型，它們可以通過(guò)指定BSIM4噪聲模型flag參數(shù)FNOIMOD進(jìn)行選擇。 FNOIMOD=0

當(dāng)FOIMOD設(shè)為0時(shí)，調(diào)用SPICE2g6 ，SPICE3和BSIM3v3中的一個(gè)簡(jiǎn)單的、經(jīng)驗(yàn)的閃爍噪聲模型。該模型便于手工計(jì)算。該模型計(jì)算出以方安培每赫茲為單位測(cè)量的1/f噪聲功率譜密度為：

式中：KF為1/f噪聲系數(shù)，默認(rèn)值為0.0；AF為溝道電流的指數(shù)，EF為頻率指數(shù)，無(wú)量綱化后的AF和EF默認(rèn)值均設(shè)為1.0。所有這些參數(shù)都是通過(guò)擬合實(shí)測(cè)閃變?cè)肼晹?shù)據(jù)提取的；Coxe是電柵介質(zhì)的單位面積電容。

FNOIMOD=1

當(dāng)FNOIMOD設(shè)置為1 (默認(rèn)選項(xiàng))時(shí)，將采用基于物理的、統(tǒng)一的閃爍噪聲模型(將電荷數(shù)波動(dòng)和遷移率波動(dòng)結(jié)合成更一般的理論)。該模型的噪聲功率譜密度為：

強(qiáng)反型區(qū)：

亞閾值區(qū)：

1/f模型提取

低頻噪聲參數(shù)提取，可以在MBP或者ICCAP中實(shí)現(xiàn)。如果要在ICCAP中實(shí)現(xiàn)，需要在Test Circuit中定義Noise Circuit。具體會(huì)根據(jù)調(diào)用的仿真器不同有所差異。

ICCAP調(diào)用ADS建模

ICCAP調(diào)用SPICE，HSPICE建模

ICCAP中繪制不同尺寸，偏置下的plots進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化擬合。盡量關(guān)注log-log坐標(biāo)軸下線性部分。注意仿真與測(cè)試單位要統(tǒng)一。

熱噪聲

由于閃爍噪聲會(huì)隨頻率的增加而衰減，因此在微波頻率下它變得微不足道。當(dāng)器件的工作頻率高于轉(zhuǎn)角頻率（corner frequency，在轉(zhuǎn)角頻率處溝道熱噪聲與閃爍噪聲大小相等）時(shí)，產(chǎn)生于 MOSFET 器件溝道的熱噪聲成為器件的一個(gè)主要的噪聲源，熱噪聲也被稱為溝道熱噪聲。熱噪聲起源于晶體中載流子的隨機(jī)熱運(yùn)動(dòng)，廣泛存在于各種電阻性元器件之中。熱噪聲的電壓和電流的功率譜密度分別為：

由此可以看出，熱噪聲的大小只與電阻和溫度有關(guān)。

噪聲參數(shù)測(cè)量：

從噪聲參數(shù)的表達(dá)式可以看出，其噪聲參數(shù)是一個(gè)與源阻抗相關(guān)的一個(gè)函數(shù)，其中又包括，最小噪聲系數(shù)，等效電阻和最優(yōu)源阻抗的幅度和相位，總共4個(gè)系數(shù)，為四元一次方程，因此，理論上需要4個(gè)源阻抗即可解出這個(gè)函數(shù)。但是，實(shí)際上4個(gè)源阻抗是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。因?yàn)橛锌赡茉谀承┰醋杩瓜聼o(wú)解。

Focus微波噪聲參數(shù)測(cè)量系統(tǒng)為提取待測(cè)器件( DUT )的準(zhǔn)確噪聲參數(shù)提供了解決方案：最小噪聲系數(shù)、等效噪聲電阻和最佳噪聲反射因子( Gamma和Phase)。如下圖所示，該噪聲測(cè)量系統(tǒng)利用Keysight的PNA-X，主要包括3個(gè)部分：輸入噪聲模塊( INM )、輸出噪聲模塊( ONM )和噪聲模塊控制器( NMC )。這些模塊的設(shè)計(jì)在提高噪聲接收器精度和靈敏度的同時(shí)，也簡(jiǎn)化了系統(tǒng)標(biāo)定和DUT測(cè)量過(guò)程，被業(yè)界廣泛使用。具體測(cè)試方法請(qǐng)參考其手冊(cè)。

溝道熱噪聲模型

在MOSFET熱模型中，熱模型的研究有很多，但都有一個(gè)共同點(diǎn)就是將溝道當(dāng)作一個(gè)獨(dú)立的電阻處理，盡管它不是歐姆的。在BSIM4模型中提供了兩種熱噪聲模型，它們可以通過(guò)指定BSIM4噪聲模型flag參數(shù)TNOIMOD進(jìn)行選擇。

TNOIMOD = 0

這是BSIM4默認(rèn)的溝道熱噪聲模型，它是基于電荷的模型。背后的原理其實(shí)很簡(jiǎn)單，溝道電阻就是將溝道的反型層電荷從源端積分到漏端。

溝道電流：

溝道電阻的微分形式：

積分后可得到：

考慮到串聯(lián)的LDD電阻后，溝道熱噪聲功率譜密度為：

式中，NTNOI引入是為了模型的靈活性和精度，默認(rèn)值為1；只有當(dāng)RDSMOD=0時(shí)，LDD電阻的噪聲在上式中考慮，RDSMOD=1時(shí)，熱噪聲被單獨(dú)的Rd, Rs電阻考慮，Sr(f) = 4kTemp.R。

這一模型適用于工作在線性區(qū)的長(zhǎng)溝道器件。其次，現(xiàn)在將溝道電阻處理為常規(guī)電阻。

TNOIMOD = 1

在GHz范圍內(nèi)，MOSFET溝道必須考慮為一系列沿溝道平行于y軸的分布RC段，如下圖所示。分布柵電容表示電容耦合。每個(gè)電阻段Rch,y產(chǎn)生一個(gè)熱噪聲電壓?vdy，可被該段( gdy , gmy和gmby)特有的漏極電導(dǎo)和柵體跨導(dǎo)調(diào)制，從而在漏極處產(chǎn)生一個(gè)噪聲電流?idy。該溝道噪聲電流的很大一部分可以在GHz頻率下流入柵極和外電路，產(chǎn)生柵極噪聲電流ig，從而產(chǎn)生柵極噪聲電壓vg。這種柵極噪聲被稱為誘導(dǎo)柵極噪聲。

BSIM4中采用了噪聲分割的方法，將總量拆分為如下圖所示的兩部分：一部分認(rèn)為在溝道外部，而另一部分仍然在溝道內(nèi)部。噪聲分割的目的是通過(guò)溝道和柵極之間的分布式RC網(wǎng)絡(luò)來(lái)建模誘導(dǎo)的柵極噪聲電流。

漏極總的噪聲電流功率為：

式中，β稱為有效跨導(dǎo)放大系數(shù)。

柵極噪聲電流功率為：

式中，θ為噪聲分割系數(shù)。

噪聲源分割到源側(cè)引起的漏極噪聲電流功率為：

本征溝道區(qū)漏極噪聲電流功率為：

β和θ的表達(dá)式為：

熱噪聲參數(shù)提?。?/p>

ADS原理圖驗(yàn)證： 從下圖可以看到，NFmin的仿真環(huán)境比較簡(jiǎn)單，主要包含有兩個(gè)端口的Term(分別為50ohm)，以及G和D兩端的bias，外圍PAD的等效部分(這部分會(huì)影響最終的NFmin的仿真結(jié)果，model release之后的結(jié)果是不帶有pad這部分的)，以及S參數(shù)的仿真條件設(shè)置(主要就是起始頻率，終止頻率，步長(zhǎng)，還有注意要勾選Calculate noise)。