“損失函數(shù)”是機器學習優(yōu)化中至關(guān)重要的一部分。L1、L2損失函數(shù)相信大多數(shù)人都早已不陌生。那你了解Huber損失、Log-Cosh損失、以及常用于計算預測區(qū)間的分位數(shù)損失么？這些可都是機器學習大牛最常用的回歸損失函數(shù)哦！

機器學習中所有的算法都需要最大化或最小化一個函數(shù)，這個函數(shù)被稱為“目標函數(shù)”。其中，我們一般把最小化的一類函數(shù)，稱為“損失函數(shù)”。它能根據(jù)預測結(jié)果，衡量出模型預測能力的好壞。

在實際應用中，選取損失函數(shù)會受到諸多因素的制約，比如是否有異常值、機器學習算法的選擇、梯度下降的時間復雜度、求導的難易程度以及預測值的置信度等等。因此，不存在一種損失函數(shù)適用于處理所有類型的數(shù)據(jù)。這篇文章就講介紹不同種類的損失函數(shù)以及它們的作用。

損失函數(shù)大致可分為兩類：分類問題的損失函數(shù)和回歸問題的損失函數(shù)。在這篇文章中，我將著重介紹回歸損失。

本文出現(xiàn)的代碼和圖表我們都妥妥保存在這兒了：

https://nbviewer.jupyter.org/github/groverpr/Machine-Learning/blob/master/notebooks/05_Loss_Functions.ipynb

分類、回歸問題損失函數(shù)對比

均方誤差

均方誤差(MSE)是最常用的回歸損失函數(shù)，計算方法是求預測值與真實值之間距離的平方和，公式如圖。

下圖是MSE函數(shù)的圖像，其中目標值是100，預測值的范圍從-10000到10000，Y軸代表的MSE取值范圍是從0到正無窮，并且在預測值為100處達到最小。

MSE損失（Y軸）-預測值（X軸）

平均絕對值誤差（也稱L1損失）

平均絕對誤差（MAE）是另一種用于回歸模型的損失函數(shù)。MAE是目標值和預測值之差的絕對值之和。其只衡量了預測值誤差的平均模長，而不考慮方向，取值范圍也是從0到正無窮（如果考慮方向，則是殘差/誤差的總和——平均偏差（MBE））。

MAE損失（Y軸）-預測值（X軸）

MSE（L2損失）與MAE（L1損失）的比較

簡單來說，MSE計算簡便，但MAE對異常點有更好的魯棒性。下面就來介紹導致二者差異的原因。

訓練一個機器學習模型時，我們的目標就是找到損失函數(shù)達到極小值的點。當預測值等于真實值時，這兩種函數(shù)都能達到最小。

下面是這兩種損失函數(shù)的python代碼。你可以自己編寫函數(shù)，也可以使用sklearn內(nèi)置的函數(shù)。

# true: Array of true target variable# pred: Array of predictionsdef mse(true, pred): return np.sum((true - pred)**2)def mae(true, pred): return np.sum(np.abs(true - pred)) # also available in sklearnfrom sklearn.metrics import mean_squared_errorfrom sklearn.metrics import mean_absolute_error

下面讓我們觀察MAE和RMSE（即MSE的平方根，同MAE在同一量級中）在兩個例子中的計算結(jié)果。第一個例子中，預測值和真實值很接近，而且誤差的方差也較小。第二個例子中，因為存在一個異常點，而導致誤差非常大。

左圖：誤差比較接近 右圖：有一個誤差遠大于其他誤差

從圖中可以知道什么？應當如何選擇損失函數(shù)？

MSE對誤差取了平方（令e=真實值-預測值），因此若e>1，則MSE會進一步增大誤差。如果數(shù)據(jù)中存在異常點，那么e值就會很大，而e2則會遠大于|e|。

因此，相對于使用MAE計算損失，使用MSE的模型會賦予異常點更大的權(quán)重。在第二個例子中，用RMSE計算損失的模型會以犧牲了其他樣本的誤差為代價，朝著減小異常點誤差的方向更新。然而這就會降低模型的整體性能。

如果訓練數(shù)據(jù)被異常點所污染，那么MAE損失就更好用（比如，在訓練數(shù)據(jù)中存在大量錯誤的反例和正例標記，但是在測試集中沒有這個問題）。

直觀上可以這樣理解：如果我們最小化MSE來對所有的樣本點只給出一個預測值，那么這個值一定是所有目標值的平均值。但如果是最小化MAE，那么這個值，則會是所有樣本點目標值的中位數(shù)。眾所周知，對異常值而言，中位數(shù)比均值更加魯棒，因此MAE對于異常值也比MSE更穩(wěn)定。

然而MAE存在一個嚴重的問題（特別是對于神經(jīng)網(wǎng)絡）：更新的梯度始終相同，也就是說，即使對于很小的損失值，梯度也很大。這樣不利于模型的學習。為了解決這個缺陷，我們可以使用變化的學習率，在損失接近最小值時降低學習率。

而MSE在這種情況下的表現(xiàn)就很好，即便使用固定的學習率也可以有效收斂。MSE損失的梯度隨損失增大而增大，而損失趨于0時則會減小。這使得在訓練結(jié)束時，使用MSE模型的結(jié)果會更精確。

根據(jù)不同情況選擇損失函數(shù)

如果異常點代表在商業(yè)中很重要的異常情況，并且需要被檢測出來，則應選用MSE損失函數(shù)。相反，如果只把異常值當作受損數(shù)據(jù)，則應選用MAE損失函數(shù)。

推薦大家讀一下這篇文章，文中比較了分別使用L1、L2損失的回歸模型在有無異常值時的表現(xiàn)。

文章網(wǎng)址：

http://rishy.github.io/ml/2015/07/28/l1-vs-l2-loss/

這里L1損失和L2損失只是MAE和MSE的別稱。

總而言之，處理異常點時，L1損失函數(shù)更穩(wěn)定，但它的導數(shù)不連續(xù)，因此求解效率較低。L2損失函數(shù)對異常點更敏感，但通過令其導數(shù)為0，可以得到更穩(wěn)定的封閉解。

二者兼有的問題是：在某些情況下，上述兩種損失函數(shù)都不能滿足需求。例如，若數(shù)據(jù)中90%的樣本對應的目標值為150，剩下10%在0到30之間。那么使用MAE作為損失函數(shù)的模型可能會忽視10%的異常點，而對所有樣本的預測值都為150。

這是因為模型會按中位數(shù)來預測。而使用MSE的模型則會給出很多介于0到30的預測值，因為模型會向異常點偏移。上述兩種結(jié)果在許多商業(yè)場景中都是不可取的。

這些情況下應該怎么辦呢？最簡單的辦法是對目標變量進行變換。而另一種辦法則是換一個損失函數(shù)，這就引出了下面要講的第三種損失函數(shù)，即Huber損失函數(shù)。

Huber損失，平滑的平均絕對誤差

Huber損失對數(shù)據(jù)中的異常點沒有平方誤差損失那么敏感。它在0也可微分。本質(zhì)上，Huber損失是絕對誤差，只是在誤差很小時，就變?yōu)槠椒秸`差。誤差降到多小時變?yōu)槎握`差由超參數(shù)δ（delta）來控制。當Huber損失在[0-δ,0+δ]之間時，等價為MSE，而在[-∞,δ]和[δ,+∞]時為MAE。

Huber損失（Y軸）與預測值（X軸）圖示。真值取0

這里超參數(shù)delta的選擇非常重要，因為這決定了你對與異常點的定義。當殘差大于delta，應當采用L1（對較大的異常值不那么敏感）來最小化，而殘差小于超參數(shù)，則用L2來最小化。

為何要使用Huber損失？

使用MAE訓練神經(jīng)網(wǎng)絡最大的一個問題就是不變的大梯度，這可能導致在使用梯度下降快要結(jié)束時，錯過了最小點。而對于MSE，梯度會隨著損失的減小而減小，使結(jié)果更加精確。

在這種情況下，Huber損失就非常有用。它會由于梯度的減小而落在最小值附近。比起MSE，它對異常點更加魯棒。因此，Huber損失結(jié)合了MSE和MAE的優(yōu)點。但是，Huber損失的問題是我們可能需要不斷調(diào)整超參數(shù)delta。

Log-Cosh損失

Log-cosh是另一種應用于回歸問題中的，且比L2更平滑的的損失函數(shù)。它的計算方式是預測誤差的雙曲余弦的對數(shù)。

Log-cosh損失（Y軸）與預測值（X軸）圖示。真值取0

優(yōu)點：對于較小的x，log(cosh(x))近似等于(x^2)/2，對于較大的x，近似等于abs(x)-log(2)。這意味著‘logcosh’基本類似于均方誤差，但不易受到異常點的影響。它具有Huber損失所有的優(yōu)點，但不同于Huber損失的是，Log-cosh二階處處可微。

為什么需要二階導數(shù)？許多機器學習模型如XGBoost，就是采用牛頓法來尋找最優(yōu)點。而牛頓法就需要求解二階導數(shù)（Hessian）。因此對于諸如XGBoost這類機器學習框架，損失函數(shù)的二階可微是很有必要的。

XgBoost中使用的目標函數(shù)。注意對一階和二階導數(shù)的依賴性

但Log-cosh損失也并非完美，其仍存在某些問題。比如誤差很大的話，一階梯度和Hessian會變成定值，這就導致XGBoost出現(xiàn)缺少分裂點的情況。

Huber和Log-cosh損失函數(shù)的Python代碼：

# huber lossdef huber(true, pred, delta): loss = np.where(np.abs(true-pred) < delta , 0.5*((true-pred)**2), delta*np.abs(true - pred) - 0.5*(delta**2)) ? ?return np.sum(loss)# log cosh lossdef logcosh(true, pred): ? ?loss = np.log(np.cosh(pred - true))return np.sum(loss)

分位數(shù)損失

在大多數(shù)現(xiàn)實世界預測問題中，我們通常希望了解預測中的不確定性。清楚預測的范圍而非僅是估計點，對許多商業(yè)問題的決策很有幫助。

當我們更關(guān)注區(qū)間預測而不僅是點預測時，分位數(shù)損失函數(shù)就很有用。使用最小二乘回歸進行區(qū)間預測，基于的假設(shè)是殘差（y-y_hat）是獨立變量，且方差保持不變。

一旦違背了這條假設(shè)，那么線性回歸模型就不成立。但是我們也不能因此就認為使用非線性函數(shù)或基于樹的模型更好，而放棄將線性回歸模型作為基線方法。這時，分位數(shù)損失和分位數(shù)回歸就派上用場了，因為即便對于具有變化方差或非正態(tài)分布的殘差，基于分位數(shù)損失的回歸也能給出合理的預測區(qū)間。

下面讓我們看一個實際的例子，以便更好地理解基于分位數(shù)損失的回歸是如何對異方差數(shù)據(jù)起作用的。

分位數(shù)回歸與最小二乘回歸

左：b/wX1和Y為線性關(guān)系。具有恒定的殘差方差。右：b/wX2和Y為線性關(guān)系，但Y的方差隨著X2增加。（異方差）

橙線表示兩種情況下OLS的估值

分位數(shù)回歸。虛線表示基于0.05和0.95分位數(shù)損失函數(shù)的回歸

附上圖中所示分位數(shù)回歸的代碼：

https://github.com/groverpr/Machine-Learning/blob/master/notebooks/09_Quantile_Regression.ipynb

理解分位數(shù)損失函數(shù)

如何選取合適的分位值取決于我們對正誤差和反誤差的重視程度。損失函數(shù)通過分位值（γ）對高估和低估給予不同的懲罰。例如，當分位數(shù)損失函數(shù)γ=0.25時，對高估的懲罰更大，使得預測值略低于中值。

γ是所需的分位數(shù)，其值介于0和1之間。

分位數(shù)損失（Y軸）與預測值（X軸）圖示。Y的真值為0

這個損失函數(shù)也可以在神經(jīng)網(wǎng)絡或基于樹的模型中計算預測區(qū)間。以下是用Sklearn實現(xiàn)梯度提升樹回歸模型的示例。

使用分位數(shù)損失（梯度提升回歸器）預測區(qū)間

上圖表明：在sklearn庫的梯度提升回歸中使用分位數(shù)損失可以得到90％的預測區(qū)間。其中上限為γ=0.95，下限為γ=0.05。

對比研究

為了證明上述所有損失函數(shù)的特點，讓我們來一起看一個對比研究。首先，我們建立了一個從sinc（x）函數(shù)中采樣得到的數(shù)據(jù)集，并引入了兩項人為噪聲：高斯噪聲分量ε?N（0，σ2）和脈沖噪聲分量ξ?Bern（p）。

加入脈沖噪聲是為了說明模型的魯棒效果。以下是使用不同損失函數(shù)擬合GBM回歸器的結(jié)果。

連續(xù)損失函數(shù)：（A）MSE損失函數(shù)；（B）MAE損失函數(shù)；（C）Huber損失函數(shù)；（D）分位數(shù)損失函數(shù)。將一個平滑的GBM擬合成有噪聲的sinc（x）數(shù)據(jù)的示例：（E）原始sinc（x）函數(shù)；（F）具有MSE和MAE損失的平滑GBM；（G）具有Huber損失的平滑GBM，且δ={4,2,1}；（H）具有分位數(shù)損失的平滑的GBM，且α={0.5,0.1,0.9}。

仿真對比的一些觀察結(jié)果：

MAE損失模型的預測結(jié)果受脈沖噪聲的影響較小，而MSE損失函數(shù)的預測結(jié)果受此影響略有偏移。

Huber損失模型預測結(jié)果對所選超參數(shù)不敏感。

分位數(shù)損失模型在合適的置信水平下能給出很好的估計。

最后，讓我們將所有損失函數(shù)都放進一張圖，我們就得到了下面這張漂亮的圖片！它們的區(qū)別是不是一目了然了呢~