本篇摘錄“信號(hào)與系統(tǒng)3-傅里葉變換與頻域分析”的小部分內(nèi)容，作為正弦波生成的傅里葉級(jí)數(shù)展開法的補(bǔ)充。

1、矢量的正交分解

兩矢量V1與V2正交，夾角為90°，那么兩正交矢量的內(nèi)積為零，如下圖所示。

圖4.2.1 內(nèi)積為零的原因

正交矢量集：由兩兩正交的矢量組成的矢量集合。

非正交矢量的近似表示及誤差：

用與V2成比例的矢量c12V2近似地表示V1，則誤差矢量：

顯然，當(dāng)兩矢量V1與V2正交時(shí)，c12 = 0，即。

矢量正交分解：任意N維矢量可由N維正交坐標(biāo)系表示。

推廣到n維空間：n維空間的任一矢量V，可以精確地示為n個(gè)正交矢量的線性組合，即：

式中，Vi*Vj = 0(i ≠ j)，第r個(gè)分量的系數(shù)。

思路：將矢量空間正交分解的概念可推廣到信號(hào)空間，在信號(hào)空間中找到若干個(gè)相互正交的信號(hào)作為基本信號(hào)，使得信號(hào)空間中任意信號(hào)均可表示成它們的線性組合。

2、信號(hào)的正交分解

【定義】在(t1,t2)區(qū)間的兩個(gè)函數(shù)φ1(t)和φ2(t)，若滿足(兩函數(shù)的內(nèi)積為0)

則稱φ1(t)和φ2(t)在區(qū)間(t1,t2)內(nèi)正交。

說(shuō)明：實(shí)函數(shù)正交(內(nèi)積為0)

正交函數(shù)集：若n個(gè)函數(shù)φ1(t),φ2(t),…φn(t)構(gòu)成一個(gè)函數(shù)集，當(dāng)這些函數(shù)在區(qū)間(t1,t2)內(nèi)滿足

則稱此函數(shù)集為在區(qū)間(t1,t2)上的正交函數(shù)集。

說(shuō)明：如果Ki = 1，稱為標(biāo)準(zhǔn)正交函數(shù)集。

例：兩組典型的在區(qū)間上的完備正交函數(shù)集。

三角函數(shù)集
虛指數(shù)函數(shù)集

對(duì)于兩個(gè)連續(xù)函數(shù)來(lái)說(shuō)，應(yīng)該如何表示正交呢？？？

函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)部有無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)，無(wú)法直接套用內(nèi)積公式。但可以借鑒積分思想，將函數(shù)在一段連續(xù)區(qū)間分割成一份一份，這樣每一份的取值合起來(lái)就可以組成一個(gè)向量。于是可用向量的內(nèi)積表示兩個(gè)函數(shù)是否正交，如圖4.2.2所示。

圖4.2.2兩個(gè)函數(shù)正交

當(dāng)分割的區(qū)間無(wú)限小時(shí)，向量變成無(wú)限維，于是向量的內(nèi)積就可以用積分來(lái)替代了，所以兩個(gè)函數(shù)的正交其實(shí)可以用積分表示。

對(duì)于 sin4x 和 sin2x 求不定積分：∫sin(4x)*sin(2x)dx = 1/4*sin(2x)?1/12*sin(6x)+C，再在一個(gè)周期(-π,π)區(qū)間做定積分，很顯然積分值 = 0。如圖4.2.3所示，一個(gè)周期內(nèi)其圖形處于 X 軸上下方的面積相等，也可得出這兩個(gè)函數(shù)的積分為0，也就是互相正交。

圖4.2.3 積分值為零(m ≠ n)

對(duì)于 sin4x 和 sin4x 求不定積分：∫sin(4x)*sin(4x)dx = 1/2*x?1/16*sin(8x)+C，再在在一個(gè)周期(-π,π)區(qū)間做定積分，很顯然積分值 = π。如圖4.2.4所示，一個(gè)周期內(nèi)其圖形均在 X 軸上方，積分大于0，也就是不正交。

圖4.2.4積分值非零(m = n)

如圖4.2.5的 ∫cos(mx)*sin(nx)*dx、∫cos(mx)*cos(nx)*dx、∫sin(mx)*sin(nx)*dx 的任意兩個(gè)一個(gè)周期內(nèi)做定積分在 m ≠ n 時(shí)值為零，即互相正交。

圖4.2.5 完備的正交函數(shù)集(上海交大-樂經(jīng)良《高等數(shù)學(xué)》)

圖4.2.3與圖4.2.4的積分需要用到三角函數(shù)及其圖像之八、積化和差與和差化積，圖4.2.5用到三角函數(shù)及其圖像之1、通過和差角公式推導(dǎo)。

3、傅里葉級(jí)數(shù)形式★

考慮到一個(gè)函數(shù)可以展開成一個(gè)多項(xiàng)式的和，可惜多項(xiàng)式并不能直觀的表示周期函數(shù)。由于正余弦函數(shù)是周期函數(shù)，可以考慮任意一個(gè)周期函數(shù)表示成為一系列正余弦函數(shù)的和。

將上式進(jìn)行變換：

教課書中的表示：

現(xiàn)在看到(2)式和(3)式的第一項(xiàng)還是不同的。首先確定的表達(dá)形式，對(duì)f(x)進(jìn)行積分：

上式利用三角函數(shù)的正交性，得到了的表達(dá)式：

當(dāng)寫成時(shí)，，此時(shí)(2)式和(3)式便可以表示成一樣了。接下來(lái)的推導(dǎo)中，我們沿用教科書上的表達(dá)，即(3)式。其次我們確定的表達(dá)形式，將(3)式兩邊乘以cos(mx)，再進(jìn)行如下積分：

依據(jù)三角函數(shù)的正交性，可以得到上式的形式。當(dāng)m = n時(shí)：

的三角函數(shù)仍然屬于不同的，根據(jù)三角函數(shù)的正交可知結(jié)果為0。對(duì)于(5)式，當(dāng)m = n時(shí)，

則可以表示為：

類似地，可以確定的表達(dá)式：

對(duì)于(7)式，當(dāng)m = n時(shí)，

則的表達(dá)式如下：

至此，我們可以對(duì)一個(gè)周期為 2π的函數(shù)進(jìn)行傅里葉展開，其形式為：

其中：

數(shù)學(xué)是電子工程的基礎(chǔ)工具和理論支撐。覺得不錯(cuò)，動(dòng)動(dòng)發(fā)財(cái)?shù)男∈贮c(diǎn)個(gè)贊哦！

審核編輯 黃宇