諾頓定理：等效電路分析

諾頓定理是一種通過(guò)將復(fù)雜二端網(wǎng)絡(luò)等效替換為電流源與并聯(lián)電阻的組合來(lái)簡(jiǎn)化電路分析的方法。借助這種方法，即便在電路中包含電壓源或受控電源的情況下，也能準(zhǔn)確計(jì)算負(fù)載上的電流與電壓，進(jìn)而減少?gòu)?fù)雜電路設(shè)計(jì)的工作量。例如，諾頓定理的特點(diǎn)在于：在電路設(shè)計(jì)與學(xué)習(xí)場(chǎng)景中，不僅常用于對(duì)放大器輸出特性的評(píng)估，還易于應(yīng)用于濾波器及放大電路的優(yōu)化工作。

本文將從諾頓定理的基本原理、具體求解方法，到與其他分析方法的區(qū)別，進(jìn)行通俗易懂的介紹。同時(shí)，也將對(duì)諾頓定理的使用要點(diǎn)進(jìn)行整理歸納。

諾頓定理的基本原理

諾頓定理指出：“從兩個(gè)端子看進(jìn)去的任意復(fù)雜線性電路，均可等效替換為一個(gè)電流源(IN)與一個(gè)電阻(RN)相并聯(lián)的電路?！贝送?，諾頓定理的證明與戴維南定理呈表里一體的關(guān)系，二者可相互轉(zhuǎn)換，這是其顯著特征。

所謂“線性電路”，是指電壓與電流的關(guān)系保持線性的電路，通常指包含電阻、線性獨(dú)立電源、受控電源等元器件的電路。即使電路中包含二極管、晶體管等非線性元件，在特定工作點(diǎn)附近，有時(shí)也可通過(guò)采用線性化等效電路來(lái)應(yīng)用，但本文將主要聚焦于線性元器件展開論述。

諾頓定理的優(yōu)勢(shì)之一在于，只需聚焦于連接負(fù)載的端子，即可將復(fù)雜的整個(gè)電路僅用兩個(gè)元器件替換。最終，流過(guò)負(fù)載電阻的電流及端子間施加的電壓的計(jì)算過(guò)程得以簡(jiǎn)化，為設(shè)計(jì)人員及學(xué)習(xí)者帶來(lái)了便利。

構(gòu)成諾頓等效電路的要素

要有效運(yùn)用諾頓定理，必須準(zhǔn)確理解構(gòu)成其等效電路的要素。諾頓等效電路僅由兩個(gè)元器件構(gòu)成，即電流源與并聯(lián)電阻(RN)。掌握這一結(jié)構(gòu)后，即便面對(duì)看似復(fù)雜的電路，也能快速把握其核心本質(zhì)。下文將對(duì)諾頓定理中的核心要素——諾頓電流與諾頓電阻，以及它們之間的相互作用進(jìn)行說(shuō)明。

諾頓電流

應(yīng)用諾頓定理時(shí)，最終可得到一個(gè)名為IN的理想電流源。根據(jù)定義，IN是將兩個(gè)目標(biāo)端子短接(直接連接)時(shí)流過(guò)的電流。

具體而言，需將負(fù)載電阻替換為理想導(dǎo)體，再通過(guò)計(jì)算或測(cè)量得出流入該導(dǎo)體的電流大小。

理想電流源的特性是無(wú)論端子電壓如何變化，都會(huì)持續(xù)提供恒定的電流IN。實(shí)際電路元器件并不具備無(wú)限大的內(nèi)阻，但通過(guò)這種理想化處理，不僅能簡(jiǎn)化電路計(jì)算過(guò)程，還能更清晰地把握電流源與負(fù)載之間的相互作用關(guān)系。

諾頓電阻

在諾頓定理的等效電路中，與電流源并聯(lián)的元件是一個(gè)被稱作RN的電阻，即諾頓電阻。

求解RN時(shí)，需先將電路中的所有獨(dú)立電源進(jìn)行置零處理(電壓源短路、電流源開路)，隨后通過(guò)測(cè)量或計(jì)算，得出此時(shí)兩個(gè)目標(biāo)端子間的等效電阻值。若電路中存在受控電源，則需將其保留在電路中。這是因?yàn)槭芸仉娫吹墓ぷ鳡顟B(tài)依賴于電路中其他部分的信號(hào)，無(wú)法像獨(dú)立電源一樣直接置零。

RN是決定電流源與負(fù)載相互作用方式的重要要素。值得注意的是，可將RN的倒數(shù)視為導(dǎo)納(YN = 1/RN)，這種表述在進(jìn)行并聯(lián)電路變換時(shí)更為便捷。此外，部分文獻(xiàn)還將RN的倒數(shù)GN = 1/RN稱為“諾頓電導(dǎo)”。在計(jì)算并聯(lián)電路時(shí)，有時(shí)從電導(dǎo)角度分析會(huì)更方便，但從理論層面而言，無(wú)論是用RN還是GN，本質(zhì)邏輯一致。從并聯(lián)連接的角度來(lái)看，負(fù)載電阻與RN呈并聯(lián)關(guān)系，這一結(jié)構(gòu)直接影響著負(fù)載電壓與負(fù)載電流的計(jì)算結(jié)果。

諾頓等效電路概述

諾頓等效電路是由一個(gè)電流源(IN)與一個(gè)電阻(RN)并聯(lián)構(gòu)成，且這兩個(gè)元器件的端子以與原電路的負(fù)載連接端子相對(duì)應(yīng)的形式來(lái)呈現(xiàn)。

這一點(diǎn)與采用電壓源VTh和串聯(lián)電阻RTh的戴維南等效電路(結(jié)構(gòu)上為串聯(lián)形式)不同，但二者可相互轉(zhuǎn)換。

諾頓定理的應(yīng)用：諾頓電流與諾頓電阻的求解步驟

應(yīng)用諾頓定理時(shí)，最重要的是掌握諾頓電流(IN)與諾頓電阻(RN)的計(jì)算方法。只要理解短路電流的求解方法，以及將電源置零后求解電阻的步驟，就能分析各類線性電路。下文將逐一說(shuō)明這些步驟，并結(jié)合實(shí)例演示具體的計(jì)算方法。

諾頓電流的求解方法

將待分析電路的兩個(gè)端子短接。

即，將負(fù)載電阻RL進(jìn)行短接處理。

通過(guò)電路方程或電路分析方法，求解該短接電路中流過(guò)的電流。

可使用基爾霍夫定律(KCL、KVL)、歐姆定律、疊加定理等工具。

該短接電流即為IN。

這一電流值將作為諾頓等效電路中理想電流源的參數(shù)值。若電路中存在多個(gè)電源，需將各電源向短接節(jié)點(diǎn)輸送的電流相加，其總和即為諾頓電流。

?示例公式(單一電壓源的場(chǎng)景)

假設(shè)有一個(gè)僅含電壓源VS、串聯(lián)電阻RS，并連接負(fù)載電阻RL的簡(jiǎn)單電路。將RL兩端的端子短接時(shí)，產(chǎn)生的短接電流ISC為：

因此，

可見(jiàn)，在“電路中僅含一個(gè)電壓源和一個(gè)串聯(lián)電阻”的場(chǎng)景下，短接電流可直接表示為VS/RS。但是，對(duì)于含多個(gè)電源或復(fù)雜電阻網(wǎng)絡(luò)的電路，即便同樣進(jìn)行短接操作，分析步驟也會(huì)增加，此時(shí)需使用疊加定理求解最終的短接電流。

諾頓電阻的求解方法

將電路中的所有獨(dú)立電源置零。

電壓源做短接處理，電流源做開路處理。

若電路中存在受控電源，則需保留其在電路中。這是因?yàn)槭芸仉娫葱韪鶕?jù)電路的其他信號(hào)來(lái)工作。

求解從這兩個(gè)端子看進(jìn)去的等效電阻。

可通過(guò)對(duì)電阻進(jìn)行串并聯(lián)組合計(jì)算，或采用節(jié)點(diǎn)分析法來(lái)求解。

求得的電阻即為RN。

該電阻便是諾頓等效電路中的并聯(lián)電阻。

?示例公式

在前面提到的簡(jiǎn)單示例中，將電壓源VS短接后(此時(shí)電路中僅能看到RS)，從這兩個(gè)端子間看到的電阻為：

RN=RS

即便面對(duì)更復(fù)雜的電阻網(wǎng)絡(luò)，只要遵循上述步驟，通過(guò)進(jìn)行電阻串并聯(lián)等效計(jì)算及相關(guān)分析，即可求得最終的等效電阻值。

使用諾頓定理的電路解析例題

不僅要從概念上理解諾頓定理，了解其在實(shí)際計(jì)算與仿真中的應(yīng)用方式也同樣重要。本節(jié)將以包含多個(gè)電源與電阻的電路為例，逐步說(shuō)明求解諾頓等效電路的步驟。通過(guò)這樣的說(shuō)明，大家在解析不同電壓源、電流源及負(fù)載條件下的負(fù)載電阻電壓時(shí)，思路將更加清晰。

電路解析例題

電源與內(nèi)阻

電壓源V1與電阻R1串聯(lián)連接，其負(fù)極連接至節(jié)點(diǎn)B

電壓源V2與電阻R2串聯(lián)連接，其負(fù)極同樣連接至節(jié)點(diǎn)B

節(jié)點(diǎn)N(上部連接點(diǎn))

V1?R1與V2?R2的正極在節(jié)點(diǎn)N處匯合。

電阻R3

電阻R3的一端連接節(jié)點(diǎn)N，另一端連接至節(jié)點(diǎn)A。

負(fù)載電阻RL

RL連接于節(jié)點(diǎn)A與節(jié)點(diǎn)B之間。

諾頓等效電路

分析時(shí)，需先移除RL，再針對(duì)移除后的A-B兩個(gè)端子，求解其諾頓等效電路。

求解諾頓電流

1. 諾頓短接條件的設(shè)定

移除負(fù)載電阻RL，將端子A–B完全短接。

此時(shí)端子A與基準(zhǔn)節(jié)點(diǎn)B處于等電位狀態(tài)，

電阻R3成為連接節(jié)點(diǎn)N與基準(zhǔn)節(jié)點(diǎn)B的獨(dú)立電阻。

2. 求解諾頓電壓VN

設(shè)節(jié)點(diǎn)N的電位為VN(V)，并定義電流的正方向?yàn)椤皬腘指向?qū)?yīng)節(jié)點(diǎn)”，則各支路電流可表示為：

根據(jù)KCL(若電流正方向定義為“從N指向?qū)?yīng)節(jié)點(diǎn)”，則∑流出=0)，可得：

整理后可得：

3. 求解諾頓電流IN

短接電流IN與流過(guò)電阻R3的電流相等，即：

對(duì)分母進(jìn)行整理后可得：

?電流的正方向?yàn)閺墓?jié)點(diǎn)N指向端子B。

?若帶有負(fù)號(hào)，則表明實(shí)際電流方向與正方向相反(即從 B指向A的方向)。

4. 使用注意事項(xiàng)

當(dāng)接入任意負(fù)載電阻RL時(shí)，可利用諾頓電流IN及從端子A–B看進(jìn)去的等效電阻RN(= RTh) = R3 + (R1‖R2)進(jìn)行計(jì)算(計(jì)算時(shí)需將獨(dú)立電源置零，即電壓源短接、電流源開路)。通過(guò)諾頓-戴維南轉(zhuǎn)換，可便捷計(jì)算出電流與電壓的分配關(guān)系。

求解諾頓電阻

求解RN時(shí)，需先將獨(dú)立電源V1與V2置零(電壓源做短接處理，電流源做開路處理)。再求解從連接負(fù)載電阻RL的端子看進(jìn)去的等效電阻。

當(dāng)V1短接后，R1的一端將接地。

當(dāng)V2短接后，R2的一端將接地。

確認(rèn)R3是如何接地的。

仔細(xì)梳理電路的連接狀態(tài)，就能判斷出R1與R2是否為并聯(lián)關(guān)系，或是R3與它們以串并聯(lián)的方式組合。最終合成的電阻值即為RN。若求得IN與RN，諾頓等效電路可直接表示為

IN||RN

的形式。

諾頓定理與戴維南定理的比較

與諾頓定理并列，戴維南定理是電路簡(jiǎn)化的主要方法。直觀上二者呈現(xiàn)出不同的形式，實(shí)則存在密切關(guān)聯(lián)。本節(jié)將明確諾頓等效電路與戴維南等效電路的對(duì)應(yīng)關(guān)系，并探討不同場(chǎng)景下哪種定理的應(yīng)用更便捷。

諾頓定理與戴維南定理的關(guān)系

戴維南定理指出：“任何線性二端網(wǎng)絡(luò)，都可通過(guò)一個(gè)電壓源VTh與串聯(lián)電阻RTh進(jìn)行等效替換”。而諾頓定理則是將同一網(wǎng)絡(luò)用電流源IN與并聯(lián)電阻RN來(lái)表示。兩者的關(guān)系可表示為：

理論上，RTh = RN。無(wú)論電阻的具體合成形式是并聯(lián)、串聯(lián)還是其他復(fù)雜組合，諾頓電阻與戴維南電阻在最終數(shù)值上都是相等的。

定理選擇的判斷要點(diǎn)

兩種定理均有助于簡(jiǎn)化電路，但根據(jù)電路的具體情況，其中一種可能更直觀易用。

戴維南形式：電流源(VTh)+ 串聯(lián)電阻(RTh)

適用于關(guān)注電壓或功率的場(chǎng)景。

便于觀察負(fù)載變化時(shí)電壓的變化規(guī)律。

諾頓形式：電流源(IN) + 并聯(lián)電阻(RN)

適合分析電流的分流情況。

可簡(jiǎn)化含多個(gè)并聯(lián)連接的電路分析。

電路的布局不同，哪種形式更易于自然處理也會(huì)有所不同。

含受控電源或交流元件的電路中的諾頓定理

在實(shí)際設(shè)計(jì)及研究級(jí)別的電路中，往往包含受控電源或交流元件。即便如此，只要電路保持線性，諾頓定理仍然適用。以下將說(shuō)明在含受控電源或受頻率影響的元器件的電路中，應(yīng)用諾頓定理時(shí)的注意事項(xiàng)。

含受控電源的場(chǎng)景

受控電源(又稱受控源)是一種電壓源或電流源，其數(shù)值由電路中其他電氣量決定。只要整個(gè)電路保持線性，諾頓定理即可適用，但即使在將獨(dú)立電源置零時(shí)，也需保留受控電源。

受控電源無(wú)法從電路中完全移除。需在保留控制方程的前提下，計(jì)算IN和RN。

頻率成分

當(dāng)電路中包含電容或電感時(shí)，其阻抗特性會(huì)隨頻率變化而不同。要將諾頓定理擴(kuò)展應(yīng)用于交流分析，需將每個(gè)電容和電感表示為復(fù)阻抗形式。

例如，

如此表示后，即可在復(fù)數(shù)域中對(duì)電路進(jìn)行分析。求解短接電流的步驟以及電源置零的操作，除需采用復(fù)數(shù)進(jìn)行計(jì)算外，本質(zhì)上相同。

諾頓定理的應(yīng)用：最大功率傳輸與負(fù)載調(diào)整

諾頓定理不僅能簡(jiǎn)化電路形式，還可用于評(píng)估負(fù)載條件變化時(shí)的功率傳輸、負(fù)載電流計(jì)算等場(chǎng)景。特別是眾所周知的最大功率傳輸問(wèn)題，借助諾頓等效有時(shí)能直觀理解。本節(jié)將說(shuō)明諾頓形式在優(yōu)化負(fù)載條件、計(jì)算功率時(shí)的作用機(jī)制。

最大功率傳輸?shù)臈l件

最大功率向負(fù)載傳輸?shù)臈l件是：在交流(復(fù)阻抗)的一般情況下，負(fù)載阻抗需等于等效輸出阻抗的復(fù)共軛，即ZL=Z?N(同時(shí)滿足RL=RN, XL=?XN)。若限定為直流(純電阻)，該條件可簡(jiǎn)化為RL=RN 。

設(shè)計(jì)中若能選擇或調(diào)整RL=，使用諾頓等效有時(shí)能簡(jiǎn)化分析。例如放大器的輸出級(jí)等場(chǎng)景，通過(guò)匹配負(fù)載與輸出阻抗以追求最大效率的情況，就是典型應(yīng)用。

快速評(píng)估負(fù)載電流的變化

若已知IN和RN，就能輕松掌握負(fù)載電阻RL變化時(shí)負(fù)載電流的變化規(guī)律。

這相當(dāng)于并聯(lián)電路中的電流分流規(guī)律，而負(fù)載電壓可通過(guò)以下公式計(jì)算：

VL=IL×RL

使用戴維南形式也能完成相同計(jì)算，但當(dāng)分析重點(diǎn)放在電流分流時(shí)，諾頓形式往往更簡(jiǎn)便快捷。

與諾頓定理相關(guān)的拓展主題

掌握諾頓定理后，在實(shí)際應(yīng)用中，將其與其他原理或定理結(jié)合使用十分重要。尤其對(duì)于包含多個(gè)電源或復(fù)雜連接的電路，利用彌爾曼定理或疊加定理，可逐步分解問(wèn)題。本節(jié)將介紹幾個(gè)與諾頓定理密切相關(guān)的拓展主題，以進(jìn)一步深化理解。

諾頓定理與彌爾曼定理的關(guān)系

彌爾曼定理是用于求解多個(gè)帶內(nèi)部電阻的電壓源并聯(lián)時(shí)合成電壓的定理。在應(yīng)用諾頓定理的過(guò)程中，也會(huì)頻繁出現(xiàn)對(duì)并聯(lián)連接的電流源及內(nèi)部電阻進(jìn)行合成的計(jì)算。這與彌爾曼定理所采用的形式化分析方法非常相似。

諾頓定理與疊加定理的結(jié)合

如前所述，求解諾頓電流(IN)時(shí)，若電路中存在多個(gè)獨(dú)立電源，通常會(huì)用到疊加定理。單獨(dú)考慮每個(gè)電源并求解短接電流，再將這些電流相加即可得到IN。這種方法在小規(guī)模電路中雖略顯繁瑣，但步驟明確，且與諾頓定理的兼容性良好。

非線性元件的近似分析

本文此前均以線性電路為前提，但實(shí)際的半導(dǎo)體電路中通常包含非線性元件。即便如此，若在工作點(diǎn)附近對(duì)電路進(jìn)行線性化處理，仍可利用諾頓等效進(jìn)行近似分析。例如，可將晶體管的基極-發(fā)射極結(jié)視為二極管求解小信號(hào)阻抗，并將集電極電流作為受控電源處理，諸如此類的方法均適用。

但如果處理的是跨越工作點(diǎn)、涉及多個(gè)工作區(qū)域的大振幅信號(hào)，直接應(yīng)用諾頓定理會(huì)比較困難。這種情況下，仿真或數(shù)值分析是主流方法。

總結(jié)

截至目前，本文已介紹了諾頓定理的基本概念、等效電路的推導(dǎo)方法、與戴維南定理的關(guān)系，以及在更復(fù)雜場(chǎng)景下的應(yīng)用等內(nèi)容。最后，我們將聚焦諾頓定理的實(shí)用公式，整理其核心要點(diǎn)如下：

諾頓定理的公式

IN：將端子短接時(shí)的短接電流(IN = ISC)

RN：將獨(dú)立電源置零時(shí)，從端子間看到的電阻

負(fù)載電流：IL = IN×RN / (RN+ RL)

負(fù)載電壓：VL = IN×(RN×RL) / (RN+RL)

最大功率傳輸與負(fù)載調(diào)整

最大功率傳輸條件(直流電阻場(chǎng)景)：

當(dāng)RL = RN時(shí)，負(fù)載可獲得最大功率(交流電路中條件為ZL = Z?N)

與戴維南定理的關(guān)系

換算公式：VTh = IN×RN , RTh= RN

與疊加定理、節(jié)點(diǎn)分析的結(jié)合應(yīng)用

電路中存在多個(gè)電源時(shí)，利用疊加定理可更便捷地求解短接電流

可應(yīng)用于含受控電源或交流元件的電路(前提是保持線性)

分析時(shí)需保留受控電源，不可移除

交流元件需以復(fù)阻抗形式處理

諾頓定理是與戴維南定理并列的電路分析基礎(chǔ)方法。

即便對(duì)于包含多個(gè)電源或負(fù)載的復(fù)雜電路，只要掌握諾頓定理的應(yīng)用方法，就能更清晰地掌握電路中的電壓和電流規(guī)律。希望大家能在今后的電路設(shè)計(jì)與學(xué)習(xí)中靈活運(yùn)用。