老伙計(jì)梯度下降算法在深度學(xué)習(xí)中扮演著舉足輕重的地位，今天我們來(lái)從另一個(gè)角度來(lái)看這個(gè)算法的推演。

我們知道，對(duì)于一個(gè)足夠光滑的函數(shù)，大一時(shí)候?qū)W過(guò)的泰勒展開公式告訴我們，在已知該函數(shù)在某一點(diǎn)的各階導(dǎo)數(shù)值的情況之下，可以用這些導(dǎo)數(shù)值做系數(shù)構(gòu)建一個(gè)多項(xiàng)式來(lái)近似函數(shù)在這一點(diǎn)的鄰域中的值。于是，對(duì)于一個(gè)損失函數(shù)函數(shù)g(w)，我們現(xiàn)在知道它在w0處的函數(shù)值以及各階導(dǎo)數(shù)值，如何從w0出發(fā)來(lái)找到g(w)的極小值呢？我們可以對(duì)g(w)在w0點(diǎn)處展開，只保留到一階導(dǎo)數(shù)，得到如下公式（其中▽表示梯度）：

需要注意的是，泰勒公式是一個(gè)近似表達(dá)式，若w距離w0越近，則近似效果越準(zhǔn)確；反過(guò)來(lái)，若w偏離w0較大，那么近似效果就會(huì)比較差。因此，我們?cè)谟蒙鲜絹?lái)代表g(w)的時(shí)候，應(yīng)該遵守一個(gè)約束條件，這個(gè)約束是w距離w0的距離要足夠小。我們可以用距離公式，表示距離的公式有很多，使用最常見(jiàn)的歐幾里得距離公式，并且為了接下來(lái)求導(dǎo)方便，加上一個(gè)系數(shù)1/(2*lr)在前面，于是尋找g(w)的最小值就變成了對(duì)下面表達(dá)式求關(guān)于w的梯度：

求完梯度之后并設(shè)置其等于0，即可得到我們非常熟悉的梯度下降算法的原始公式：

這里的歐幾里得距離公式也可以換成其他距離公式（下文延伸分享其他距離公式）。這同樣也解釋了，我們?yōu)槭裁从袝r(shí)候在損失函數(shù)里面加上一個(gè)L2損失函數(shù)會(huì)更好，這樣可以防止梯度更新步幅過(guò)大，進(jìn)而引發(fā)損失值發(fā)生劇烈的抖動(dòng)。

延伸：

距離表示的是一個(gè)集合中不同元素遠(yuǎn)近的度量，當(dāng)距離為0的時(shí)候表示這兩個(gè)元素是相同的。數(shù)學(xué)中，我們學(xué)過(guò)的距離主要有以下幾種：

上氏中，當(dāng)p取不同值得時(shí)候，又可以細(xì)分為不同的距離，當(dāng)p=1，稱為曼哈頓距離；當(dāng)p=2，稱為歐幾里得距離；當(dāng)p=∞，稱為切比雪夫距離。我們不禁要問(wèn)，它們的區(qū)別是什么？為了更形象地展示它們，我畫了三幅圖來(lái)區(qū)分，每幅圖中箭頭表示的是從中心點(diǎn)到各個(gè)格子中心點(diǎn)的度量：

圖1，曼哈頓距離，它是所有坐標(biāo)軸差值的求和，可以想象一個(gè)城市的街道是完全網(wǎng)格狀的，那么你從一個(gè)地方走到另一個(gè)地方就必須得走成曼哈頓距離的形狀。

圖2，歐幾里得距離，這種距離是最常見(jiàn)的，勾股定理中用的就是這種距離。

圖3，切比雪夫距離，各個(gè)坐標(biāo)軸差值的最大值。

明可夫斯基距離，又稱明氏距離，是一個(gè)定義在賦范空間的距離，賦范空間是指一個(gè)由范數(shù)構(gòu)成的向量空間，明氏距離具有平移不變性和同質(zhì)性，它的公式如下：

除了明氏距離之外，我們?cè)谧匀徽Z(yǔ)言處理中還用過(guò)余弦距離，通常余弦距離是用來(lái)判斷兩個(gè)元素的相似度（例如文檔或段落），我們可以通過(guò)如下公式來(lái)得到余弦距離的計(jì)算：

由此可見(jiàn)我們只關(guān)心兩個(gè)向量的方向是否一致，而并不關(guān)心它們各自的幅度。當(dāng)余弦值為1的時(shí)候，代表兩個(gè)方向完全一致，即有相似性；當(dāng)余弦值為0的時(shí)候，代表兩個(gè)方向正交，可能只有少量相似性；當(dāng)余弦值為-1的時(shí)候，方向完全相反，沒(méi)有相似性。

還有一種距離也蠻常見(jiàn)，叫做馬氏距離，它是衡量一個(gè)點(diǎn)到一個(gè)分布之間的距離，或者說(shuō)偏離程度。給定分布的均值μ和協(xié)方差S，從點(diǎn)x到該分布的馬氏距離的計(jì)算公式如下：

以上就是我們常見(jiàn)的距離及其表達(dá)式。