在之前的濾波器教程中，我們研究了簡(jiǎn)單的一階型低通和高通濾波器，它們的RC濾波器電路設(shè)計(jì)中只包含一個(gè)電阻器和一個(gè)無功元件（電容器）。

在使用濾波器對(duì)信號(hào)的頻譜進(jìn)行整形的應(yīng)用中，例如在通信或控制系統(tǒng)中，滾降的形狀或?qū)挾纫卜Q為“過渡帶”，對(duì)于簡(jiǎn)單的一階濾波器，可能是太長或太寬，因此需要設(shè)計(jì)有多個(gè)“訂單”的有源濾波器。這些類型的過濾器通常稱為“高階”或“n th -order”過濾器。

復(fù)雜性或過濾器類型由過濾器“order”定義，這取決于其設(shè)計(jì)中的電容器或電感器等無功元件的數(shù)量。我們還知道，滾降率和過渡帶的寬度取決于濾波器的階數(shù)和簡(jiǎn)單的一階濾波器，它具有20dB / decade或6dB的標(biāo)準(zhǔn)滾降率。 /octave.

然后，對(duì)于具有n th 數(shù)字順序的濾波器，它將具有20n dB / decade或6n dB / octave的后續(xù)滾降率。因此，一階濾波器的滾降率為20dB / decade（6dB /倍頻程），二階濾波器的滾降率為40dB / decade（12dB /倍頻程），四階濾波器具有滾降率為80dB / decade（24dB / octave）等等。

高階濾波器，例如三階，四階和五階通常是通過單個(gè)級(jí)聯(lián)在一起形成的 -

例如，兩個(gè)二階低通濾波器可以級(jí)聯(lián)在一起，產(chǎn)生一個(gè)四階低通濾波器，依此類推。盡管可以形成的濾波器的順序沒有限制，但隨著順序的增加，其尺寸和成本也會(huì)增加，其精度也會(huì)下降。

十年和八度

一個(gè)關(guān)于十年和 Octaves 的最終評(píng)論。在頻率范圍內(nèi)，十年是十倍增加（乘以10）或十倍減少（除以10）。例如，2到20Hz代表十年，而50到5000Hz代表二十年（50到500Hz，然后是500到5000Hz）。

Octave是倍增（乘以2）或?qū)㈩l率刻度減半（除以2）。例如，10到20Hz代表一個(gè)倍頻程，而2到16Hz是三個(gè)倍頻程（2到4,4到8，最后是8到16Hz），每次倍頻。無論哪種方式，對(duì)數(shù)標(biāo)度在頻域中廣泛用于表示使用放大器和濾波器時(shí)的頻率值，因此了解它們非常重要。

對(duì)數(shù)頻率標(biāo)度

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由于頻率確定電阻器全部相等，并且頻率確定電容器，截止或角落也是如此第一，第二，第三或甚至四階濾波器的頻率（? C ）也必須相等，并使用我們現(xiàn)在熟悉的等式找到： / p>

與一階和二階濾波器一樣，三階和四階高通濾波器由簡(jiǎn)單地在等效低通濾波器中交換頻率確定部件（電阻器和電容器）的位置?？梢园凑瘴覀冎霸诘屯V波器和高通濾波器教程中看到的步驟設(shè)計(jì)高階濾波器。但是，高階濾波器的總增益是固定的因?yàn)樗蓄l率確定分量都相等。

濾波器近似值

到目前為止，我們已經(jīng)看過了低通和高通一階濾波器電路，它們產(chǎn)生的頻率和相位響應(yīng)。一個(gè)理想的濾波器將為我們提供最大通帶增益和平坦度的規(guī)范，最小阻帶衰減以及阻止頻帶滾降（轉(zhuǎn)換頻帶）的非常陡峭的通帶，因此顯然會(huì)有大量的網(wǎng)絡(luò)響應(yīng)滿足這些要求。

毫不奇怪，線性模擬濾波器設(shè)計(jì)中有許多“近似函數(shù)”，它們使用數(shù)學(xué)方法來最好地逼近濾波器設(shè)計(jì)所需的傳遞函數(shù)。

這種設(shè)計(jì)被稱為Elliptical，Butterworth，Chebyshev，Bessel，Cauer以及許多其他人。在這五個(gè)“經(jīng)典”線性模擬濾波器近似函數(shù)中，只有Butterworth濾波器，尤其是低通巴特沃斯濾波器設(shè)計(jì)在這里被認(rèn)為是最常用的函數(shù)。 / p>

低通巴特沃斯濾波器設(shè)計(jì)

巴特沃斯濾波器近似函數(shù)的頻率響應(yīng)通常也被稱為“最大平坦”（無波紋）響應(yīng)，因?yàn)橥◣гO(shè)計(jì)為具有頻率響應(yīng)，該頻率響應(yīng)在數(shù)學(xué)上可以從0Hz（DC）變?yōu)槠教?，直?3dB的截止頻率沒有紋波。超過截止點(diǎn)的較高頻率在阻帶中以20dB / decade或6dB /倍頻程下降至零。這是因?yàn)樗哂小百|(zhì)量因子”，“Q”僅為0.707。

然而，Butterworth濾波器的一個(gè)主要缺點(diǎn)是它以寬帶過渡帶為代價(jià)實(shí)現(xiàn)了這種通帶平坦度。當(dāng)濾波器從通帶變?yōu)樽鑾r(shí)。它的相位特性也很差。對(duì)于不同的濾波器階數(shù)，理想的頻率響應(yīng)（稱為“磚墻”濾波器）和標(biāo)準(zhǔn)巴特沃斯近似值如下所示。

巴特沃斯濾波器的理想頻率響應(yīng)

請(qǐng)注意，巴特沃斯濾波器階數(shù)越高，濾波器設(shè)計(jì)中的級(jí)聯(lián)級(jí)數(shù)越高，濾波器越接近理想的“磚墻”然而，在實(shí)踐中，Butterworth的理想頻率響應(yīng)是無法實(shí)現(xiàn)的，因?yàn)樗鼤?huì)產(chǎn)生過多的通帶紋波。

其中廣義方程表示“nth”訂購Butterworth濾波器，頻率響應(yīng)如下：

其中： n 表示濾波器順序，Omega ω等于2π?，Epsilon ε是最大通帶增益（A max ）。如果A max 的定義頻率等于截止-3dB角點(diǎn)（?c），則ε將等于1，因此ε 2 也將是一個(gè)。但是，如果您現(xiàn)在希望將A max 定義為不同的電壓增益值，例如1dB或1.1220（1dB = 20 * logA max ）則新值epsilon，ε可通過以下方式找到：

轉(zhuǎn)換等式給出：

過濾器的頻率響應(yīng)可以通過傳遞函數(shù)<在數(shù)學(xué)上定義/ b>標(biāo)準(zhǔn)電壓傳遞函數(shù) H（jω）寫為：

注意：（jω）也可以寫成（s）來表示S域。和結(jié)果傳遞函數(shù)一秒鐘 - 階低通濾波器如下：

歸一化低通巴特沃斯濾波器多項(xiàng)式

幫助他的設(shè)計(jì)低通濾波器，Butterworth生成歸一化二階低通多項(xiàng)式的標(biāo)準(zhǔn)表，給出系數(shù)值對(duì)應(yīng)于1弧度/秒的截止轉(zhuǎn)角頻率。

（1個(gè)+ S）（1 + 0.618s + S 2 ）（1 + 1.618s + S 2 ）

濾波器設(shè)計(jì) - 巴特沃斯低通

查找有源低通巴特沃斯濾波器的順序其規(guī)格如下： A max = 0.5dB ，通帶頻率（ωp）為200弧度/秒（31.8Hz），在800弧度/秒的阻帶頻率（ωs）處， A min = -20dB 。還要設(shè)計(jì)合適的巴特沃斯濾波器電路以滿足這些要求。

首先，最大通帶增益 A max = 0.5dB 等于增益1.0593，記住：0.5dB = 20 * log（A），頻率（ωp）為200 rads / s，因此epsilon ε的值可通過以下方式找到：

其次，最小阻帶增益A min = -20dB，等于增益（-20dB = 20 * log（A））在800 rads / s或127.3Hz的阻帶頻率（ωs）。

代替值為Butterworth濾波器頻率響應(yīng)的一般方程給出了以下內(nèi)容：

自 n 必須始終為整數(shù)（整數(shù)），然后下一個(gè)最高值為2.42 n = 3 ，因此需要“三階濾波器”并且要產(chǎn)生三階巴特沃茲濾波器，需要與一階濾波器級(jí)級(jí)聯(lián)的二階濾波器級(jí)。

從歸一化低通Butte上面的rworth多項(xiàng)式表，三階濾波器的系數(shù)給出為（1 + s）（1 + s + s 2 ），這給了我們一個(gè)增益 3-A = 1 ，或 A = 2 。當(dāng) A = 1 +（Rf / R1）時(shí)，為反饋電阻 Rf 和電阻 R1 選擇一個(gè)值會(huì)得到1kΩ和1kΩ分別為：（1kΩ/1kΩ）+ 1 = 2 。

我們知道截止角頻率，-3dB點(diǎn)（ω o ）可以使用公式 1 / CR 找到，但我們需要找到ω o 來自通帶頻率ω p 然后，

因此，截止轉(zhuǎn)角頻率為284 rads / s或45.2Hz，（284 /2π）并使用熟悉的公式 1 / CR 我們可以找到三階電路的電阻和電容值。

注意最接近的首選值為0.352 uF為0.36uF，或 360nF 。

三階巴特沃斯低通濾波器

最后我們的三階低通電路巴特沃斯濾波器帶有截止角啁啾為284 rads / s或45.2Hz，最大通帶增益為0.5dB，最小阻帶增益為20dB，構(gòu)造如下：

因此我們的三階巴特沃斯低通濾波器的轉(zhuǎn)折頻率為45.2Hz，C = 360nF且R =10kΩ