波特圖的定義

波特圖是線性非時(shí)變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)對(duì)頻率的半對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖，其橫軸是頻率，縱軸以對(duì)數(shù)尺度（logscale）表示，利用波特圖可以看出系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。波特圖一般是由二張圖組合而成，一張幅頻圖表示頻率響應(yīng)增益的分貝值對(duì)頻率的變化，另一張相頻圖則是頻率響應(yīng)的相位對(duì)頻率的變化。

波特圖可以用電腦軟件（如MATLAB）或儀器繪制，也可以自行繪制。利用波特圖可以看出在不同頻率下，系統(tǒng)增益的大小及相位，也可以看出大小及相位隨頻率變化的趨勢(shì)。

波特圖的圖形和系統(tǒng)的增益，極點(diǎn)、零點(diǎn)的個(gè)數(shù)及位置有關(guān)，只要知道相關(guān)的資料，配合簡(jiǎn)單的計(jì)算就可以畫出近似的波特圖，這是使用波特圖的好處。

波特圖（Bode Plots）

波特圖（Bode Plots）可用來確認(rèn)回路的穩(wěn)定性，回路的增益（Loop Gain，單位：dB）是頻率（Frequency）的函數(shù)（圖5：典型的波特圖）。 回路增益可以用網(wǎng)絡(luò)分析儀（Network Analyzer）測(cè)量。 網(wǎng)絡(luò)分析儀向反饋回路（Feedback Path）注入低電平的正弦波（Sine Wave），隨著直流電壓（DC）的不斷升高， 這些正弦波信號(hào)完成掃頻，直到增益下降到0dB。然后測(cè)量增益的響應(yīng)（Gain Response）。

圖5

波特圖是很方便的工具，它包含判斷閉環(huán)系統(tǒng)（Closed-loop System）穩(wěn)定性的所有必要信息。 包括下面幾個(gè)關(guān)鍵參數(shù)：環(huán)路增益（Loop Gain），相位裕度（Phase Margin）和零點(diǎn)（Zeros）、極點(diǎn)（Poles）。

波特圖分析

用包含三個(gè)極點(diǎn)和一個(gè)零點(diǎn)的波特圖（圖11：波特圖）來分析增益和相位裕度。

圖11

假設(shè)直流增益（DC gain）為80dB，第一個(gè)極點(diǎn)（pole）發(fā)生在100Hz處。在此頻率，增益曲線的斜度變?yōu)椋?0dB/十倍頻程。1kHz處的零點(diǎn)使斜度變?yōu)?dB/十倍頻程，到10kHz處斜度又變成－20dB/十倍頻程。在100kHz處的第三個(gè)也是最后一個(gè)極點(diǎn)將斜度最終變?yōu)椋?0dB/十倍頻程。

圖11中可看到單位增益點(diǎn)（Unity Gain Crossover，0dB）的交點(diǎn)頻率（Crossover Frequency）是1MHz。0dB頻率有時(shí)也稱為回路帶寬（Loop Bandwidth）。

相位偏移圖表示了零、極點(diǎn)的不同分布對(duì)反饋信號(hào)的影響。為了產(chǎn)生這個(gè)圖，就要根據(jù)分布的零點(diǎn)、極點(diǎn)計(jì)算相移的總和。在任意頻率（f）上的極點(diǎn)相移，可以通過下式計(jì)算獲得： 極點(diǎn)相移 ＝ -arctan（f/fp） （6）

在任意頻率（f）上的零點(diǎn)相移，可以通過下式計(jì)算獲得： 零點(diǎn)相移 ＝ -arctan（f/fz） （7）

此回路穩(wěn)定嗎？為了回答這個(gè)問題，我們根本無需復(fù)雜的計(jì)算，只需要知道0dB時(shí)的相移（此例中是1MHz）。

前兩個(gè)極點(diǎn)和第一個(gè)零點(diǎn)分布使相位從-180°變到+90°，最終導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)相位轉(zhuǎn)變到-90°。最后一個(gè)極點(diǎn)在十倍頻程中出現(xiàn)了0dB點(diǎn)。代入零點(diǎn)相移公式，可以計(jì)算出該極點(diǎn)產(chǎn)生了－84°的相移（在1MHz時(shí)）。加上原來的-90°相移，全部的相移是-174°（也就是說相位裕度是6°）。由此得出結(jié)論，該回路不能保持穩(wěn)定，可能會(huì)引起振蕩。

波特圖應(yīng)用

現(xiàn)在以一簡(jiǎn)單的低通濾波器來窺探下波特圖的魅力。

傳遞函數(shù)

我們將該點(diǎn)叫做頻率轉(zhuǎn)折點(diǎn)，在頻率較低的范圍內(nèi)，增益大約為1，在頻率較高的范圍內(nèi)，系統(tǒng)增益以-20dB/10倍頻的速度下降。在濾波器設(shè)計(jì)中，也就是我們常聽到的3dB帶寬的截止頻率。低通濾波器的波特圖頻率響應(yīng)部分如下所示：

由于正切函數(shù)是非線性的，描述其特性比較難搞，其實(shí)我們可以依據(jù)我們擁有的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)來近似描述該函數(shù)：

位為0°、45°和90°。在波特圖的相頻圖中畫出相應(yīng)曲線，如下圖所示：

以上以一簡(jiǎn)單的一階低通濾波器作為例子進(jìn)行系統(tǒng)的波特圖分析和畫制，在實(shí)際的工程中，常常會(huì)因?yàn)椴捎枚鄠€(gè)電容和電阻構(gòu)成了更加負(fù)責(zé)的系統(tǒng)，其實(shí)原理分析都是如此，只不過在分析過程中，找出關(guān)鍵位置的頻率點(diǎn)，就能掌握系統(tǒng)傳遞函數(shù)的綱要，達(dá)到高屋建瓴的效果。

在多極點(diǎn)和零點(diǎn)傳遞函數(shù)中，使分母為零的頻率點(diǎn)叫極點(diǎn)，使分子頻率為零的頻率點(diǎn)叫零點(diǎn)，極點(diǎn)可以使增益曲線下降，零點(diǎn)使增益曲線上升。在多極點(diǎn)和零點(diǎn)的系統(tǒng)中，只要找到各個(gè)極點(diǎn)和零點(diǎn)，找出其特性，將各個(gè)增益曲線疊加即可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的極零分析，這個(gè)定理可以幫助大家在畫多極點(diǎn)和零點(diǎn)的傳遞函數(shù)有個(gè)直觀的印象。