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一、正數(shù)

　　在高速發(fā)展的現(xiàn)代社會，計算機浩浩蕩蕩地成為了人們生活中不可缺少的一部分，幫助人們解決通信，聯(lián)絡，互動等各方面的問題。今天我就給大家講講與計算機有關的“進制轉換”問題。

　　我們以（25.625）（十）為例講解一下進制之間的轉化問題。

1. 十 -----> 二

　　給你一個十進制，比如：6，如果將它轉換成二進制數(shù)呢？

　　10進制數(shù)轉換成二進制數(shù)，這是一個連續(xù)除2的過程：

　　把要轉換的數(shù)，除以2，得到商和余數(shù)，

　　將商繼續(xù)除以2，直到商為0。最后將所有余數(shù)倒序排列，得到數(shù)就是轉換結果。

　　聽起來有些糊涂？我們結合例子來說明。比如要轉換6為二進制數(shù)。

　　“把要轉換的數(shù)，除以2，得到商和余數(shù)”。

　　那么：

　　要轉換的數(shù)是6， 6 ÷ 2，得到商是3，余數(shù)是0。（不要告訴我你不會計算6÷2！）

　　“將商繼續(xù)除以2,直到商為0……”

　　現(xiàn)在商是3，還不是0，所以繼續(xù)除以2。

　　那就： 3 ÷ 2, 得到商是1,余數(shù)是1。

　　“將商繼續(xù)除以2，直到商為0……”

　　現(xiàn)在商是1，還不是0，所以繼續(xù)除以2。

　　那就： 1 ÷ 2, 得到商是0，余數(shù)是1 （拿筆紙算一下，1÷2是不是商0余1!）

　　“將商繼續(xù)除以2，直到商為0……最后將所有余數(shù)倒序排列”

　　好極！現(xiàn)在商已經(jīng)是0。

　　我們三次計算依次得到余數(shù)分別是：0、1、1，將所有余數(shù)倒序排列，那就是：110了！

　　6轉換成二進制，結果是110。

　　把上面的一段改成用表格來表示，則為：

　　被除數(shù) 計算過程商余數(shù)

　　6 6/2 3 0

　　3 3/2 1 1

　　1 1/2 0 1

　?。ㄔ谟嬎銠C中，÷用 / 來表示）

2. 二 ----> 十

　　二進制數(shù)轉換為十進制數(shù)

　　二進制數(shù)第0位的權值是2的0次方，第1位的權值是2的1次方……

　　所以，設有一個二進制數(shù)：0110 0100，轉換為10進制為：

　　下面是豎式：

　　0110 0100 換算成十進制

　　" ^ " 為次方

　　第0位 0 * 2^0 = 0

　　第1位 0 * 2^1 = 0

　　第2位 1 * 2^2 = 4

　　第3位 0 * 2^3 = 0

　　第4位 0 * 2^4 = 0

　　第5位 1 * 2^5 = 32

　　第6位 1 * 2^6 = 64

　　第7位 0 * 2^7 = 0 ＋

　　---------------------------

　　100

　　用橫式計算為：

　　0 * 2 ^ 0 + 0 * 2 ^ 1 + 1 * 2 ^ 2 + 1 * 2 ^ 3 + 0 * 2 ^ 4 + 1 * 2 ^ 5 + 1 * 2 ^ 6 + 0 * 2 ^ 7 = 100

　　0乘以多少都是0，所以我們也可以直接跳過值為0的位：

　　1 * 2 ^ 2 + 1 * 2 ^ 3 + 1 * 2 ^ 5 + 1 * 2 ^ 6 = 100

3. 十 ----> 八

　　10進制數(shù)轉換成8進制的方法，和轉換為2進制的方法類似，惟一變化：除數(shù)由2變成8。

　　來看一個例子，如何將十進制數(shù)120轉換成八進制數(shù)。

　　用表格表示：

　　被除數(shù) 計算過程商余數(shù)

　　120 120/8 15 0

　　15 15/8 1 7

　　1 1/8 0 1

　　120轉換為8進制，結果為：170。

4. 八 ----> 十

　　八進制就是逢8進1。

　　八進制數(shù)采用 0～7這八數(shù)來表達一個數(shù)。

　　八進制數(shù)第0位的權值為8的0次方，第1位權值為8的1次方，第2位權值為8的2次方……

　　所以，設有一個八進制數(shù)：1507，轉換為十進制為：

　　用豎式表示：

　　1507換算成十進制。

　　第0位 7 * 80 = 7

　　第1位 0 * 81 = 0

　　第2位 5 * 82 = 320

　　第3位 1 * 83 = 512 ＋

　　--------------------------

　　839

　　同樣，我們也可以用橫式直接計算：

　　7 * 80 + 0 * 81 + 5 * 82 + 1 * 83 = 839

　　結果是，八進制數(shù) 1507 轉換成十進制數(shù)為 839

　　5. 十 ----> 十六

　　10進制數(shù)轉換成16進制的方法，和轉換為2進制的方法類似，惟一變化：除數(shù)由2變成16。

　　同樣是120，轉換成16進制則為：

　　被除數(shù) 計算過程商余數(shù)

　　120 120/16 7 8

　　7 7/16 0 7

　　120轉換為16進制，結果為：78。

6. 十六----> 十

　　16進制就是逢16進1，但我們只有0~9這十個數(shù)字，所以我們用A，B，C，D，E，F(xiàn)這五個字母來分別表示10，11，12，13，14，15。字母不區(qū)分大小寫。

　　十六進制數(shù)的第0位的權值為16的0次方，第1位的權值為16的1次方，第2位的權值為16的2次方……

　　所以，在第N（N從0開始）位上，如果是是數(shù) X （X 大于等于0，并且X小于等于 15，即：F）表示的大小為 X * 16的N次方。

　　假設有一個十六進數(shù) 2AF5, 那么如何換算成10進制呢？

　　用豎式計算：

　　2AF5換算成10進制:

　　第0位： 5 * 160 = 5

　　第1位： F * 161 = 240

　　第2位： A * 162 = 2560

　　第3位： 2 * 163 = 8192 ＋

　　-------------------------------------

　　10997

　　直接計算就是：

　　5 * 160 + F * 161 + A * 162 + 2 * 163 = 10997

　　(別忘了，在上面的計算中，A表示10，而F表示15)

　　現(xiàn)在可以看出，所有進制換算成10進制，關鍵在于各自的權值不同。

　　假設有人問你，十進數(shù) 1234 為什么是一千二百三十四？你盡可以給他這么一個算式：

　　1234 = 1 * 103 + 2 * 102 + 3 * 101 + 4 * 100

7. 二 ----> 八

　　（11001.101）（二）

　　整數(shù)部分：從后往前每三位一組，缺位處用0填補，然后按十進制方法進行轉化，則有：

　　001=1

　　011=3

　　然后我們將結果按從下往上的順序書寫就是：31，那么這個31就是二進制11001的八進制形式

　　小數(shù)部分：從前往后每三位一組，缺位處用0填補，然后按十進制方法進行轉化，則有：

　　101=5

　　然后我們將結果部分按從上往下的順序書寫就是：5，那么這個5就是二進制0.101的八進制形式

　　所以：（11001.101）（二）=（31.5）（八）

8. 八 ----> 二

　?。?1.5）（八）

　　整數(shù)部分：從后往前每一位按十進制轉化方式轉化為三位二進制數(shù)，缺位處用0補充則有：

　　1---->1---->001

　　3---->11

　　然后我們將結果按從下往上的順序書寫就是：11001，那么這個11001就是八進制31的二進制形式

　　說明，關于十進制的轉化方式我這里就不再說了，上一篇文章我已經(jīng)講解了！

　　小數(shù)部分：從前往后每一位按十進制轉化方式轉化為三位二進制數(shù)，缺位處用0補充則有：

　　5---->101

　　然后我們將結果按從下往上的順序書寫就是：101，那么這個101就是八進制5的二進制形式

　　所以：（31.5）（八）=（11001.101）（二）

9. 十六 ----> 二；二 ----> 十六

　　二進制和十六進制的互相轉換比較重要。不過這二者的轉換卻不用計算，每個C，C++程序員都能做到看見二進制數(shù)，直接就能轉換為十六進制數(shù)，反之亦然。

　　我們也一樣，只要學完這一小節(jié)，就能做到。

　　首先我們來看一個二進制數(shù)：1111，它是多少呢？

　　你可能還要這樣計算：1 * 20 + 1 * 21 + 1 * 22 + 1 * 23 = 1 * 1 + 1 * 2 + 1 * 4 + 1 * 8 = 15。

　　然而，由于1111才4位，所以我們必須直接記住它每一位的權值，并且是從高位往低位記，：8、4、2、1。即，最高位的權值為23 ＝ 8，然后依次是 22 ＝ 4，21＝2， 20 ＝ 1。

　　記住8421，對于任意一個4位的二進制數(shù)，我們都可以很快算出它對應的10進制值。

　　下面列出四位二進制數(shù) xxxx 所有可能的值（中間略過部分）

　　僅4位的2進制數(shù) 快速計算方法十進制值十六進值

　　1111 = 8 + 4 + 2 + 1 = 15 F

　　1110 = 8 + 4 + 2 + 0 = 14 E

　　1101 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13 D

　　1100 = 8 + 4 + 0 + 0 = 12 C

　　1011 = 8 + 4 + 0 + 1 = 11 B

　　1010 = 8 + 0 + 2 + 0 = 10 A

　　1001 = 8 + 0 + 0 + 1 = 10 9

　　....

　　0001 = 0 + 0 + 0 + 1 = 1 1

　　0000 = 0 + 0 + 0 + 0 = 0 0

　　二進制數(shù)要轉換為十六進制，就是以4位一段，分別轉換為十六進制。

　　如(上行為二制數(shù)，下面為對應的十六進制)：

　　1111 1101 ， 1010 0101 ， 1001 1011

　　F D ， A 5 ， 9 B

　　反過來，當我們看到 FD時，如何迅速將它轉換為二進制數(shù)呢？

　　先轉換F：

　　看到F，我們需知道它是15（可能你還不熟悉A～F這五個數(shù)），然后15如何用8421湊呢？應該是8 + 4 + 2 + 1，所以四位全為1 ：1111。

　　接著轉換 D：

　　看到D，知道它是13，13如何用8421湊呢？應該是：8 + 2 + 1,即：1011。

　　所以,FD轉換為二進制數(shù)，為： 1111 1011

　　由于十六進制轉換成二進制相當直接，所以，我們需要將一個十進制數(shù)轉換成2進制數(shù)時，也可以先轉換成16進制，然后再轉換成2進制。

　　比如，十進制數(shù) 1234轉換成二制數(shù)，如果要一直除以2，直接得到2進制數(shù)，需要計算較多次數(shù)。所以我們可以先除以16，得到16進制數(shù):

　　被除數(shù) 計算過程商余數(shù)

　　1234 1234/16 77 2

　　77 77/16 4 13 (D)

　　4 4/16 0 4

　　結果16進制為： 0x4D2

　　然后我們可直接寫出0x4D2的二進制形式： 0100 1011 0010。

　　其中對映關系為：

　　0100 -- 4

　　1011 -- D

　　0010 -- 2

　　同樣，如果一個二進制數(shù)很長，我們需要將它轉換成10進制數(shù)時，除了前面學過的方法是，我們還可以先將這個二進制轉換成16進制，然后再轉換為10進制。

　　下面舉例一個int類型的二進制數(shù)：

　　01101101 11100101 10101111 00011011

　　我們按四位一組轉換為16進制： 6D E5 AF 1B

二、負數(shù)

　　負數(shù)的進制轉換稍微有些不同。

　　先把負數(shù)寫為其補碼形式（在此不議），然后再根據(jù)二進制轉換其它進制的方法進行。

　　例：要求把-9轉換為八進制形式。則有：

　　-9的補碼為11110111。然后三位一劃

　　111---->7

　　110---->6

　　011---->3

　　然后我們將結果按從下往上的順序書寫就是：367，那么367就是十進制數(shù)-9的八進制形式。

　　補充：

　　最近有些朋友提了這樣的問題“0.8的十六進制是多少？”

　　我想在我的空間里已經(jīng)有了詳細的講解，為什么他還要問這樣的問題那

　　于是我就動手算了一下，發(fā)現(xiàn)0.8、0.6、0.2... ...一些數(shù)字在進制之間的轉化

　　過程中確實存在麻煩。

　　就比如“0.8的十六進制”吧！

　　無論你怎么乘以16，它的余數(shù)總也乘不盡，總是余8

　　這可怎么辦啊，我也沒轍了

　　第二天，我請教了我的老師才知道，原來這么簡單啊！

　　具體方法如下：

　　0.8*16=12.8

　　取每一個結果的整數(shù)部分為12既十六進制的C

　　如果題中要求精確到小數(shù)點后3位那結果就是0.CCC

　　如果題中要求精確到小數(shù)點后4位那結果就是0.CCCC

　　現(xiàn)在OK了，我想我的朋友再也不會因為進制的問題煩愁了！

　　下面是將十進制數(shù)轉換為負R進制的公式：

　　N=(dmdm-1...d1d0)-R

　　=dm*(-R)^m+dm-1*(-R)^m-1+...+d1*(-R)^1+d0*(-R)^0

　　15=1*(-2)^4+0*(-2)^3+0*(-2)^2+1*(-2)^1+1*(-2)^0

　　=10011(-2)

　　其實轉化成任意進制都是一樣的

　　初學者最容易犯的錯誤?。。。。。。?

　　犯錯：（-617）D=（-1151）O=（-269）H

　　原因分析：如果是正數(shù)的話，上面的思路是正確的，但是由于正數(shù)和負數(shù)在原碼、反碼、補碼轉換上的差別，所以按照正數(shù)的求解思路去對負數(shù)進行求解是不對的。

　　正確的方法是：首先將-617用補碼表示出來，然后再轉換成八進制和十六進制（補碼）即可。

　　注：二進制補碼要用16位。

　　正確答案：：（-617）D=（176627）O=（fd97）H

　　負數(shù)十進制轉換成八進制或十六進制方法

　　如（-12）10=（　）8=（?。?6

　　第一步：轉換成二進制

　　1000 0000 0000 1100

　　第二步：補碼，取反加一　

　　注意：取反時符號位不變！　

　　1111 1111 1111 0100

　　第三步：轉換成八進制是三位一結合：（177764）8

　　轉換成十六進制是四位一結合：（fff4）16

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