這是翻譯自最佳L(Optimum L)或勒讓德(Legendre或Legendre–Papoulis)濾波器的提出者發(fā)表的《具有單調響應的最優(yōu)濾波器》的文章，這種濾波器同時具有巴特沃斯的單調頻響還有可以和切比雪夫濾波器相媲美的截止特性。

具有單調響應的最優(yōu)濾波器(Optimum Filters with Monotonic Response)*

A. PAPOULIS?, SENIOR MEMBER, IRE

摘要

設計了一類幅頻特性在通帶無紋波、阻帶衰減率高的濾波器；因此它結合了巴特沃斯和切比雪夫響應的理想特征。在給定階數(shù)的所有濾波器中，這個新類型的濾波器在單調遞減響應的條件下具有最大截止斜率(cutoff rate)特性。

濾波器的幅頻特性可以寫成以下形式

其中是的正有理函數(shù)；如果網(wǎng)絡函數(shù)沒有有限零點，則是一個多項式，由此產生的濾波器很容易通過一端或兩端接載的梯形網(wǎng)絡實現(xiàn)。文獻中討論了兩類這樣的濾波器：巴特沃斯類由：

和切比雪夫類由：

其中是切比雪夫余弦多項式。如果對的唯一要求是對通帶中的給定變化具有最大可能的衰減，則濾波器是最佳選擇。但是，在許多應用中；即，當同時考慮瞬態(tài)響應時，通帶中的紋波是不能容忍的；然后使用截止特性不太好的濾波器作為簡單的折衷方案。因此，很自然地會探索具有濾波器所需特性且截止速率更快的濾波器。在本文中，我們將確定類型濾波器，其幅頻特性隨單調下降并且具有最大可能的截止斜率特性。

用表示生成濾波器的多項式，我們有

如果我們進一步假設

我們的問題是在所有階正多項式中找到滿足式(4)和式(5)的正多項式，其斜率

在處是最大的；討論將僅限于是奇數(shù)

在附錄中顯示多項式由下式給出

其中

是表中所列出的第一類勒讓德多項式。點處的斜率由下式給出

由于

我們可以很容易地從式(7)-(9)得到

和

多項式和繪制在圖1中和多項式和用于比較；在圖2中，顯示了相應的幅頻特性。

圖1 圖2

接下來，我們將實現(xiàn)和的濾波器。

: 為了確定振幅等于的網(wǎng)絡函數(shù)，我們有

然后

因此，

因式分解并保留我們所獲得的左半平面的極點

其極點由

并且如圖3所示。

圖3

如果可以從的二次因子中獲得，而無需對其根進行實際評估可能會很具吸引力；這是有用的，因為在通常的復數(shù)根的數(shù)值評估方法中，首先會找到二次因子。的確，如果

是

的胡維茨因子(Hurwitz factor)，那么很容易看出

要將實現(xiàn)為一個梯形網(wǎng)絡，其終端為1歐姆的電阻(見圖3)

因此，

將展開為連續(xù)分數(shù)，我們得到圖3(a)所示的網(wǎng)絡。要將實現(xiàn)為兩端具有1歐姆電阻的梯形網(wǎng)絡，我們首先確定由下式定義的反射系數(shù)

其中如圖3所示。可以看出

因此，

從中我們獲得保留了胡維茨因子的

知道了我們可以從

確定，這樣，

現(xiàn)在可以實現(xiàn)為一個終止于電阻的無源網(wǎng)絡；然而，由于沒有有限零點，的實部也是如此，因此，可以展開為連分式，并且如圖3(b)所示的網(wǎng)絡。

: 我們有

于是，

它的極點由下式給出

從我們得到

從的連分數(shù)展開得到圖4的網(wǎng)絡。

圖4

最后，我們將列出、和多項式的重要性質。

?多項式:?最大平坦、單調、截止斜率等于。

?多項式:?通帶中等波紋，在所有多項式的類類型中，它們具有由所給出的最大截止斜率。

?多項式:?單調的，在所有單調多項式的類別中，它們具有由所給出的最大截止斜率。

附錄

為了證明式(7)-(10)，我們首先要解決以下問題?？紤]的多項式類使得

在中確定一個多項式使得

最大。

對于

我們有

我們將首先證明階數(shù)為的多項式是一個完全平方；很明顯，因為是非負的，它在區(qū)間中的所有根都是重的，因此它可以寫成以下形式

其中是沒有內部根的偶次多項式，這樣

在處，可能等于零；在這種情況下

如果不是常數(shù)，那么它的次數(shù)至少為2，因此，多項式

將與具有相同的階數(shù)，并且對于足夠小的，它將保持正值；如果，這是顯而易見的[見式(15)]，如果，則可以很容易地建立[見式(16)]。因此，如果選擇常量

然后，

和多項式

將在中，其在點的導數(shù)將由下式給出

這是不可能的[見式(17)]，因為被假定為最大值。因此是一個可以取為1的常數(shù)。因此

和

為了確定階數(shù)為的多項式，我們首先將其勒讓德多項式級數(shù)展開

這些多項式滿足

從式(18)和式(20)我們得到

由于，并且從式(19)-(21)

如下，我們的問題是確定常數(shù)以便在約束式(23)下最大化式(22)；這可以很容易地完成，結果由

常數(shù)可以很容易地從式(22)和式(24)中求出

可以很容易地通過區(qū)間變換從中獲得

它在處的斜率由下式給出

其中，式(7)到式(10)很容易得到；這里假設不是限制性的。

腳注

IRE于1957年8月29日收到的原稿。
? Polytechnic Institute of Brooklyn. Burroughs Corp., Res. Center, Paoli, Pa.

參考

[1]: A. Papoulis, “On the approximation problem in filter design,” 1957 IRE NATIONAL CONVENTION RECORD, pt. 2, pp. 175-185.
[2]: Küpfmüller, “Die Systemtheorie der Electrischen Nachrichtenübertragung,” S. Hirzel, Zürich, Germany; 1949.
[3]: S. Bernstein, “Le?ons sur les Propriétés Extrémales et la Meilleure Approximation des Fonctions d’une Variable Réelle,” GauthierVillars, Paris, France; 1926.
[4]: E. Jahnke and F. Emde, “Tables of Functions,” Dover Publications, New York, N. Y.; 1945.
[5]: A. Papoulis, “Frequency transformations in filter design,” IRE Trans., vol. CT-3, pp. 140-144; June, 1956.
[6]: This problem and its proof is a modified version of a theorem proved by Bernstein, loc cit.
[7]: R. Courant and D. Hilbert, “Methoden der Mathematischen Physik-I,” Springer, Berlin, Germany; 1937.

參考文章

[1] Athanasios Papoulis (1958). Optimum Filters with Monotonic Response. Proceedings to the IRE.

編輯：黃飛

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