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永磁直流電機在控制中，經(jīng)常要用到各種坐標變換，同時也會碰到各種電感，如：相電感、線電感、直軸電感、交軸電感、相間互感等，特別是電感和坐標變換結(jié)合后，就有不少人容易混淆迷惑。下面我們用圖文及公式方式來理解直流電機電感其中的關(guān)系。
電感：1824年，奧斯特發(fā)現(xiàn)了電流效應(yīng)，在通電導(dǎo)體周圍的磁針會發(fā)生偏轉(zhuǎn)，也就是電生磁，后來，法拉第和亨利發(fā)現(xiàn)了磁也能生電，在移動的磁場能會在導(dǎo)體中感應(yīng)出電流，這就是現(xiàn)在所說的電磁感應(yīng)，數(shù)學(xué)工程式為：
e：感應(yīng)電壓
dф/dt：磁通的變化率（單位Wb/s）
法拉第發(fā)表電磁感應(yīng)論文不久，楞次發(fā)現(xiàn)了決定感應(yīng)電流方向的規(guī)律，也就是楞次定律：感應(yīng)電流的磁場總要阻礙引起感應(yīng)電流的磁通量的變化，所以完整數(shù)學(xué)公式為：
直流電機中控制中的自感與互感
在安倍定律中：磁場產(chǎn)生的根本原因是電流（可以是導(dǎo)體中的電流，也可以是永磁體中的電流）。如下圖所示，一個線圈通電后，就會產(chǎn)生磁場
線圈本身就處于自身產(chǎn)生的磁場中，也就意味著線圈中也會產(chǎn)生磁通磁通，這個量對于我們來說不直觀，也不好測量，既然磁通是由電流產(chǎn)生的那我們可以借助電流來表示，所以電感的定義是：
單位是Henry（亨利），一位美國物理學(xué)家，他其實和法拉第幾乎同時獨立的發(fā)現(xiàn)了電磁感應(yīng)現(xiàn)象，只不過法拉第更早的發(fā)表了成果，就贏得了冠名權(quán)。
我們通常說的電感，嚴格來說應(yīng)該叫自感，即線圈自己對自己產(chǎn)生磁通的能力。
既然有自感，就會有互感，即兩個線圈之間互相產(chǎn)生磁通的能力。
在直流電機中，電感非常重要，它表達了在某個特定機構(gòu)中電流產(chǎn)生的磁場能力，電感確定了，我們就能很容易去研究磁場的性質(zhì)。
什么是磁動勢？
電感的定義是由磁通來定義了，要計算線圈的電感，先就要計算線圈通電后產(chǎn)生的磁場，由此來計算磁鏈，如，直流電機內(nèi)磁路為線性，鐵芯中的磁滯和渦流損耗可以忽略、氣隙磁場的搞次諧波也可忽略，直流電機的定、轉(zhuǎn)子表面光滑，齒、槽影響可以用卡式系數(shù)修正，直軸和交軸氣隙可以不等，但是氣隙的比磁導(dǎo)可以用平均值加二次諧波來表示
上圖為直流電機定子槽內(nèi)兩極整距線圈的情況， ⊙為流出，為流入。根據(jù)安培環(huán)路定理，其磁動勢分布圖為：
磁動勢的幅值為
對方波進行傅里葉級數(shù)分析，可知其可由1、3、5，...等奇次諧波組成，其中1次諧波也稱之為基波，其幅值為：
上面分析的是一對極情況，現(xiàn)在假設(shè)是p對極，每相繞組總匝數(shù)為Nph，則A相基波幅值為：
上面分析時繞組都認為是整距，且每極每相只有一個槽，實際電機很少這種情況，大多每極下面是多槽的，而且還是短距：
我們一般用一個繞組因數(shù)kω1來對基波磁動勢進行修正，其幅值為：
直流電機的相電感與互感計算
根據(jù)基波磁動勢的幅值，則其沿定子分布為：
有了磁勢，如果能知道磁導(dǎo)（磁阻的倒數(shù)），那就能計算氣隙磁密了。對于表貼式直流電機而言，氣隙基本不變，因此磁導(dǎo)和直流電機轉(zhuǎn)子的位置沒有關(guān)系；但是對于直流電機而言，氣隙沿轉(zhuǎn)子圓周方向一直變換（變化周期是極對數(shù)的兩倍），因此磁導(dǎo)還和轉(zhuǎn)子位置相關(guān)。
由于dq軸是定義在直流轉(zhuǎn)子上的，因此我們可以通過d軸與A相繞組的夾角θ來表示轉(zhuǎn)子所在的位置。
計算相電感
氣隙比磁導(dǎo)為：
λ(a)=λδ0+λδ2cos2(a+θ)
式中因為氣隙長度變換周期是極對數(shù)的2倍，因此有個2次分量，而且當直流電機類型為內(nèi)嵌式時，?λδ2為負值，即d軸時磁阻最大，磁導(dǎo)最小。
氣隙磁動勢和比磁導(dǎo)的相位關(guān)系為：
則氣隙磁密為磁動勢乘以比磁導(dǎo)：
Bδ(a)=Fa1cosa·(λδ0+λδ2cos2(a+θ))
展開成諧波疊加的形式：
所以基波氣隙磁密為：
則A相繞組對應(yīng)的磁鏈為：
其中?Lσ為A相漏感，τ為極距，l?疊片長度，上式整理可得：
進一步整理可得：
所以A相自感為：
即：
換一種表達方式：
可見，A相繞組的自感不是一個固定值，而是隨轉(zhuǎn)子的變換而變化。同理可得其他兩相自感為：
Lbb=Ls0+Ls2cos2(θ-2π/3)
Lcc=Ls0+Ls2cos2(θ+2π/3)
計算相間互感
由于B相繞組與A相繞組空間相差120°，其與自感方式基本相同，只需將積分區(qū)間由[-π/2?π/2]修改為?[-π/2-2π/3?π/2-2π/3]?，即可以計算A相繞組電流產(chǎn)生的磁場在B相繞組中感應(yīng)出的磁鏈，具體為：
其中Mσ為互漏感，可以獲得A、B相互感為：
同理可獲得其他兩相的互感為：
直流電機的自感和互感如下圖所示：
如何計算dq軸電感？
一般的直流電機都會用dq軸電感表示，那么問題來了：dq軸電感如何計算或測量？和相電感及互感有什么關(guān)系？dq電感和坐標變換有什么關(guān)系？
如何確定坐標轉(zhuǎn)換矩陣？
算電感是為了算磁鏈，進而去計算磁場的某型性質(zhì)，通過一系列公式，終于把三相繞組的自感和互感計算出來了。
那磁鏈就可以計算：
電感矩陣非常復(fù)雜：
而且這個電感矩陣還隨之直流電機轉(zhuǎn)子的變化而變化著，可以找到一個相似矩陣，這個相似矩陣呢形式比較簡單，只有對角線上有數(shù)，而且這個相似矩陣能表征原矩陣的關(guān)鍵特征。矩陣對角化本質(zhì)就是尋找矩陣空間的正交基以及在“基”上的投影系數(shù)。那電感矩陣是不是可以進行對角化呢？
可以按照矩陣對角化的步驟：
Del|Ls-λI|=0
可以得到三個特征值，分別是：
其中特征值λ1對應(yīng)的特征向量是：
特征值λ2對應(yīng)的特征向量是：
特征值?λ3對應(yīng)的特征向量是：
則3個特征向量可以組成如下特征矩陣：
這個特征矩陣就是克拉克變換和帕克變換的乘積，該特征矩陣的逆矩陣為：
則電感矩陣的特征值可以用特征矩陣及其逆矩陣來計算，即
一般稱λ1為Ld；
λ2為Lq；λ3為L0，即：
dq軸的電感就是三相繞組電感矩陣的特征值，dq電感是一個常量了，cos2θ等變化因子消失了，也就是說通過對角化（坐標變換），原先較為復(fù)雜的電感矩陣對角化和常數(shù)化了，是定子的磁鏈方程解耦了！同時：dq軸電感與變換矩陣無關(guān)，是電感矩陣的固有屬性。
恒功率變換
在坐標變換的時候，有的變換矩陣前面有個系數(shù)2/3 ，有的是
，有的又沒有，這到底有什么關(guān)系呢？
電壓矢量、電流矢量以及磁鏈矢量的關(guān)系為：
電感對角畫的時候求取了變換矩陣C?，現(xiàn)在我們需要把電壓矢量、電流矢量以及磁鏈矢量也進行坐標變換：
Us=Cu’s
is=Ci’s
Ψs=CΨ’s
則變換后的功率為：
P=isTus=(Ci’s)T(Cu’s)=(i’s)T(CTC)u’s
把C?和CT?代入上式，就可以得到：
不考慮零軸分量，發(fā)現(xiàn)變換后的功率是變換前的3/2倍！也就是說，變換前后功率不守恒了，那通過功率計算的轉(zhuǎn)矩就會不準確了，需要進行修正。
把特征矩陣變?yōu)橄旅孢@個就可以做到功率守恒
這個矩陣也是最常用的變換矩陣。
dq軸電感測量方法
通過建立直流電機模型，就要知道dq軸電感，兩種方式，一種是計算，一種是測量。計算比較容易，建立直流電機的有限元模型，現(xiàn)在的電磁計算軟件都有電感矩陣計算功能，計算出來求特征值就行了，有的軟件都能直接給出dq軸的電感。
一般來說有2種方式來測電感，一種是通過三相繞組，一種是通過兩相繞組。
用三相測dq軸電感
將B、C兩相繞組并聯(lián)在一起，形成一個新的端點，用LCR表或其他裝置測量該端點和A相繞組端點之間的電感。
此時因為：
B相繞組和C相繞組并聯(lián)，具有相同的磁鏈，因此只計算B相繞組的磁鏈：
則總的磁鏈為：
Ψ=Ψa-Ψb
則等效電感為：
當θ=0時：
當θ=±π/2時：
可見，當直流電機轉(zhuǎn)子合適的位置測電感時，可以分別獲得d軸電感和q軸電感。但是這種方法有一個難點就是如何知道轉(zhuǎn)子此時的位置，一個近似的測法是緩慢的旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)子，記下電感的最大值和最小值，此時：
用兩相測dq軸電感
用兩相繞組也可以直接測量，比如直接測量B、C兩相端部之間的電感。
此時，B相繞組的磁鏈為：
Ψb=(Lbb-Lbc)i
B相繞組的磁鏈為：
Ψc=(Lbc-Lcc)i
總的磁鏈為：
Ψ=Ψb-Ψc
等效電感為：
同樣，緩慢的旋轉(zhuǎn)直流電機轉(zhuǎn)子，記下電感的最大值和最小值，此時：
由于直流電機是比較復(fù)雜的電磁產(chǎn)品，里面電感構(gòu)型比較復(fù)雜，既有自感又有互感，電感之間既有并聯(lián)，也有串聯(lián)，電感串聯(lián)和并聯(lián)的特性非常重要
同向串聯(lián)電感
上圖描述了兩個繞向相同的電感串聯(lián)時的模型，其中用黑點表示繞組電流流入方向，電流和磁鏈方向如圖所示。
第一個電感產(chǎn)生的總磁鏈為：
Ψ1=L1i1+|M|i2
第二個電感中產(chǎn)生的總磁鏈為：
Ψ2=L2i2+|M|i1
兩個電感中的電流方向相同：
i1=i2
兩個電感等效成一個電感時，總的磁鏈為：
Ψ=Ψ1+Ψ2=(L1+L2+2|M|)i
則等效電感為：
反向串聯(lián)電感
此時兩繞組繞向相反，由于定義的電流正方向為繞組的流入方向，在此規(guī)定下，兩繞組的電流數(shù)值關(guān)系是：
i1=-i2
所以總的等效磁鏈為：
Ψ=Ψ1-Ψ2=(L1+L2-2|M|)i
則等效電感為：
同向并聯(lián)電感
兩個電感并聯(lián)時是比較反直覺的，下面我們就來仔細分析一下。上圖是繞向相同的兩個電感并聯(lián)時情況，此時，由基爾霍夫電壓定律每個電感兩端的電壓應(yīng)該是一致的。即：
對于第一個電感：
對于第二個電感：
由基爾霍夫電流定律：
i=i1+i2
整理可得：
所以等效電感為：
反向并聯(lián)電感
兩電感方向繞向相反，則根據(jù)基爾霍夫電壓定律：
由基爾霍夫電流定律：
i=i1-i2
可計算的等效電感為：
簡單來說：
當兩電感串聯(lián)時：Ls-L1+L2±2M?，繞向相同時為+，繞向相反時為-；
當兩電感并聯(lián)時：
，繞向相同時為+，繞向相反時為 -。
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工商網(wǎng)監(jiān)
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