本文介紹一種利用矢量旋轉的CORDIC（COordination Rotation DIgital Computer）算法實現(xiàn)正交數(shù)字混頻器中的數(shù)控振蕩器（NCO）的方法。推導了CORDIC算法產生正余弦信號的實現(xiàn)過程，給出了在FPGA 中設計數(shù)控振蕩器的頂層電路結構，并根據(jù)算法特點在設計中引入流水線結構設計。

在正交數(shù)字混頻器中，采用數(shù)字頻率合成技術，可以將數(shù)字處理延續(xù)到正交調制之后或正交解調之前，濾波器和增益控制就可以用數(shù)字方法實現(xiàn)，I、Q兩路也就不會存在增益的不平衡，加上數(shù)控振蕩器（NCO）的低正交誤差，可以使系統(tǒng)誤差降低到數(shù)據(jù)的最低比特（LSB）的高精度范圍。此外，正交數(shù)字混頻器更容易與數(shù)字信號處理技術結合，使得數(shù)字調制更加靈活，進而實現(xiàn)軟件無線電所要求的軟件可更改的調制解調。

數(shù)控振蕩器是正交數(shù)字混頻器的核心部分，它具有頻率分辨率高、頻率變化速度快、相位可連續(xù)線性變化和生成的正弦P余弦信號正交特性好等特點。而且NCO的相位、幅度均已數(shù)字化，可以直接進行高精度的數(shù)字調制解調。隨著數(shù)字通信的發(fā)展，傳送的數(shù)據(jù)速率越來越高。如何得到一個可數(shù)控的高頻載波信號是實現(xiàn)高速數(shù)字通信系統(tǒng)必須解決的問題。為此，對如何在FPGA中實現(xiàn)高速正交數(shù)字混頻器中的數(shù)控振蕩器的方法進行了探討。

數(shù)控振蕩器的基本實現(xiàn)原理

數(shù)控振蕩器的作用是產生正交的正弦和余弦樣本。傳統(tǒng)方法是采用查表法（LUT），即事先根據(jù)各個正余弦波相位計算好相位的正余弦值，并按相位角度作為地址存儲該相位的正余弦值，構成一個幅度P相位轉換電路（即波形存儲器）。在系統(tǒng)時鐘的控制下，由相位累加器對輸入頻率字不斷累加，得到以該頻率字為步進的數(shù)字相位，再通過相位相加模塊進行初始相位偏移，得到要輸出的當前相位，將該值作為取樣地址值送入幅度P相位轉換電路，查表獲得正余弦信號樣本。對于一個相位位數(shù)為n ，輸出信號幅度位數(shù)為M的數(shù)控振蕩器，所需查找表大小為M×2n 。為了提高數(shù)控振蕩器的頻率分辨率，往往需要擴大波形存儲器的容量，造成存儲資源的大量消耗。而且，當需要外掛RAM 來存儲波形時，由于受到RAM讀取速度的影響，數(shù)控振蕩器的輸出速率必然受到制約。因此，當需要設計高速、高精度的數(shù)控振蕩器時，不宜采用查表法。

為了避免使用大容量存儲器，可以考慮利用算法來產生正余弦樣本?；谑噶啃D的CORDIC算法正好滿足了這一需求，該算法主要用于計算三角函數(shù)、雙曲函數(shù)及其它一些基本函數(shù)運算。它有線性的收斂域和序列的特性，只要迭代次數(shù)足夠，即可保證結果有足夠的精度。Walther JS于1971年提出了統(tǒng)一的CORDIC形式。假定初始向量V1（x1 ，y1）旋轉角度θ后得到向量V2（x2，y2）：

若每次旋轉的角度θ是正切值為2 的倍數(shù)，即θi=arctan（2-i），則cosθi=（1+2-2i）-1/2 。假設以δi代表矢量的旋轉方向，+1表示逆時針旋轉，-1表示順時針旋轉，故第i 步旋轉可用下式表示：

可見，迭代運算不能使幅值比例因子恒為1。為了抵消因迭代產生的比例因子的影響，可將輸入數(shù)據(jù)X，Y校正后再參與運算，以避免在迭代運算中增加校正運算，降低CORDIC算法的速度。由此運算迭代式可以簡化成：

式（5）運算僅通過加法器及移位器就可以實現(xiàn)。此外，若用Zi表示第i次旋轉時與目標角度之差，則：

將所需產生的角度值作為z0輸入，通過式（5）、（6）的迭代運算，迭代結果輸出的xn和yn就是所需要的三角函數(shù)值。

數(shù)控振蕩器的FPGA實現(xiàn)

圖1是數(shù)控振蕩器的頂層電路。由圖可見，頻率控制字寄存器將接收到的的頻率控制字送入相位累加器，相位累加器對系統(tǒng)時鐘進行計數(shù)，每到達輸入頻率控制字的值即對相位進行累加，隨后將累加值送入相位相加器，與相位控制字寄存器接收到的初始相位進行相加，得到當前的相位值。其中，相位累加器是決定NCO性能的一個關鍵模塊，可以利用FPGA器件的進位鏈實現(xiàn)快速、高效的電路結構。然而，由于進位鏈必須位于臨近的邏輯陣列塊CLB和邏輯單元LC內，所以長的進位鏈會減少其它邏輯使用的布線資源；同時，過長的進位鏈也會制約整個系統(tǒng)速度的提高。因此，設計中采用進位鏈和流水線技術相結合的辦法。所謂流水線技術，即把在一個時鐘內要完成的邏輯操作分成幾步較小的操作，并插入幾個時鐘周期來提高系統(tǒng)的數(shù)據(jù)吞吐率。采用以上做法實現(xiàn)的相位累加器既能保證具有較高的資源利用率，又能大幅提高系統(tǒng)的性能和速度。

經(jīng)過上述相位的處理之后，即可獲得具有所設定初始相位的一定頻率的正余弦相位序列，將此序列送入基于CORDIC算法的波形發(fā)生器，最終獲得兩路正交的正余弦輸出序列。

圖1 　NCO的頂層電路結構

CORDIC迭代算法的一種最直接的實現(xiàn)方法是，只設計一級CORDIC運算迭代單元，然后在系統(tǒng)時鐘的驅動下，將本級的輸出作為本級的輸入，通過同一級迭代完成運算。這種方法雖然很直觀，但是為了將計算結果提供給下一級運算而導致占用了大量的寄存器，帶來許多額外的資源消耗。而最大的缺點是運算速度較慢（需要n-1個時鐘周期才能輸出一個數(shù)據(jù)），不利于數(shù)據(jù)的高速實時處理。

因此在實際設計中，采用的是圖2所示的由16級CORDIC運算單元組成的流水線結構，正常工作時只需1個時鐘周期就能輸出1個數(shù)據(jù)，為數(shù)據(jù)實現(xiàn)高速實時處理提供了前提。每一級實現(xiàn)的功能是根據(jù)式（5）進行一次迭代，移位的位數(shù)等于當前的迭代級數(shù)，加減法選擇由該級中Z 的最高位（符號位）決定，得到下一級的X 、Y 和Z 的值。經(jīng)過16級流水線運算后，Z的值變?yōu)?，X 和Y 的值則為初始值z0的余弦和正弦值。每一級電路結構主要包括2個移位器和3個加（減）法器，級與級之間直接相連，不需要額外的寄存器。θi 的值為arctan（2-i），可將該小數(shù)轉換為二進制數(shù)后，存儲于存儲單元中，為每一級流水線提供查找表。若對于16級的流水線結構，則的范圍是0～15。

圖2 　CORDIC迭代算法的流水線結構

設計中還應該注意迭代序列所能覆蓋的角度范圍，若直接采用n 級迭代序列：0 ，1 ，2 ，…，n - 1 ，則迭代所能覆蓋的角度范圍僅有- 99.9°～99.9°。本設計采用了增加迭代次數(shù)的方法來擴大角度覆蓋范圍，即增加兩個i = 0 的迭代，將迭代序列擴展為0，0，0，1，2，…，n-1，從而使角度覆蓋范圍也擴大到-π～π。

數(shù)控振蕩器的仿真結果及性能分析

利用Altera公司的QuartusII軟件，采用VHDL硬件描述語言對上述數(shù)控振蕩器結構進行描述，在Modlesim上通過功能仿真，結果正確后綜合出電路網(wǎng)表，最后將程序下載至Altera公司生產的Stratix器件EP1S20B780C6實現(xiàn)。

由于設計中采用了Stratix器件，該器件的32位加減器工作頻率可以達到90MHz以上，為產生高速的正交信號提供高速可靠的的工作時鐘。考慮到NCO的工作時鐘瓶頸是在相位累加器，因此可以根據(jù)具體需要縮減相位累加器的位數(shù)來提高NCO的工作時鐘。本文設計的NCO工作時鐘為100MHz，相位累加器的位數(shù)為16位，輸入的頻率控制字為4CCCH，根據(jù)公式：

其中：Φword為輸入的頻率控制字；fclk為工作時鐘；N為相位累加器位數(shù)，可算出NCO輸出的正余弦信號的頻率；fout為30MHz ；頻率分辨率Δf ≈1.5 kHz。頻率分辨率說明了若通過輸入頻率控制字來改變輸出正余弦信號的頻率時，可以達到1.5 kHz 的最小步進。另外，也可以根據(jù)實際需要的頻率改變輸入頻率控制字值。當然，NCO輸出頻率的上限要受到Nyquist定律的限制，即fout的最大值為fclkP2，實際設計一般不大于0.4fclk。圖3為數(shù)控振蕩器的部分仿真時序圖。

圖3 NCO的部分仿真時序圖

結語

研究了正交數(shù)字混頻器中數(shù)控振蕩器的設計與實現(xiàn)方法，著重分析了如何在FPGA器件中利用CORDIC迭代算法產生正余弦信號。結果表明，基于CORDIC迭代算法的數(shù)控振蕩器，僅用移位寄存器和加法器就可產生正余弦信號，不但省去了傳統(tǒng)NCO龐大的存儲器資源，而且保留了一般數(shù)控振蕩器頻率分辨率高、頻率變化速度快、相位可連續(xù)線性變化、生成的正弦P余弦信號正交特性好等特點，非常適用于在正交數(shù)字混頻器中進行高速高精度的數(shù)字調制解調。

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