靜電場(chǎng)的邊值問(wèn)題.ppt
電位微分方程，鏡像法，分離變量法。
數(shù)學(xué)物理方程是描述物理量隨空間和時(shí)間的變化規(guī)律。對(duì)于某一特定的區(qū)域和時(shí)刻，方程的解取決于物理量的初始值與邊界值，這些初始值和邊界值分別稱為初始條件和邊界條件，兩者又統(tǒng)稱為該方程的定解條件。靜電場(chǎng)的場(chǎng)量與時(shí)間無(wú)關(guān)，因此電位所滿足的泊松方程及拉普拉斯方程的解僅決定于邊界條件。根據(jù)給定的邊界條件求解空間任一點(diǎn)的電位就是靜電場(chǎng)的邊值問(wèn)題。
通常給定的邊界條件有三種類型：
第一類邊界條件給定的是邊界上的物理量，這種邊值問(wèn)題又稱為狄利克雷問(wèn)題。
第二類邊界條件是給定邊界上物理量的法向?qū)?shù)值，這種邊值問(wèn)題又稱為諾依曼問(wèn)題。
第三類邊界條件是給定一部分邊界上的物理量及另一部分邊界上物理量的法向?qū)?shù)值，這種邊界條件又稱為混合邊界條件。
對(duì)于任何數(shù)學(xué)物理方程需要研究解的存在、穩(wěn)定及惟一性問(wèn)題。
解的存在是指在給定的定解條件下，方程是否有解。
解的穩(wěn)定性是指當(dāng)定解條件發(fā)生微小變化時(shí)，所求得的解是否會(huì)發(fā)生很大的變化。
解的惟一性是指在給定的定解條件下所求得的解是否惟一。
靜電場(chǎng)是客觀存在的，因此電位微分方程解的存在確信無(wú)疑。
由于實(shí)際中定解條件是由實(shí)驗(yàn)得到的，不可能取得精確的真值，因此，解的穩(wěn)定性具有重要的實(shí)際意義。
泊松方程及拉普拉斯方程解的穩(wěn)定性在數(shù)學(xué)中已經(jīng)得到證明?？梢宰C明電位微分方程解也是惟一的。