零極點的理解是模擬電路最關(guān)鍵的基礎(chǔ)之一，信號與系統(tǒng)都會講自然響應(yīng)，自然響應(yīng)就是偏微分方程的通解部分，而受迫響應(yīng)則是偏微分方程的特解。本文將詳解零極點與頻率響應(yīng)之間的關(guān)系。

我們從頻率域來分析零極點的影響。從頻率域上，零點和極點會決定系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。我們令系統(tǒng)傳輸函數(shù)H（s）中s（=σ+jω） 的實部σ=0而虛部ω仍然是變量，就得到了頻率響應(yīng)函數(shù)H（jω）。頻率響應(yīng)函數(shù)代表系統(tǒng)在恒包絡(luò)正弦小信號輸入時，輸出正弦信號相對輸入正弦信號的幅度和相位變化。頻率響應(yīng)函數(shù)可以表示為：

頻率響應(yīng)H（jω）是復(fù)數(shù)。其幅度|H（jω）|代表當(dāng)正弦信號頻率為ω時，輸出正弦信號幅度相對輸入正弦信號幅度的比值（即系統(tǒng)的增益），而其相位∠H（jω）則代表輸出正弦信號相對輸入正弦信號的相位變化。根據(jù)高中數(shù)學(xué)，頻率響應(yīng)的幅度和相位可以表示為各個零點/極點的貢獻：

它有一個極點（實部σ=-1，虛部ω=0，其模為1）和一個零點（實部σ=100，虛部ω=0，其模為100）。由于極點的實部小于0，該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。當(dāng)ω=0的時候［即DC（直流）響應(yīng)］，分母的模為1，相位為0，分子的模為100，相位為π，因此頻率響應(yīng)的幅度為100，相位為π。我們接下來增加一點點ω，讓它等于0.001。這個時候ω遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于極點的模，因此頻率響應(yīng)分母的值和DC時沒有顯著區(qū)別（1+j0.001≈1）。ω也遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于零點的模，因此頻率響應(yīng)分子的值也和DC時基本相同。所以當(dāng)ω的值遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于某個極點/零點的模的時候，該極點/零點的效應(yīng)可以忽略不計。這也是在實際電路設(shè)計中很多頻率遠(yuǎn)高于電路工作頻率的極點/零點在分析的時候可以忽略的原因。當(dāng)ω增加至1時，分母變?yōu)椋╦1+1），此時分母的幅度由DC時的1變?yōu)椤?，相位則由0變?yōu)棣?4。由于ω仍然遠(yuǎn)小于零點（1《《100），分子較DC相比仍然沒有變化。頻率ω=1時對極點是一個轉(zhuǎn)折點：隨著ω繼續(xù)增長，該極點的效應(yīng)漸漸變得顯著。當(dāng)ω=10的時候，ω已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于極點的模，因此頻率響應(yīng)的分母可以近似為jω，相位為π/2。此后隨著ω繼續(xù)增長，分母的模隨之變大，因此在零點發(fā)揮作用前，頻率響應(yīng)的幅度會隨著頻率增大以20dB/dec的速度減小。另一方面，當(dāng)ω增大到遠(yuǎn)大于零點的模（》》100）時，頻率響應(yīng)的分子可以近似為jω，因此分子的相位為π/2，且分子的模隨著頻率增長以20dB/dec的速度增長。此時分子和分母的模都以20dB/dec增長，因此互相抵消，頻率響應(yīng)的幅度不再變化，而相位則由DC時的π變?yōu)?。

H（jω）的幅度和相位

零點和極點對頻率響應(yīng)的效果也可以由s平面零極點圖解釋。上面例子的零極點圖如下：

開始ω1=0 （即DC響應(yīng)），極點向量的相位為0。之后隨著ω增加，極點向量的長度逐漸增長，相位貢獻θ也逐漸變大。當(dāng)ω等于極點的模的時候（ω2），根據(jù)初中數(shù)學(xué)極點向量的長度變?yōu)镈C時的√2倍，而相位角θ為π/4。之后隨著ω繼續(xù)增長到遠(yuǎn)大于極點的模的時候，極點向量漸漸變得和ω軸平行，此時極點向量的長度近似等于ω，而相位角θ也漸漸逼近π/2。對于零點也可以做類似的分析。這樣圖解分析與之前分析的結(jié)果相同，但是更直觀。