二階零極點(diǎn)

我們先重新學(xué)習(xí)二次函數(shù)的根的表達(dá)式。我們?cè)诟咧袑W(xué)的二次函數(shù)根長(zhǎng)這樣：

但是問(wèn)題是，這樣的表達(dá)式是高熵的，比如某一個(gè)傳輸函數(shù)的分母的根按照傳統(tǒng)高中學(xué)過(guò)的表達(dá)式，長(zhǎng)這樣：

你看這個(gè)表達(dá)式，長(zhǎng)得這么丑，看著就渾身難受。除非你用一個(gè)繪圖軟件，并把所有R C的值帶入，否則你沒(méi)有辦法快速找出這兩個(gè)根的關(guān)系，沒(méi)法根據(jù)這個(gè)表達(dá)式快速繪出頻率響應(yīng)。更重要的是，你沒(méi)有辦法從這個(gè)表達(dá)式快速看出要怎樣設(shè)計(jì)R C以達(dá)到你的目的。

所以Prof. Abidi（原引Prof. Middlebrook）教育我們要用適合電路設(shè)計(jì)的二次函數(shù)根式。

回去看高中根式，其實(shí)這個(gè)根式用的是兩根之和等于-b/a 的性質(zhì)。但是二次函數(shù)兩根之積還等于c/a，新根式正是運(yùn)用了兩根之積性質(zhì)。換句話說(shuō)，高中公式看的是兩根的算術(shù)平均，新根式看的是兩個(gè)的幾何平均。不要忘了在對(duì)數(shù)刻度中，幾何平均比算術(shù)平均更加有意義，因?yàn)閮蓚€(gè)刻度的中點(diǎn)是幾何平均。

新根式如下：

注意看新根式的對(duì)稱性！拿到一個(gè)二階表達(dá)式，我們只要算Q和ω0就可以了。有同學(xué)會(huì)問(wèn)，那F怎么辦，F(xiàn)不是還是亂糟糟么？其實(shí)不然，我們把F和Q的關(guān)系畫(huà)一下：

你看，當(dāng)Q小于0.3的時(shí)候，F(xiàn)約等于1。所以我們只要根據(jù)Q的表達(dá)式，估計(jì)Q值，如果遠(yuǎn)小于0.3，那么就是兩個(gè)實(shí)根，一個(gè)是-ω0Q，另一個(gè)-ω0/Q 啦！

有同學(xué)會(huì)問(wèn)，那Q 在0.3和0.5中間時(shí)候怎么辦呢？很簡(jiǎn)單，把他們近似成兩個(gè)重實(shí)根就好了。

如果Q大于0.5，我們就有復(fù)數(shù)根（共振）了。

這樣的表達(dá)式利于具體的電路設(shè)計(jì)。我們可以分析電路模型，把ω0和Q用電路元件的參數(shù)表達(dá)出來(lái)。之后比如我們可以設(shè)計(jì) ω0以達(dá)到帶寬要求。設(shè)計(jì)Q 以達(dá)到穩(wěn)定性要求。