我真的很想把這篇文章命名為“Of RMS and the Mean I sing”。但是明智的編輯頭頭們?cè)恢挂淮蔚馗嬖V我，古怪的標(biāo)題不會(huì)吸引人們，這種虛假的學(xué)識(shí)反而會(huì)疏遠(yuǎn)讀者?，F(xiàn)在，我對(duì)濾波器的了解比對(duì)George Bernard Shaw的作品要多得多，所以我最終放棄了自作聰明的標(biāo)題，而在文章中對(duì)下面五個(gè)與RMS相關(guān)的信息，著重強(qiáng)調(diào)了它們的實(shí)用價(jià)值：

1.RMS是給定信號(hào)段的特定屬性

2.濾波與求平均值不是一回事

3.RMS并非總是與功率有關(guān)

4.在采樣系統(tǒng)中，RMS比均值更優(yōu)

5.無(wú)法通過(guò)對(duì)連續(xù)的RMS結(jié)果濾波來(lái)提高精度

信息1：RMS是給定信號(hào)段的特定屬性

RMS的“基本”定義眾所周知，即對(duì)一些數(shù)據(jù)求平方（S），求出平均值（M），然后取平方根（R）。那么，為什么不稱(chēng)其為SMR，而是RMS呢？我猜想那是因?yàn)椴捎昧四娌ㄌm記法（RPN）。我肯定是個(gè)愛(ài)好者，花了大量時(shí)間在全新的“特別版”HP 15計(jì)算器上。但是我離題了。

好吧，我們應(yīng)該使用哪些數(shù)據(jù)？當(dāng)有人拿來(lái)一個(gè)BNC插座，問(wèn)您“這個(gè)插座出來(lái)的信號(hào)，RMS值是多少？”時(shí)，您可能會(huì)回答：“我想您的意思是：您問(wèn)這個(gè)問(wèn)題時(shí)兩個(gè)時(shí)間點(diǎn)之間的信號(hào)的RMS值?！?/p>

這個(gè)回答其實(shí)沒(méi)那么滑稽，問(wèn)題在于，對(duì)于任何未知信號(hào)，僅當(dāng)給出相關(guān)信號(hào)段的起止時(shí)間時(shí)，才能確定其RMS“值”。如果是連續(xù)時(shí)間（“模擬”）信號(hào)，則其計(jì)算是先在起止時(shí)間之間對(duì)信號(hào)的平方進(jìn)行時(shí)間上的積分，將其除以持續(xù)時(shí)間，然后取平方根。而對(duì)于采樣信號(hào)來(lái)說(shuō)，則實(shí)際上只需要對(duì)所有采樣點(diǎn)的平方取平均值，然后取該平方根即可。

如果信號(hào)確實(shí)是周期性的，那么把測(cè)量時(shí)間設(shè)置為波形周期的整數(shù)倍，就會(huì)非常好。這樣得到的數(shù)字就與測(cè)量的起止時(shí)間無(wú)關(guān)。換句話說(shuō)，周期性波形的RMS值是該波形的一個(gè)特征常數(shù)。這個(gè)捷徑通常在計(jì)算中非常有用——在與波形周期相等的時(shí)間間隔內(nèi)，與RMS值相等的DC電壓，對(duì)恒定負(fù)載提供的能量與信號(hào)本身相同。但我在這兒說(shuō)得有點(diǎn)超前了……

信息2：濾波與求平均值不是一回事

理想的“RMS響應(yīng)”測(cè)量設(shè)備，在饋入周期性波形時(shí)，輸出應(yīng)完全保持不變。它應(yīng)與重復(fù)頻率和測(cè)量設(shè)備的輸出采樣率無(wú)關(guān)。為了提供穩(wěn)定的RMS值，設(shè)備需要確定波形的周期。如果該周期未知、無(wú)法確定、不存在或者隨時(shí)間而變化，則根本不可能實(shí)現(xiàn)嚴(yán)格的RMS測(cè)量。但這并不能阻止大多數(shù)電壓表或RMS-DC轉(zhuǎn)換器IC給出答案。在這種情況下，就需要相當(dāng)謹(jǐn)慎——這是很不明確的。

界定不清是因?yàn)镽MS-DC轉(zhuǎn)換器IC（大多數(shù)“真RMS”電壓表的前端都包含有）用單極點(diǎn)低通濾波器代替了嚴(yán)格的時(shí)間平均過(guò)程。從表面上看，這種濾波可以實(shí)現(xiàn)與求平均值過(guò)程相似的工作——抑制平方信號(hào)的變化，提供穩(wěn)定的答案。實(shí)際上，若提供連續(xù)的周期性波形，且其重復(fù)頻率遠(yuǎn)高于低通濾波器的截止頻率，則獲得的結(jié)果就與嚴(yán)格的求平均值方法相同。

實(shí)際上，求平均值是低通濾波的一個(gè)非常具體的例子——它恰好是唯一一種濾波形式，能實(shí)際上為所加信號(hào)在“現(xiàn)在”和“現(xiàn)在減去求平均值時(shí)間”之間的平均值給出“正確”答案。其他低通濾波器可以很好地對(duì)信號(hào)進(jìn)行平滑，但求平均值的效果卻很差。要是不簡(jiǎn)單的話，有可能設(shè)計(jì)一種模擬濾波器，其脈沖響應(yīng)與平均器的矩形波串（box-car）脈沖響應(yīng)相近似。但是本文稍后會(huì)看到，無(wú)法將這種濾波器集成到傳統(tǒng)的模擬RMS-DC轉(zhuǎn)換器設(shè)計(jì)中。該死，我又說(shuō)超前了……

配備常規(guī)單極點(diǎn)低通濾波的RMS-DC轉(zhuǎn)換器IC，若是饋入非周期性信號(hào)，則其產(chǎn)生的輸出永遠(yuǎn)不會(huì)完全等于任何實(shí)際波形段的RMS值。相反，所得到的是RFS，即信號(hào)平方的濾波版本的平方根。這種濾波的存在，及其可能帶來(lái)的異常狀態(tài)，就是RMS成為“Filter Wizard”（濾波器行家，譯者注：作者所著系列文章）探索的重要主題的原因。異常狀態(tài)是否要緊，取決于這種轉(zhuǎn)換器所用于的應(yīng)用。我們會(huì)發(fā)現(xiàn)有時(shí)確實(shí)可以利用這種情況。

信息3：RMS并非總是與功率有關(guān)

RMS測(cè)量通常與功率相關(guān)。網(wǎng)上經(jīng)?？吹接腥藬嘌裕ㄎ揖驼f(shuō)過(guò)），某個(gè)波形的RMS值即是，如果將其當(dāng)作DC電平施加到負(fù)載上，則在該負(fù)載上所耗散的功率就與施加信號(hào)本身時(shí)相同。與許多斷言一樣，這個(gè)斷言只有在滿足一系列條件時(shí)才是正確的。有時(shí)它們不對(duì)。

一個(gè)例子是，假設(shè)在某個(gè)實(shí)驗(yàn)中，有兩個(gè)1Ω電阻要用作加熱器。若對(duì)這樣一個(gè)電阻器的兩端施加1V電壓，則流過(guò)它的電流就是1A，所耗散的功率也就是1W，即1J/s。假設(shè)每次向每個(gè)電阻依次施加1V電壓1s，則在2s的時(shí)間內(nèi)，每個(gè)電阻就會(huì)耗散1J能量，因此，不足為奇，總耗散功率僅為1W。

現(xiàn)在，如果把兩個(gè)電阻并聯(lián)起來(lái)，施加1V電壓1s，然后關(guān)閉電壓1s。在第1s，每個(gè)電阻會(huì)產(chǎn)生1J熱量，而在第2s，則沒(méi)有能量耗散?？偰芰吭?s內(nèi)是2J，仍然是1W。這么明顯的問(wèn)題我花了兩段來(lái)講，真是抱歉。

下面來(lái)計(jì)算每種情況下的RMS電流。對(duì)于此處的簡(jiǎn)單波形來(lái)說(shuō)，真是微不足道。在第一種情況下，電流平方的平均值顯然為1A2，因此RMS值顯然為1A。在第二種情況下，平方電流的平均值為（4×1+0×1）/2=2A2，因此RMS電流為1.4142A。什么？這兩種情況下在實(shí)驗(yàn)期間所耗散的能量相同，這是顯而易見(jiàn)的，但為什么這時(shí)的RMS電流卻不同呢？我還以為相同的RMS就會(huì)產(chǎn)生相同的功率呢？

答案是我們沒(méi)有使負(fù)載值保持恒定。從中學(xué)到的重點(diǎn)是，只有在電壓和電流之間的比例常數(shù)在整個(gè)測(cè)量期間不變時(shí)，電流或電壓的RMS值與系統(tǒng)中的功耗之間的關(guān)系才適用（好吧，這樣來(lái)介紹“電阻”有點(diǎn)賣(mài)弄學(xué)問(wèn)了）。在許多實(shí)際情況下——例如我們家里的電源所連接的負(fù)載，或是手機(jī)天線所見(jiàn)的阻抗的實(shí)部——這種恒定性都是不存在的。在這種情況下，要測(cè)量功率，就需要同時(shí)了解電流和電壓，并對(duì)其乘積進(jìn)行積分而獲得能量。在這種情況下，僅對(duì)一個(gè)參數(shù)進(jìn)行RMS測(cè)量，會(huì)產(chǎn)生誤導(dǎo)。

信息4：在采樣系統(tǒng)中，RMS比均值更優(yōu)

要產(chǎn)生與AC信號(hào)幅度相對(duì)應(yīng)的DC電平，一種最常見(jiàn)的方法是對(duì)信號(hào)進(jìn)行整流，然后濾除高頻“垃圾”，剩下的就是與幅度成比例的DC分量。自從電子時(shí)代開(kāi)始以來(lái)，采用這種方式工作的AC電壓表就已經(jīng)問(wèn)世了——盡管它們是對(duì)信號(hào)絕對(duì)值的平均值進(jìn)行響應(yīng)，但卻通常被稱(chēng)為“平均響應(yīng)”。

對(duì)模擬域中的AC信號(hào)整流，是一種標(biāo)準(zhǔn)的電子技術(shù)，電路缺陷對(duì)性能（例如放大器帶寬）的影響已廣為人知。專(zhuān)用的RMC-DC轉(zhuǎn)換器IC（我們現(xiàn)在來(lái)討論它們）往往價(jià)格較高，而節(jié)儉的工程師（幾乎我們所有人都是）對(duì)于不太重要的應(yīng)用，尤其是當(dāng)所加信號(hào)接近于正弦波時(shí)，通常都傾向于搭建自制的平均響應(yīng)電路。

如果在對(duì)信號(hào)進(jìn)行采樣后在數(shù)字域中進(jìn)行計(jì)算（假設(shè)輸入信號(hào)所處的頻率范圍可以轉(zhuǎn)換為數(shù)字），那么我們有可能傾向于使用絕對(duì)值方法，因?yàn)閷?duì)于有符號(hào)的信號(hào)數(shù)字表示來(lái)說(shuō)，運(yùn)用這種運(yùn)算很簡(jiǎn)單。由于不需要擴(kuò)展內(nèi)部精度，它也很有吸引力。有符號(hào)的16位樣本，其絕對(duì)值是個(gè)16位數(shù)，而該樣本的平方則需要32位才能表示。

但是，一旦進(jìn)入到數(shù)字域，就強(qiáng)烈建議使用RMS技術(shù)而不是絕對(duì)值方法。原因很簡(jiǎn)單。絕對(duì)值和平方都是非線性運(yùn)算。當(dāng)用于采樣信號(hào)時(shí)，這類(lèi)運(yùn)算會(huì)導(dǎo)致其他頻率產(chǎn)生，而如果采樣率大于一半，則這些頻率會(huì)發(fā)生混疊。在這兩種方法中，平方是一種良性、可預(yù)測(cè)的運(yùn)算——僅會(huì)產(chǎn)生二次諧波，因此很容易跟蹤。甚至在運(yùn)用降噪濾波器之前，只需要以最高信號(hào)頻率的四倍進(jìn)行采樣，就可以防止由二次諧波引起的任何意外的音調(diào)成分再次出現(xiàn)在數(shù)據(jù)集中。如果濾波后的幅度測(cè)量代表音頻之類(lèi)的感興趣的信號(hào)，則這點(diǎn)就尤其重要。

相反，由于在零交叉點(diǎn)處突然間斷，取信號(hào)的絕對(duì)值會(huì)產(chǎn)生無(wú)限的信號(hào)諧波序列。無(wú)論輸入頻率多低，這些諧波中的某些在混疊后總是會(huì)回到所需的頻率范圍以?xún)?nèi)。在某些情況下，這些混疊的頻率可能太低，以至于它們實(shí)際上在測(cè)量時(shí)會(huì)以紋波的形式出現(xiàn)，而用通常的平滑濾波器無(wú)法消除它們。如果試圖設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字AM解調(diào)器，通過(guò)對(duì)已調(diào)幅載波波形的絕對(duì)值進(jìn)行濾波來(lái)從該載波的采樣版本中恢復(fù)音頻，那么這就馬上顯而易見(jiàn)。由此帶來(lái)的帶內(nèi)音調(diào)混亂，可能使其無(wú)法使用。對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行平方運(yùn)算，濾除所產(chǎn)生的載波二次諧波，然后對(duì)該結(jié)果取平方根，即可獲得清晰的音頻再現(xiàn)——我已經(jīng)在真實(shí)產(chǎn)品中做到了。

信息5：無(wú)法通過(guò)對(duì)連續(xù)的RMS結(jié)果濾波來(lái)提高精度

RMS-DC轉(zhuǎn)換器IC的數(shù)據(jù)手冊(cè)中講到，當(dāng)輸入頻率低到足以“穿過(guò)”內(nèi)部所設(shè)置的濾波過(guò)程時(shí)，其就會(huì)產(chǎn)生輸出紋波，因此其中討論了通過(guò)使用后置濾波器來(lái)減少這一輸出紋波的水平?？梢酝ㄟ^(guò)采用數(shù)值低得多的電容器搭建電路，在輸出端增加一兩個(gè)額外的極點(diǎn)，來(lái)拒絕這些不期望的頻率——實(shí)現(xiàn)良好低頻響應(yīng)所需的大容值鉭電容器，通常是電路板上體積最大、壽命最短的元件。

這種方法有一個(gè)缺陷。數(shù)據(jù)手冊(cè)對(duì)此幾乎只是順帶提及，好像就不是個(gè)問(wèn)題，但是卻確實(shí)應(yīng)該考慮。這個(gè)問(wèn)題就是：如果RMS轉(zhuǎn)換器芯片的輸出上具有明顯的紋波，則其DC值就已經(jīng)錯(cuò)誤。再加一個(gè)低通濾波器也無(wú)法改變答案的精度，這只能消除一些煩人的紋波。但是，對(duì)于錯(cuò)誤答案來(lái)說(shuō)，把它變得更穩(wěn)定又有什么意義呢？我在講解濾波器的使用時(shí)，就以這個(gè)為例說(shuō)明了一種情況，即存在的AC信號(hào)就不是用濾波器解決的問(wèn)題，而是另一個(gè)更深層次的問(wèn)題的征兆，對(duì)此，濾波器可能不是正確的解決方案。

解決這個(gè)問(wèn)題的適當(dāng)方法，是在RMS轉(zhuǎn)換器內(nèi)核本身當(dāng)中使用更好的濾波——但是，對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)的RMS-DC轉(zhuǎn)換器IC中所使用的標(biāo)準(zhǔn)架構(gòu)來(lái)說(shuō)，這基本上是不可能的。這個(gè)架構(gòu)是一項(xiàng)出色的發(fā)明，稱(chēng)為隱式RMS轉(zhuǎn)換，它解決了動(dòng)態(tài)范圍問(wèn)題，否則就無(wú)法在寬動(dòng)態(tài)范圍內(nèi)進(jìn)行RMS的模擬計(jì)算。這個(gè)問(wèn)題是，如果只有一個(gè)很小的輸入信號(hào)（相對(duì)于要處理的最大信號(hào)），那么對(duì)其幅度平方，會(huì)使其變得更小。如果要在輸入端處理的動(dòng)態(tài)范圍為90dB，則平方信號(hào)需要的跨度就為180dB。用任何實(shí)用的電子電路都不可能做到。隱式RMS轉(zhuǎn)換巧妙地避免了實(shí)際上必須對(duì)信號(hào)進(jìn)行平方（可以預(yù)見(jiàn)，顯式方法中需要去做）的問(wèn)題，因此不需要管理非常小的模擬電平。

但是，隱式方法是一種反饋系統(tǒng)，清除高頻殘差的濾波過(guò)程是在這個(gè)反饋回路的內(nèi)部。對(duì)于穩(wěn)定工作點(diǎn)周?chē)娜魏涡⌒盘?hào)激勵(lì)來(lái)說(shuō)，正式的反饋規(guī)則都適用，因此濾波器的傳遞函數(shù)需要能包裹在反饋回路內(nèi)部。這實(shí)際上就限制了只能在任何實(shí)際電路中使用一階濾波器。

如果使用數(shù)字實(shí)現(xiàn)，使用ADC采樣，然后對(duì)結(jié)果進(jìn)行平方，則動(dòng)態(tài)范圍僅受所用算術(shù)的精度所限制，并且這一精度可以提高到遠(yuǎn)超可能對(duì)結(jié)果產(chǎn)生限制的任何值。有了這樣廣泛的范圍，顯式方法——對(duì)信號(hào)平方，執(zhí)行所選的求平均值或?yàn)V波，然后取平方根——就成為數(shù)字域的首選方法。使用顯式方法，就可以使用任何想用的濾波器?？焖俳?、強(qiáng)抑制能力的濾波器方法在此就正好適用，可以處理掉平方域中的所有紋波，然后最終求得這一穩(wěn)定答案的平方根。

這也不是說(shuō)在模擬和數(shù)字方法之間二者擇一。如果要設(shè)計(jì)一個(gè)RMS測(cè)量系統(tǒng)，要求在不使用可樂(lè)罐大小的電容器的情況下，對(duì)從毫赫茲到兆赫茲的信號(hào)具有良好的精度，那么就應(yīng)考慮采用混合方法。這里從一個(gè)良好的模擬域RMS-DC轉(zhuǎn)換器開(kāi)始。對(duì)于物理上合理的求均值電容器尺寸來(lái)說(shuō)，會(huì)碰到一個(gè)較低的極限頻率——若低于它，輸出紋波就會(huì)逐漸增加，這就會(huì)對(duì)得到穩(wěn)定答案造成不便。但是不用擔(dān)心，下面是有關(guān)這個(gè)情況的知識(shí)：這個(gè)RMS轉(zhuǎn)換器輸出的RMS值仍然正確！不要去犯試圖把紋波濾除的錯(cuò)誤，只需將整個(gè)信號(hào)饋入到另一個(gè)RMS轉(zhuǎn)換器（這次是數(shù)字轉(zhuǎn)換器）的輸入即可。任何帶良好ADC的微控制器都可以工作。

這樣就得到了一個(gè)混合的兩級(jí)轉(zhuǎn)換器。第一級(jí)在模擬域中工作：高頻“變成DC”，而非常低的頻率出來(lái)時(shí)，看起來(lái)就像是輸入信號(hào)的絕對(duì)值（很明顯，對(duì)吧？）。第二級(jí)以數(shù)字方式進(jìn)行工作，但由于它僅負(fù)責(zé)處理DC和一些低頻紋波的混合物，因此無(wú)需進(jìn)行非?？焖俚牟蓸?。需要確保ADC的頻率響應(yīng)不會(huì)使任何重要頻率上的紋波顯著衰減。然后，第二級(jí)就會(huì)通過(guò)顯式并使用快速響應(yīng)數(shù)字濾波，對(duì)第一個(gè)RMS轉(zhuǎn)換器的輸出計(jì)算出RMS值，然后其結(jié)果就是期望的總體答案。

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