鋰電池是目前在各個能源密集型行業(yè)中用途廣泛，例如新能源汽車、電力微網(wǎng)、航空航天等。電池模型的建立對研究電池的特性、SOC（state-of-charge）估計(jì)、SOH（state-of-health）估計(jì)、BMS算法開發(fā)以及電池系統(tǒng)的快速實(shí)時仿真有重要的意義。

等效電路建模，由于其簡單適用性，常常應(yīng)用在在系統(tǒng)級仿真和控制算法設(shè)計(jì)過程中。通過實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)采集、等效電路模型建立和數(shù)學(xué)優(yōu)化技術(shù)，用相對簡單的RC等效電路可以模擬一個電芯。若干電芯模型通過不同類型的并串聯(lián)方法，形成電池包模型。在電池包模型內(nèi)，也可加入熱電效應(yīng)仿真。

在上圖中，10 個電芯以 10S1P 的形式形成一個電池包（此處工具為 Simscape）。藍(lán)色的線表示電線連接，橙色的表示熱交換連接。在圖中電芯之間的熱交換形式為熱對流。

電芯的模型為下圖所示：R0 表示內(nèi)阻，R1C1 表示一對 RC，左邊的電壓源表示開路電壓（Em）。由于只有一對 RC，所以這是一階等效電路。

上圖表明，通過在一個不斷充放電的工況下的仿真，我們發(fā)現(xiàn)電芯 5 和電芯 6 有較高的溫度，而電芯 1 和電芯 10 溫度較低。原因是在串聯(lián)結(jié)構(gòu)中，位置處于中間的電芯散熱較差，而處于邊緣的電芯散熱較好。

鋰電池的型號多種多樣，比如鎳鈷錳三元材料 (NMC)、磷酸鐵鋰 (LFP) 等。每種電池的化學(xué)特征決定了各自不同的等效電路特征。等效電路的特征由如下兩個要點(diǎn)決定：

RC 的階數(shù)

R0 、RC 和 Em 的數(shù)值

下一節(jié)中我們將討論如何獲?。ü烙?jì)）上述兩個要點(diǎn)數(shù)值。

鋰電池的老化對模型的影響也是電池模型研究的方向之一。找出模型的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和模型參數(shù)的改變趨勢，對于 SOH 的估計(jì)有很強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)意義。本文將在第四章中討論電池老化對電池模型的影響。

被動均衡也是電池管理系統(tǒng)（BMS）的研究熱點(diǎn)之一，文末我們將給出一個被動均衡的示例供讀者參考。

RC 等效電路的參數(shù)設(shè)計(jì)

脈沖放電法

RC 等效電路有物理意義的前提是電路中所有 RC 對和 R0 都必須完整地“經(jīng)歷過”一個放電周期。 右下圖所示的 RC 等效模型中，R0 表示一個放電循環(huán)中的“立即響應(yīng)”，RC 對表示一個放電循環(huán)中的“滯后相應(yīng)”。左下圖表示脈沖放電以及開路電壓（Em）的回穩(wěn)過程。 可以看到，在一個脈沖放電后，電芯通過“立即相應(yīng)”和“滯后響應(yīng)”再靜置一段時間后得到的穩(wěn)定的開路電壓。通常來說靜置時間為 1 小時以上為佳。

脈沖放電的一個脈沖使得 10%（一個比較合適的百分比）的 SOC 下降，靜置等待開路電壓回穩(wěn)。此處，10% SOC 的下降為一個估計(jì)值，假設(shè)一個電池容量為 100mAH，那么我們放電 10% 即 10mAH，如果放電倍率為 1C，分 10 次放完。那么單個脈沖放電時間為 1 小時 * 10% = 6 分鐘。

如此重復(fù)多次（避免 SOC 為極限低點(diǎn)而損害電池），得到完整的脈沖放電曲線，我們就可以得出 RC 對、R0 和 Em 估計(jì)所需要的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。

在某一溫度下完整的放電曲線

由于鋰電池對溫度敏感，上述放電實(shí)驗(yàn)可以在多個溫度下進(jìn)行。加入溫度的影響后，建模的任務(wù)就是要根據(jù)多個溫度下放電數(shù)據(jù)，估計(jì)出 R0，RC 和 Em。它們在模型的表現(xiàn)形式均是一個二維的 Look-Up Table。

R0, R1, C1, Em = f(SoC, T)

電池模型參數(shù)估計(jì)的步驟

步驟一：確定RC 階數(shù)

很多人理解為，RC 階數(shù)越多越準(zhǔn)確。這個是錯誤的觀點(diǎn)，因?yàn)檫^多的 RC 階數(shù)會讓數(shù)學(xué)優(yōu)化過程變得計(jì)算量過大；也有可能會造成過擬合現(xiàn)象，即將數(shù)據(jù)中的噪聲數(shù)據(jù)也擬合出來。這樣的數(shù)學(xué)模型沒有意義。

正確的 RC 階數(shù)取決于：放電靜置回穩(wěn)后的那段指數(shù)曲線。

由于 RC 之積 Tau 的單位為時間。線段的長度為時間。該線段的函數(shù)表達(dá)式為：

如果為一個三階函數(shù)，我們可以用 MATLAB 的曲線擬合工具箱去擬合：

y = 1c - a*exp(-b*x) - d*exp(-e*x) - f*exp(-g*x)

有了這個基本思路，我們就可以從一階開始逐步用 MATLAB 做曲線擬合，直至符合要求為止。

步驟二：構(gòu)建參數(shù)估計(jì)模型（基于某一溫度）

根據(jù)上一小節(jié)的原則確定模型階數(shù)以后，我們可以用 Simulink/Simscape 來構(gòu)建電芯參數(shù)估計(jì)模型。此處 C1、R1、R0、Em 都是基于 SOC 的 Look-Up Table。

步驟三：參數(shù)估計(jì)和驗(yàn)證

參數(shù)估計(jì)的輸入為某一溫度下的放電數(shù)據(jù)，輸出為 Em、RC、R0 等參數(shù)的 Look-Up Table（一維）。

Simulink Design Optimization 可以根據(jù)輸入數(shù)據(jù)，選擇不同的算法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，目的是仿真曲線和實(shí)驗(yàn)曲線誤差最小。

參數(shù)估計(jì)有幾種優(yōu)化算法可選：

Gradient descent

Non-linear least squares

Pattern search

Simplex search

其中 Non-linear least squares 比較常用，但容易找到非全局優(yōu)化點(diǎn)。Pattern search 為全局優(yōu)化，適合初學(xué)者。

在參數(shù)估計(jì)結(jié)束之后，可以做實(shí)際工況數(shù)據(jù)對模型的驗(yàn)證工作。所謂驗(yàn)證就是用實(shí)際的電池運(yùn)行數(shù)據(jù)（同一溫度下）來校驗(yàn)得到的等效模型。如果誤差很小，那么表示該模型真實(shí)可用。例如：下圖的黃色（仿真）和紫色（實(shí)測）的數(shù)據(jù)基本一致。

很多人抱怨在參數(shù)估計(jì)中由于計(jì)算量過大，導(dǎo)致運(yùn)行速度很慢，這里給出兩個小技巧可顯著加快估計(jì)速度：

選擇并行多核加速

打開“Fast Restart”開關(guān)

步驟四：在多個溫度下建立電芯模型

剛才我們的等效電路模型中，RC、R0、Em 等經(jīng)過參數(shù)估計(jì)，得出的實(shí)際上是一維的 Look-Up Table（維度為SOC），那么我們可以通過設(shè)計(jì)多個溫度下（例如 5、20、40 攝氏度）的：

脈沖放電實(shí)驗(yàn)

參數(shù)估計(jì)

將“溫度”這個緯度加入到等效電路中，最終形成二維的 Look-Up Table。即完整的具有溫度和 SOC 屬性的電芯模型。

R0, R1, C1, Em = f(SoC, T)

步驟五：形成電池包模型

在單個電芯模型建立完成后，可通過不同的串并聯(lián)線路將電芯形成電池包模型。電池包模型可以用來仿真熱效應(yīng)、電芯均衡或者其他應(yīng)用場景。

電池老化對電池模型的影響

老化對電池的影響不可忽視，老化的影響應(yīng)該被反映到電池模型。為了研究這一課題，MathWorks 和其他廠商的工程師設(shè)計(jì)了為期 13 個月的老化實(shí)驗(yàn)：

為了加速老化過程，工程師選擇在 40 度的溫度下做 UDDS 的駕駛循環(huán)測試，每隔 15 星期記錄下變化的數(shù)據(jù)，并做等效模型的建立和參數(shù)估計(jì)，試圖通過這一過程發(fā)現(xiàn)模型拓?fù)浜蛥?shù)變化的規(guī)律。

電路拓?fù)涞淖兓?/p>

0 周時候的電路拓?fù)?/p>

15、45 周時候的電路拓?fù)?/p>

實(shí)驗(yàn)顯示：在電池未老化的時候（0 周），用 3 階等效電路模型可以反映電池特性。

在電池老化后期，用 5 階等效電路模型可以反映電池特性。

電池參數(shù)的變化

實(shí)驗(yàn)顯示，電池老化對等效電路參數(shù)的影響為：

開路電壓不變

R0 變化很大

RC 對數(shù)增加

Tau 增加（趨于穩(wěn)態(tài)時間增長）

BMS 設(shè)計(jì)者如果能在控制器中建立一個內(nèi)部的電池模型，通過參數(shù)規(guī)律和數(shù)值的估計(jì)，將有助于 SOH 的估計(jì)策略。

被動均衡模型示例

均衡策略是 BMS 的一部分，目前實(shí)際應(yīng)用較多的是被動均衡策略。

上圖給出了一個被動均衡的示例模型，三個電芯組成的電池包在狀態(tài)機(jī)（Stateflow）的邏輯驅(qū)動下控制 MOSFET 電路開關(guān)對各個電芯進(jìn)行電壓均衡。

MathWorks有能力為廣大電池（或 BMS）企業(yè)提供各種咨詢服務(wù)，咨詢服務(wù)可包括：BMS 開發(fā) MBD 咨詢、電池模型建立咨詢、流程改進(jìn)咨詢（以 ISO26262 為例）。