步驟1：了解算法第1部分：定積分及其使用

我假設(shè)您對基本演算的背景了解一點(diǎn)積分。積分很重要，因?yàn)樗鼈兪鼓梢詫⒅禂?shù)組乘以 infinitesimal 長度求和；這在金融，數(shù)論，物理，化學(xué)以及許多其他領(lǐng)域中很有用。但是，該程序僅允許您計(jì)算有限間隔內(nèi)曲線下方的面積，換句話說，它不會(huì)評估反導(dǎo)數(shù)-要使用更強(qiáng)大的算法，那。如果您需要在針對其他對象指定的較大程序中求值定積分，或者要檢查答案是否需要手工完成，則此算法很有用。

基本定積分表示函數(shù)定義的曲線下的面積，例如F（X）。對于確定的積分，我們求兩點(diǎn)之間的面積（分別標(biāo)記為a和b）。在圖片中，綠松石區(qū)域是我所指的區(qū)域，并且確定該區(qū)域的公式也顯示在該區(qū)域中。圖片中顯示的功能是任意的。

步驟2：了解算法第2部分：數(shù)值逼近

計(jì)算機(jī)需要大量的指令來計(jì)算該面積在可用于任何功能的任意函數(shù)下，因此您可能熟悉的分析方法沒有用，因?yàn)樗鼈兲厥饬?。一種計(jì)算機(jī)可以實(shí)際處理的近似計(jì)算積分的方法是，用感興趣的區(qū)域填充用戶定義的寬度和高度可變的矩形，然后對所有矩形區(qū)域求和，從而完成計(jì)算。矩形的剛性將使某些總面積保持不變，因此為什么將其視為近似值；但是，您可以在邊界（a和b）之間填充的矩形越多，由于未觸摸的區(qū)域變得稀疏，所以近似值越準(zhǔn)確。由于計(jì)算機(jī)將執(zhí)行此任務(wù)，因此可以將所需區(qū)域中的矩形數(shù)量設(shè)置為非常大的數(shù)量，從而使逼近非常精確。在支持圖片中，假設(shè)指定區(qū)域中的每個(gè)矩形都具有相等的寬度。我盡了最大努力使它們在Microsoft Paint中具有相等的寬度，但沒有做得最好。

步驟3：了解算法第3部分：中點(diǎn)規(guī)則

此規(guī)則指定如何在矩形中制作和使用矩形近似值。 “ N個(gè)”矩形中的每個(gè)矩形必須具有相等的寬度Δx，但每個(gè)第n個(gè)矩形不能完全相同：變化因子是高度，它隨在某個(gè)點(diǎn)求值的函數(shù)而變化。中點(diǎn)規(guī)則之所以得名，是因?yàn)槟鷮⒚總€(gè)矩形的高度評估為f（x_n），其中“ x_n”是每個(gè)矩形的相應(yīng)中心點(diǎn)，分別位于矩形的左側(cè)或右側(cè)。使用中點(diǎn)就像實(shí)現(xiàn)平均值，比起使用右或左時(shí)，將使近似值更準(zhǔn)確。此步驟的輔助圖片總結(jié)了如何在數(shù)學(xué)上定義中點(diǎn)規(guī)則。

第4步：創(chuàng)建程序第1部分：下載Python編譯器/編輯器

現(xiàn)在，您了解了需要實(shí)現(xiàn)的算法，即讓計(jì)算機(jī)為您執(zhí)行計(jì)算的問題。告訴計(jì)算機(jī)該怎么做的第一步是獲取執(zhí)行此操作的工具。該算法可以用任何語言編碼。為簡單起見，該程序?qū)⑹褂肞ython語言進(jìn)行編碼。要命令您的計(jì)算機(jī)執(zhí)行Python操作，您將需要一個(gè)編輯器，該編輯器以該語言編寫指令，然后將其編譯為計(jì)算機(jī)可以理解的機(jī)器語言，從而可以執(zhí)行您要執(zhí)行的任務(wù)。在當(dāng)今時(shí)代，通常將編輯器和編譯器集成在一起，但是并不總是如此。您可以使用任何您喜歡的編輯器/編譯器，但我將向您展示如何獲取我個(gè)人最喜歡的Python：Canopy。如果您已經(jīng)具有編輯器/編譯器，則可以跳過這些步驟。

轉(zhuǎn)到https://www.enthought.com/product/canopy/

單擊下載機(jī)蓋

單擊與您的操作系統(tǒng)相對應(yīng)的下載按鈕

下載將自動(dòng)開始。

啟動(dòng)后，請按照滴注說明進(jìn)行操作執(zhí)行文件

運(yùn)行程序

從程序主菜單中單擊“編輯器”

在屏幕中央單擊“創(chuàng)建新文件”

從這一點(diǎn)開始，您應(yīng)該看到一個(gè)空白的白色窗口，其光標(biāo)類似于基本的文字處理文檔?，F(xiàn)在您可以開始編碼用于求解定積分的數(shù)值積分算法了。后續(xù)步驟將提供您要復(fù)制的代碼片段，并說明該代碼片段對整個(gè)程序的作用。

步驟5：創(chuàng)建程序第2部分：導(dǎo)入函數(shù)和定義變量

將代碼復(fù)制到圖片中。

對于您可能會(huì)發(fā)現(xiàn)自己進(jìn)行編碼的任何程序，都會(huì)有變量。變量是給將要操作并且可以更改的值的名稱。在大多數(shù)編程語言（如果不是全部）中，您必須先初始化變量，然后程序才能對其進(jìn)行更改。在此程序中，我將變量命名為“ N”，“ a”和“ b”。這些值分別表示迭代數(shù)（矩形的AKA數(shù)），下邊界和上邊界。您可以隨意命名這些名稱，但要匹配“理解算法第3部分：中點(diǎn)規(guī)則”中給出的公式，最好使其保持不變。請注意，它們不僅設(shè)置為特定值。這是因?yàn)閷⑺鼈冏鳛檩斎?，以便在運(yùn)行程序時(shí)，程序的用戶可以定義值。輸入命令后，引號(hào)中的文字會(huì)在您運(yùn)行程序時(shí)顯示，告訴您要鍵入哪種類型的值。您還將注意到，在輸入名稱之前使用了“ int”和“ float”。這些術(shù)語告訴計(jì)算機(jī)此值將是什么類型的變量。 “ int”是整數(shù)，“ float”是浮點(diǎn)值（即十進(jìn)制）。應(yīng)該清楚為什么要這樣指定它們。

在“?！敝蟪霈F(xiàn)的任何文本都是注釋，它使程序員可以以人性化的方式遵循代碼；我已經(jīng)在您的代碼中做了一些注釋，您將復(fù)制這些注釋，但是可以隨意添加任何對您有幫助的注釋。該程序?qū)⒉粫?huì)讀取任何帶有“?！弊鳛槊畹膬?nèi)容。

讀取“ from math import *”的代碼部分告訴程序?qū)胍幌盗锌梢允褂玫臄?shù)學(xué)函數(shù)無需自己編寫程序。 “ *”僅表示“全部”。將這部分代碼讀為：從數(shù)學(xué)庫中導(dǎo)入所有函數(shù)。這使您可以使用數(shù)學(xué)函數(shù)，例如正弦，余弦，對數(shù)，exp等。這些函數(shù)可以數(shù)學(xué)方式集成在代碼中。

第6步：創(chuàng)建程序第3部分：創(chuàng)建集成函數(shù)

將代碼復(fù)制到前一個(gè)下方的圖片中碼。

警告：本部分內(nèi)容繁瑣，我想清除一些可能引起混淆的內(nèi)容。在談?wù)?a href="http://www.brongaenegriffin.com/v/tag/1315/" target="_blank">編程時(shí)，“功能”一詞會(huì)彈出很多。當(dāng)您談?wù)摂?shù)學(xué)時(shí)，這個(gè)詞也會(huì)彈出很多。因此，從這一點(diǎn)開始，當(dāng)我在編程意義上談?wù)撘粋€(gè)函數(shù)時(shí)，我將寫“ Python函數(shù)”，而當(dāng)我談?wù)摂?shù)學(xué)函數(shù)時(shí)，我將說“數(shù)學(xué)函數(shù)”。在某些時(shí)候，我們將使用Python函數(shù)作為所討論數(shù)學(xué)函數(shù)的表示形式。

下一段代碼是程序的核心。在這里，定義了一個(gè)Python函數(shù)，該函數(shù)使用中點(diǎn)規(guī)則執(zhí)行數(shù)值積分算法。 “ def Integrate（N，a，b）”的讀法是：定義一個(gè)名為“ Integrate”的函數(shù)，該函數(shù)接受變量“ N”，“ a”和“ b”，并返回曲線下方的面積（數(shù)學(xué)函數(shù)）這也在“集成” Python函數(shù)中定義。您可以在進(jìn)行編碼時(shí)以任何方式調(diào)用此Python函數(shù)，但是將其稱為集成是有意義的，因?yàn)樗_實(shí)集成了數(shù)學(xué)函數(shù)。

在這一點(diǎn)上，值得一提的是Python隔離代碼塊。代碼塊是執(zhí)行特定任務(wù)的整個(gè)部分。不同的編程語言將具有指定的方式來區(qū)分這些“塊”。對于Python，一個(gè)塊通過縮進(jìn)來區(qū)分：每個(gè)執(zhí)行任務(wù)的部分都有自己的縮進(jìn)，并且其他縮進(jìn)塊中也可以有縮進(jìn)塊。這代表了任務(wù)中的任務(wù)，并從根本上告訴了代碼執(zhí)行的順序。對于已定義的Python函數(shù)“集成”，該函數(shù)中的所有內(nèi)容都縮進(jìn)一個(gè)塊，從而區(qū)分將在該函數(shù)中執(zhí)行的任務(wù)。這個(gè)Python函數(shù)中的縮進(jìn)部分也執(zhí)行自己的任務(wù)。內(nèi)容如下：列出命令（任務(wù)），在命令后面加冒號(hào)，并在其下方縮進(jìn)該命令的內(nèi)容。

在定義“集成” Python函數(shù)之后，您將立即定義另一個(gè)稱為f（x）的Python函數(shù)。這表示將要積分的數(shù)學(xué)函數(shù)。對于要集成的每個(gè)不同的數(shù)學(xué)函數(shù)，您都必須轉(zhuǎn)到此程序行以對其進(jìn)行更改（與運(yùn)行程序時(shí)定義的變量不同）。每個(gè)Python函數(shù)都會(huì)有一個(gè)返回值，這就是當(dāng)您將其賦值時(shí)該函數(shù)返回的結(jié)果。在這種情況下，拋出的值是“ x”，而這個(gè)“ x”項(xiàng)將采用您拋出的值的值，它是一個(gè)臨時(shí)值。

接下來，是一個(gè)for循環(huán)充當(dāng)本教程“理解算法”部分的公式中定義的求和。此求和需要更多幾個(gè)變量，其中一個(gè)將作為整個(gè)“ Integrate” Python函數(shù)的返回值。在for循環(huán)之前，我已將這些變量指定為“ value”和“ value2”。 for循環(huán)的任務(wù)是遍歷指定變量的值范圍，該變量可以在for-loop命令中方便地定義；在這種情況下，該變量為“ n”。發(fā)生迭代的范圍是1到N + 1。您應(yīng)該注意到，上述公式中定義的總和范圍僅從1到N。我們用這種方式進(jìn)行定義，因?yàn)镻ython語言會(huì)從0開始對每個(gè)迭代值進(jìn)行計(jì)數(shù)，因此我們必須從本質(zhì)上轉(zhuǎn)移這些值的范圍以適應(yīng)我們的期望范圍。然后，for循環(huán)允許將所有矩形的高度加在一起，并將該值存儲(chǔ)到我稱為“值”的變量中。這在顯示為：value + = f（a +（（n-（1/2））*（（b-a）/N）））的代碼段中可以看到。

從那里開始，下一段代碼使用名為“ value2”的變量，然后將其分配為每個(gè)矩形的所有高度的總和乘以每個(gè)矩形的標(biāo)準(zhǔn)化寬度。是我們要在程序中顯示的最終答案，因此是“集成” Python函數(shù)的返回值。

第7步：創(chuàng)建程序第4部分：顯示答案

將代碼復(fù)制到先前代碼下方的圖片中。

現(xiàn)在，可以通過“集成” Python函數(shù)獲得答案了，我們希望能夠顯示它。這只是將用戶輸入的值（“ N”，“ a”和“ b”）放入“集成” Python函數(shù)并將其打印在屏幕上的問題。該命令顯示在第21行，它實(shí)際上是完成該步驟所需的全部操作。第19和20行上的代碼僅用于“修飾”整個(gè)程序的輸出。 “ print（” 。..。..。..。..。..。..。..。..。..。..。..。..?！埃睂⒊绦虻妮斎氩糠峙c輸出部分分開，然后“ print （“這是您的答案：”），僅表示將在該行文本之后打印答案。

步驟8：運(yùn)行程序第1部分：按原樣運(yùn)行程序

如果您不使用Canopy，則您甚至可能根本不需要執(zhí)行此步驟，并且運(yùn)行該程序可能需要不同的過程。在Canopy中，您必須先保存它，然后才能運(yùn)行該程序。 Python程序的文件類型是.py文件-它會(huì)自動(dòng)保存為。選擇要保存文件的位置，然后就可以運(yùn)行該程序了。

運(yùn)行程序：

在顯示文件名的工具欄上方，點(diǎn)擊看起來像“播放按鈕”的綠色按鈕（請參閱圖片） ）。

然后該程序?qū)⒃诜Q為Canopy數(shù)據(jù)分析環(huán)境的編輯器的底部屏幕中運(yùn)行。假設(shè)您復(fù)制了我編寫的提示，則應(yīng)該在Canopy數(shù)據(jù)分析環(huán)境的底部看到提示：“輸入要累加的次數(shù)（更多=更準(zhǔn)確）：?！?。 （請參閱圖片）

輸入一個(gè)值，表示要執(zhí)行多少次迭代，即10000（要推入您所在區(qū)域的矩形數(shù)），然后按Enter鍵。

將出現(xiàn)更多的提示，這些提示應(yīng)該是您在步驟5中編碼到程序中的熟悉的輸入提示。

應(yīng)該對積分求值，并且應(yīng)該顯示結(jié)果。

如果您如上圖所示對程序進(jìn)行編碼，則您剛剛積分了f（x） = x ^ 2在一定范圍內(nèi)。 x ^ 2的積分很容易手動(dòng)計(jì)算，因此您應(yīng)該檢查并確保程序?qū)κ謩?dòng)確定的正確分析值給出了非常接近的答案。當(dāng)我使用N = 10000，a = 0和b = 10的值運(yùn)行程序時(shí)，得到的答案是333.33333249999964。正確的分析答案是333.333。這是非常準(zhǔn)確和快速的。實(shí)際上，您已經(jīng)在x軸上擠壓了10，000個(gè)介于0和10之間的矩形，并使用它們來近似計(jì)算曲線x ^ 2下的面積！

步驟9：運(yùn)行程序第2部分：集成其他數(shù)學(xué)函數(shù)

在上一步中，如果您一直在關(guān)注忠實(shí)地，您對f（x）= x ^ 2進(jìn)行了積分。這不是該程序可以集成的唯一數(shù)學(xué)函數(shù)。在第5步中，您已經(jīng)將Python函數(shù)的數(shù)學(xué)庫數(shù)組導(dǎo)入程序中。這使您可以使用可以集成的更復(fù)雜的數(shù)學(xué)函數(shù)。讓我們試一試。當(dāng)然，您可以使用任何想要的函數(shù)，但是我將通過集成一個(gè)特定的數(shù)學(xué)函數(shù)來進(jìn)一步證明該代碼的準(zhǔn)確性，該數(shù)學(xué)函數(shù)在一定范圍內(nèi)集成時(shí)會(huì)產(chǎn)生一個(gè)眾所周知的值。該函數(shù)為f（x）= Sin ［x］。此數(shù)學(xué)函數(shù)顯示在第一張隨附的圖片中，從0到2π進(jìn)行繪制，并且感興趣的區(qū)域以綠松石陰影顯示。在此間隔中，正面積與負(fù)面積相等，因此，如果將總面積相加，則應(yīng)該為零。讓我們看看這是否真的發(fā)生：

將數(shù)學(xué)函數(shù)f（x）= Sin ［x］放入程序中：

再次運(yùn)行程序之前，在注釋下“返回后#type您的函數(shù)，”鍵入：sin（x）當(dāng)前位于x ** 2的位置。 （參考圖片）。

再次點(diǎn)擊綠色的播放按鈕運(yùn)行程序。

輸入10000作為N值（您希望求和多少次）。

輸入“ 0”作為下邊界。

將6.2832輸入上邊界（大約2π）。

看看您能得到什么價(jià)值。

當(dāng)我這樣做時(shí)，最終得到的價(jià)值是1.079e-10：這等于.0000000001079，這實(shí)際上是接近于零，因此它看起來確實(shí)是準(zhǔn)確的，并且表明該算法足以處理負(fù)區(qū)域。

步驟10：運(yùn)行程序第3部分：擴(kuò)展程序

至此，您已經(jīng)完成：您已經(jīng)在其中編寫了一個(gè)有效的確定積分算法可以平穩(wěn)運(yùn)行并給出非常準(zhǔn)確答案的Python。但是，可以改進(jìn)此程序。我不是程序員，并且對Python的經(jīng)驗(yàn)很少。實(shí)際上，我不得不重新學(xué)習(xí)如何使用Python來完成本教程，但這應(yīng)該使您相信Python是一種易于學(xué)習(xí)的語言。我的觀點(diǎn)是，您可以通過提高程序效率來擴(kuò)展該程序，也許可以實(shí)現(xiàn)一些GUI，并使其更加用戶友好。

我對擴(kuò)展程序的想法：

實(shí)現(xiàn)一個(gè)圖形用戶界面，使您無需使用Canopy交互式數(shù)據(jù)分析環(huán)境即可運(yùn)行程序

對其進(jìn)行設(shè)置，以使無需集成要集成的數(shù)學(xué)函數(shù)程序，但可以在程序運(yùn)行后輸入（我最初是想這樣做，但無法弄清楚）。

定義一個(gè)“集成” Python函數(shù)，以便將f（x）函數(shù)視為在其中定義了f（x）函數(shù)的地方。

這些是只是一些需要改進(jìn)的例子，但我保證還有很多其他可以改進(jìn)的地方。因此，我將這一步驟作為該程序存在缺陷的一個(gè)示例，并作為任何想進(jìn)一步改進(jìn)該程序的人的練習(xí)。
責(zé)任編輯：wv