二進(jìn)制加法

我已經(jīng)忘了是什么時(shí)候?qū)W的加法了，應(yīng)該是小學(xué)吧，先學(xué)10以內(nèi)的，再學(xué)100以內(nèi)的，然后不管多大的數(shù)都可以隨便加了，算式很簡單，就是逢10進(jìn)1。

下面這個(gè)式子是一個(gè)萬以內(nèi)的加法：

相應(yīng)的，二進(jìn)制就是逢2進(jìn)1，下面這個(gè)式子是2個(gè)8位二進(jìn)制數(shù)的加法計(jì)算：

半加器

8位二進(jìn)制數(shù)還太復(fù)雜，我們先來看看1位二進(jìn)制數(shù)怎么計(jì)算的，一共有以下4種情況：

觀察一下就能發(fā)現(xiàn)2個(gè)規(guī)律。

第一個(gè)規(guī)律，只考慮加法，不考慮進(jìn)位時(shí)，加數(shù)與和之間的關(guān)系如下：

相同為0，不同為1。這個(gè)關(guān)系和「異或門」是相同的：

異或門我們之前沒有聊到過，電路圖長這樣：

第二個(gè)規(guī)律是，如果只考慮進(jìn)位，不考慮加法，加數(shù)與進(jìn)位之間的關(guān)系如下：

只有全1時(shí)，才為1。發(fā)現(xiàn)了嗎，這和本文開頭與門的真值表是一樣的。

2個(gè)一位二進(jìn)制數(shù)相加將產(chǎn)生一個(gè)加法位和一個(gè)進(jìn)位位，加法位輸入與輸出的關(guān)系跟與門是一樣的，進(jìn)位位跟異或門相同。

所以，可以像這樣把兩個(gè)門電路連起來，計(jì)算2個(gè)二進(jìn)制數(shù)（A和B）的和：

我們稱這個(gè)電路為「半加器」，因?yàn)樗荒苡?jì)算2個(gè)一位二進(jìn)制數(shù)的加法，沒有辦法將前面加法可能產(chǎn)生的進(jìn)位納入下一次計(jì)算中，如果有進(jìn)位則實(shí)際上是需要3個(gè)加數(shù)參與計(jì)算。

用門電路畫太復(fù)雜，可以封裝起來這樣表示半加器：

全加器

怎樣計(jì)算3個(gè)加數(shù)的二進(jìn)制加法呢？需要將2個(gè)半加器和一個(gè)或門如圖連接起來：

左邊能看到它有3個(gè)輸入，右邊依舊是1位加和輸出，1位進(jìn)位輸出。

2個(gè)數(shù)的加和與上一次的進(jìn)位相加，得出的加和作為3個(gè)數(shù)最終的加和；2個(gè)數(shù)相加或3個(gè)數(shù)相加的進(jìn)位作為3個(gè)數(shù)加和最終的進(jìn)位位。

用文字描述有點(diǎn)不好理解，把這個(gè)電路圖全部輸入和輸出情況都展示出來，畫一個(gè)表就明白了：

很明顯，這個(gè)表就是2個(gè)一位二進(jìn)制數(shù)帶進(jìn)位的全部狀態(tài)。

每次做加法時(shí)畫2個(gè)半加器和一個(gè)或門很麻煩，我們用下面這個(gè)圖示把它們封裝起來，這個(gè)能計(jì)算3位二進(jìn)制數(shù)加法的電路就稱為「全加器」。

加法器

現(xiàn)在回到開頭那個(gè)二進(jìn)制加法：

它有8個(gè)二進(jìn)制位，到目前為止我們還只能計(jì)算2個(gè)一位二進(jìn)制數(shù)，最多再增加一個(gè)進(jìn)位的加法，我們最終的目標(biāo)當(dāng)然是2個(gè)8位、16位乃至32位數(shù)的加法。

其實(shí)，非常簡單，用8個(gè)全加器一塊算！

把8個(gè)全加器每個(gè)進(jìn)位輸出作為下一個(gè)的進(jìn)位輸入，首尾相連就可以啦！

每次這樣畫太麻煩，可以封裝成一個(gè)框圖：

大箭頭代表8個(gè)輸入/輸出端，有8個(gè)獨(dú)立的信號。

一旦我們擁有了8位二進(jìn)制加法器，把它們級聯(lián)起來，很容易就能得到一個(gè)16位或32位的加法器啦。

end

加法計(jì)算是計(jì)算機(jī)的基本運(yùn)算，其實(shí)，計(jì)算機(jī)唯一的工作就是做加法計(jì)算。不論是減法、乘法、除法、在線支付、火箭升空還是AI下棋，都是利用加法實(shí)現(xiàn)的。

把加減乘除和邏輯運(yùn)算等運(yùn)算單元集成起來，就組成了CPU中的基本計(jì)算單元：ALU（算術(shù)邏輯單元Arithmetic and Logic Unit）。

用加法器計(jì)算2個(gè)數(shù)的加法其實(shí)就是用硬件方式實(shí)現(xiàn)了一個(gè)加法計(jì)算器，輸入A和輸入B的高低電平?jīng)Q定了輸出S和CO的高低電平。

這樣的電路同一時(shí)刻只能表示一種狀態(tài)，只要改變了A、B中任意一位，輸出就會有所變化。

現(xiàn)在我們想計(jì)算更多二進(jìn)制數(shù)的加法，比如5個(gè)數(shù)A、B、C、D、E的加法（先不考慮進(jìn)位）。

步驟應(yīng)該是這樣：首先把A、B作為輸入，得出一個(gè)輸出S1，我們要記下來S1的值，然后把S1和C作為輸入，得出S2....以此類推，要記下很多個(gè)數(shù)，然后再用加法器計(jì)算。

5個(gè)數(shù)都已經(jīng)很麻煩了，如果要計(jì)算更多個(gè)數(shù)該怎么辦？能不能把每次計(jì)算完的結(jié)果存起來，下次繼續(xù)使用呢？

我們的需求

這個(gè)加法器有個(gè)特點(diǎn)，就是兩個(gè)加數(shù)A和B的值決定著加和S的值。

這個(gè)值是實(shí)時(shí)決定的，也就是說，A、B中只要有一個(gè)數(shù)據(jù)位發(fā)生了改變（0變1或1變0），加和就一定、立即發(fā)生改變。

我們?nèi)绻胗眠@個(gè)加法器算「累加和」將會很麻煩，比如5個(gè)數(shù)A、B、C、D、E的加法。

首先把A、B作為輸入，得出一個(gè)輸出S1，我們要記下來S1的值，然后把S1和C作為輸入，得出S2....以此類推，要記下很多個(gè)數(shù)，然后再用加法器計(jì)算。

工程師怎么會做這種無腦循環(huán)的工作呢，得想辦法交給計(jì)算機(jī)寄幾做。

好像只要做一個(gè)什么器件連在這個(gè)加法器的輸出上，這個(gè)新器件能夠保存加法器輸出的和，并將算好的和再作為一個(gè)參數(shù)輸入，傳遞給加法器就可以了。

注意這個(gè)新器件，首先它支持輸入和輸出；其次它能「保存」當(dāng)前的值；最后，有一個(gè)類似「開關(guān)」的引腳決定它是否保持當(dāng)前的值。

「保存」是什么意思？其實(shí)很好理解，就是不論輸入的數(shù)據(jù)位怎么變化，輸出都不變。

不考慮8個(gè)數(shù)據(jù)位，先只搭建一個(gè)這樣具有「保存」功能的門電路，能保存一個(gè)bit就ok。

或非門點(diǎn)燈

科巖已經(jīng)點(diǎn)燈無數(shù)，這次依然從點(diǎn)燈開始，用或非門試一下。

「或非門」的真值關(guān)系如下表，記住輸入只要有1，輸出一定為0就可以了。

或非門的符號：

按照下面這個(gè)電路把兩個(gè)或非門與一個(gè)小燈泡連起來，如圖：

仔細(xì)觀察，能發(fā)現(xiàn)我把右邊或非門的輸出直接作為輸入連接到左邊或非門上，這會產(chǎn)生什么神奇的現(xiàn)象呢？

如上圖，最開始，左邊或非門的輸入都是0，輸出為1；右邊或非門輸入一個(gè)是0，一個(gè)是1，輸出0，燈泡是不亮的。

現(xiàn)在把開關(guān)S1連通，連通瞬間，左邊或非門輸出0，右邊或非門輸出1，燈泡被點(diǎn)亮，然后右邊或非門輸出的1給到左邊或非門，2個(gè)輸入都是1，它的輸出為0保持不變，燈泡點(diǎn)亮不變。

接著我們把開關(guān)S1斷開，如下圖神奇的事情發(fā)生了，燈泡依然保持點(diǎn)亮狀態(tài)！因?yàn)樽筮吇蚍情T仍有一個(gè)輸入是1。

如果把S2閉合會怎樣呢？燈泡馬上熄滅了。

這時(shí)再打開S2，電路回到最初的狀態(tài)，燈泡還是熄滅狀態(tài)。

可以總結(jié)規(guī)律了：

?導(dǎo)通S1，燈泡點(diǎn)亮，不論我們怎么控制S1，燈泡都是亮的?導(dǎo)通S2，燈泡熄滅，不論我們怎么控制S2，燈泡都是亮的

這不就達(dá)到我們想要的「保存」功能了嘛，不論輸入的數(shù)據(jù)位怎么變化，輸出都不變。

觸發(fā)器（Flip-Flop）

像上面把兩個(gè)或非門連起來，能夠穩(wěn)定保存電路狀態(tài)的電路被稱為「觸發(fā)器」。

Flip-Flop的意思是「翻轉(zhuǎn)」，中文翻譯比較奇怪，我們通常理解的觸發(fā)器是Trigger，不過沒關(guān)系，其實(shí)就是個(gè)名稱而已。

上面這個(gè)觸發(fā)器叫做R-S觸發(fā)器，它有2個(gè)輸入端S（Set）和R（Reset），2個(gè)輸出端Q和~Q（實(shí)在打不出Q上面的橫線o(╥﹏╥)o）。

當(dāng)S為1時(shí)，輸出Q為1，~Q為0；當(dāng)R為1時(shí)，輸出Q為0，~Q為1；當(dāng)S和R都為0時(shí)，輸出Q和~Q保持不變；當(dāng)S和R都為1時(shí)是一個(gè)不正確的狀態(tài)，我們不使用這個(gè)狀態(tài)。

不是特別繞吧？畫個(gè)表：

R-S觸發(fā)器最大特點(diǎn)就是它能記住2個(gè)輸入端的狀態(tài)。想要記住上一次的狀態(tài)時(shí)，把2個(gè)輸入端都置0就可以了。

每次畫2個(gè)或非門太麻煩，封裝一下：

end

有了觸發(fā)器，計(jì)算機(jī)除了算些加減乘除、與或非邏輯運(yùn)算，開始具備了存儲功能，我覺得觸發(fā)器真是一個(gè)神奇的存在，把平平無奇的門電路連起來竟然就賦予了計(jì)算機(jī)「記憶」。

計(jì)算機(jī)中寄存器（Register）、內(nèi)存（RAM）最最基礎(chǔ)的組成單元就是觸發(fā)器。

理解了觸發(fā)器的工作原理，也就理解了內(nèi)存的工作原理。

編輯：jq