關(guān)于字符串硬核講解
1 暴力破解法
在主串A中查找模式串B的出現(xiàn)位置，其中如果A的長(zhǎng)度是n，B的長(zhǎng)度是m，則n > m。當(dāng)我們暴力匹配時(shí)，在主串A中匹配起始位置分別是 0、1、2….n-m 且長(zhǎng)度為 m 的 n-m+1 個(gè)子串。
暴力匹配對(duì)應(yīng)代碼是：
#include
如果主串是bbb…bbb，模式串是bbbbc，那每個(gè)串都要比較m次，一共是(n-m+1)*m次。時(shí)間復(fù)雜度很大 = O(n*m)，一般簡(jiǎn)單匹配時(shí)候可用此法。
2 Rabin-Karp 算法
算法思路：對(duì)主串的 n-m+1 個(gè)子串分別求哈希值，然后跟模板串的哈希值對(duì)比，如果一樣再逐個(gè)對(duì)比字符串是否一樣。
Rabin-Karp算法但是中間數(shù)據(jù)的Hash值計(jì)算是可以優(yōu)化的，我們以簡(jiǎn)單的字符串匹配舉例，把a(bǔ)-z映射到0~25上。然后按照26進(jìn)制計(jì)算一個(gè)串的哈希值，比如：
Hash計(jì)算但是你會(huì)發(fā)現(xiàn)相鄰的兩個(gè)子串?dāng)?shù)據(jù)之間是有重疊的，比如
dab跟abc重疊了ab。這樣哈希下一個(gè)數(shù)據(jù)的Hash值其實(shí)可以借鑒下上一個(gè)數(shù)據(jù)的值推導(dǎo)得出：
優(yōu)化計(jì)算哈希值RK算法的時(shí)間復(fù)雜度包含兩部分，第一部分是遍歷所有子串計(jì)算Hash值，時(shí)間復(fù)雜度是O(n)。第二部分是比較哈希值，這部分時(shí)間復(fù)雜度也是O(n)。
這個(gè)算法的核心就是盡量減少哈希值相等的情況下數(shù)據(jù)不一樣從而進(jìn)行的比較，所以哈希算法要盡可能的好，如果你感覺(jué)用123對(duì)應(yīng)字母abc容易碰撞，那用素?cái)?shù)去匹配也是OK的，反正目的是一樣的， 你可以認(rèn)為這是一種取巧的辦法來(lái)處理字符串匹配問(wèn)題。
3 Boyer-Moore 算法。
Boyer Moore算法是一種非常高效的字符串匹配算法，它的性能是著名的 KMP 算法的 3 到 4 倍。它不太好理解，但確是工程中使用最多的字符串匹配算法。以前我們匹配字符串的時(shí)候是一個(gè)個(gè)從前往后挪動(dòng)來(lái)逐次比較，BM 算法核心思想是在模式串中某個(gè)字符與主串不能匹配時(shí)，將模式串往后多滑動(dòng)幾位，來(lái)減少不必要的字符比較。
移動(dòng)比較對(duì)比整體而言BM算法還是挺復(fù)雜的相比前面兩種，主要包含
壞字符規(guī)則跟好后綴規(guī)則。
3.1 壞字符規(guī)則
壞字符規(guī)則意思是根據(jù)模式串從后往前匹配，當(dāng)我們發(fā)現(xiàn)某個(gè)字符沒(méi)法匹配的時(shí)候。我們把這個(gè)沒(méi)有匹配的主串中的字符叫作壞字符。
壞字符找到壞字符c后，在模式串中繼續(xù)查找發(fā)現(xiàn)c跟模式串任何字符無(wú)法匹配，則可以直接將模式串往后移動(dòng)3位。繼續(xù)從模式串尾部對(duì)比。
移動(dòng)2格此時(shí)發(fā)現(xiàn)壞字符是g，但在模式串中有個(gè)g存在，不能再往后移動(dòng)3個(gè)了，移動(dòng)的位置是2個(gè)。再繼續(xù)匹配。那有啥規(guī)律呢？
發(fā)送不匹配時(shí)，壞字符對(duì)應(yīng)的模式串字符下標(biāo)位置Si，如果壞字符在模式串中存在，取從后往前最先出現(xiàn)的壞字符下標(biāo)記為Xi(取第一個(gè)是怕挪動(dòng)太大咯)，如果壞字符在模式串中不存在則Xi = -1。此時(shí)模式串往后移動(dòng)位數(shù)= Si - Xi。
壞字符移動(dòng)規(guī)則如果碰到極致的主串=cccdcccdcccd，模式串=cccc，那此時(shí)時(shí)間復(fù)雜度是O(n/m)。
最優(yōu)解但是不要高興太早！下面這種情況可能導(dǎo)致模式串不往后移動(dòng)，反而往前移動(dòng)哦！
往前移動(dòng)？所以此時(shí)BM算法還需要用到
好后綴規(guī)則。
3.2 壞字符代碼
為避免每次都拿懷字符從模式串中遍歷查找，此時(shí)用到散列表將模式串中每個(gè)字符及其下標(biāo)存起來(lái)，方便迅速查找。
接下來(lái)說(shuō)下散列表規(guī)則，比如一個(gè)字符是一個(gè)字節(jié)，用大小為256的數(shù)組記錄每個(gè)字符在模式串出現(xiàn)位置，數(shù)組中存儲(chǔ)的是模式串出現(xiàn)的位置，數(shù)組下表是字符對(duì)應(yīng)的ASCII值。
哈希規(guī)則
壞字符規(guī)則：
//全局變量 SIZE
privatestaticfinalintSIZE=256;
//b=模式串?dāng)?shù)組，m是模式串?dāng)?shù)組長(zhǎng)度，sl是哈希表，默認(rèn)-1
privatevoidgenerateBC(char[]b,intm,int[]sl){
for(inti=0;i-1;//初始化sl
}
for(inti=0;iintascii=(int)b[i];
sl[ascii]=i;
}
}
接下來(lái)先不考慮好后綴規(guī)則跟壞字符的負(fù)數(shù)情況，先大致寫(xiě)出 BM 算法代碼。
壞字符BM
publicintbm(char[]a,intn,char[]b,intm){
//記錄模式串中每個(gè)字符最后出現(xiàn)的位置
int[]sl=newint[SIZE];
//構(gòu)建壞字符哈希表
generateBC(b,m,sl);
//i表示主串與模式串對(duì)齊的第一個(gè)字符
inti=0;
while(i<=?n?-?m)?{
????intj;
for(j=m-1;j>=0;j--){
if(a[i+j]!=b[j])break;
}
if(j0){
//匹配成功，返回主串與模式串第一個(gè)匹配的字符的位置
returni;
}
//將模式串往后滑動(dòng)j-bc[(int)a[i+j]]位
i=i+(j-sl[(int)a[i+j]]);
}
return-1;
}
3.3 好后綴規(guī)則
好后綴跟壞后綴道理類似，從后往前匹配，直到遇到不匹配的字符x，那主串x之前的就叫好后綴。
好后綴定義此時(shí)移動(dòng)的規(guī)則如下：
-
如果好后綴在模式串中找到了，用x框起來(lái)，然后將x框跟好后綴對(duì)齊繼續(xù)匹配。
找到了移動(dòng)規(guī)則 -
找不到的時(shí)候，如果直接移動(dòng)長(zhǎng)度是模式串m位，那極有可能過(guò)度了！而過(guò)度移動(dòng)存在的原因就是，比如你找了好后綴u，u在模式串中整體沒(méi)找到，但是u的子串d是可以跟模式串匹配上的啊。
過(guò)度移動(dòng)
所以此時(shí)還要看好后綴的后綴子串是否跟模式串中的前綴子串匹配，從好后綴串的后后綴子串中找個(gè)最長(zhǎng)能跟模式串的前綴子串匹配的然后滑動(dòng)到一起，比如上面的d。
然后分別計(jì)算壞字符往后滑動(dòng)位數(shù)跟好后綴往后滑動(dòng)此時(shí)，兩者取其大作為模式串往后滑動(dòng)位數(shù)，這種情況下還可以避免壞字符的負(fù)數(shù)情況。
3.4 好后綴代碼
好后綴的核心其實(shí)就在于兩點(diǎn)：
-
在模式串中，查找跟好后綴匹配的另一個(gè)子串。
-
在好后綴的后綴子串中，查找最長(zhǎng)的、能跟模式串前綴子串匹配的后綴子串。
3.4.1 預(yù)處理工作
上面兩個(gè)核心點(diǎn)可以在代碼層面用暴力解決，但太耗時(shí)！我們可以在匹配前通過(guò)預(yù)處理模式串，預(yù)先計(jì)算好模式串的每個(gè)后綴子串，對(duì)應(yīng)的另一個(gè)可匹配子串的位置。
先看如何表示模式串中不同的后綴子串，因?yàn)楹缶Y子串的最后個(gè)字符下標(biāo)為m-1，我們只需記錄后綴子串長(zhǎng)度即可，通過(guò)長(zhǎng)度可以確定一個(gè)唯一的后綴子串。
子串表示再引入關(guān)鍵的變量
suffix數(shù)組。suffix 數(shù)組的index表示后綴子串的長(zhǎng)度。下標(biāo)對(duì)應(yīng)的數(shù)組值存儲(chǔ)的是好后綴在模式串中匹配的起始下標(biāo)值：
suffix數(shù)組定義比如此處后綴子串c在模式串中另一個(gè)匹配開(kāi)始位置為2， 后綴子串bc在模式串中另一個(gè)匹配開(kāi)始位置為1 后綴子串dbc在模式串中另一個(gè)匹配開(kāi)始位置為0， 后綴子串cdbc在模式串中只出現(xiàn)了一次，所以為-1。
prefix 數(shù)組這里需注意，我們不僅要在模式串中查找跟好后綴匹配的另一個(gè)子串，還要在好后綴的后綴子串中查找最長(zhǎng)的能跟模式串前綴子串匹配的后綴子串。比如下面：
最長(zhǎng)模式匹配
用suffix只能查找跟好后綴匹配的另一個(gè)子串。但還需要個(gè) boolean 類型的prefix數(shù)組來(lái)記錄模式串的后綴子串是否能匹配模式串的前綴子串。
接下來(lái)重點(diǎn)看下如何填充suffix跟prefix數(shù)組，拿下標(biāo)從 0 到 i 的子串與整個(gè)模式串，求公共后綴子串，其中i=[0,m-2]。如果公共后綴子串的長(zhǎng)度是 k，就suffix[k]=j，其中 j 表示公共后綴子串的起始下標(biāo)。如果 j = 0，說(shuō)明公共后綴子串也是模式串的前綴子串，此時(shí) prefix[k]=true。
suffix跟prefix數(shù)組
//b=模式串，m=模式串長(zhǎng)度，suffix，prefix數(shù)組如上定義
privatevoidgenerateGS(char[]b,intm,int[]suffix,boolean[]prefix){
//初始化
for(inti=0;ii++){
suffix[i]=-1;
prefix[i]=false;
}
//b[0,i]
for(inti=0;i1;i++){
intj=i;
//公共后綴子串長(zhǎng)度
intk=0;
//與b[0, m-1]求公共后綴子串，并且會(huì)有覆蓋現(xiàn)象產(chǎn)生。
while(j>=0&&b[j]==b[m-1-k]){
--j;
++k;
//j+1表示公共后綴子串在b[0,i]中的起始下標(biāo)
suffix[k]=j+1;
}
//如果公共后綴子串也是模式串的前綴子串
if(j==-1)prefix[k]=true;
}
}
3.4.2 正式代碼
有了suffix跟prefix數(shù)組后，看下移動(dòng)規(guī)則。假設(shè)好后綴串長(zhǎng)度=k，如果k != 0，說(shuō)明有好后綴，接下來(lái)通過(guò)suffix[k]的值來(lái)判斷如何移動(dòng)。
-
suffix[k] != -1，不等于時(shí)說(shuō)明匹配上了，模式串后移 j-suffix[k]+1 位，其中 j 表示壞字符對(duì)應(yīng)的模式串中的字符下標(biāo)。
-
suffix[k] = -1，等于時(shí)說(shuō)明好后綴沒(méi)匹配上，那就看下子串的匹配情況，好后綴的后綴子串長(zhǎng)度是 b[r, m-1]，其中 r = [j+2,m-1]，后綴子串長(zhǎng)度 k=m-r，如果 prefix[k] = true，說(shuō)明長(zhǎng)度為 k 的后綴子串有可匹配的前綴子串，這樣我們可以把模式串后移 r 位。
-
如果都沒(méi)匹配上，那就直接將模式串后移m位。
// a跟n 分別表示主串跟主串長(zhǎng)度。 // b跟m 分別表示模式串跟模式串長(zhǎng)度。 publicintbm(char[]a,intn,char[]b,intm){ //用來(lái)記錄模式串中每個(gè)字符最后出現(xiàn)的位置 int[]sl=newint[SIZE]; //構(gòu)建壞字符哈希表 generateBC(b,m,sl); int[]suffix=newint[m]; boolean[]prefix=newboolean[m]; //構(gòu)建suffix跟prefix數(shù)組 generateGS(b,m,suffix,prefix); inti=0;//j表示主串與模式串匹配的第一個(gè)字符 while(i<=?n?-?m)?{ ????intj; //模式串從后往前匹配 for(j=m-1;j>=0;--j){ //壞字符對(duì)應(yīng)模式串中的下標(biāo)是j if(a[i+j]!=b[j])break; } if(j0){ //匹配OK，返回主串與模式串第一個(gè)匹配的字符的位置 returni; } //壞字符計(jì)算所得需移動(dòng)長(zhǎng)度 intx=j-sl[(int)a[i+j]]; inty=0; //j if(j-1){ y=moveByGS(j,m,suffix,prefix); } i=i+Math.max(x,y); } return-1; } //j=壞字符對(duì)應(yīng)的模式串中的字符下標(biāo) //m=模式串長(zhǎng)度 privateintmoveByGS(intj,intm,int[]suffix,boolean[]prefix){ //好后綴長(zhǎng)度 intk=m-1-j; if(suffix[k]!=-1){ //好后綴可以匹配上，返回需移動(dòng)長(zhǎng)度 returnj-suffix[k]+1; } //有匹配到好后綴子串的模式串前綴子串 for(intr=j+2;r<=?m-1;++r){ if(prefix[m-r]==true){ returnr; } } //沒(méi)找到直接移動(dòng)最大值 returnm; }
3.5 復(fù)雜度分析
整個(gè)BM算法用到了額外的 sl、suffix、prefix三個(gè)數(shù)組，其中sl數(shù)組大小跟字符集大小有關(guān)，suffix 數(shù)組和 prefix 數(shù)組的大小跟模式串長(zhǎng)度 m 有關(guān)。如果處理字符集很大的字符串匹配問(wèn)題，bc 數(shù)組對(duì)內(nèi)存的消耗就會(huì)比較多。
因?yàn)楹煤缶Y和壞字符規(guī)則是獨(dú)立的，如果我們運(yùn)行的環(huán)境對(duì)內(nèi)存要求苛刻，可以只使用好后綴規(guī)則，不使用壞字符規(guī)則，這樣就可以避免 bc 數(shù)組過(guò)多的內(nèi)存消耗。不過(guò)，單純使用好后綴規(guī)則的 BM 算法效率就會(huì)下降一些了。
BM 算法的時(shí)間復(fù)雜度分析起來(lái)是非常復(fù)雜，一般在3n~5n之間。
4 KMP 算法
KMP算法跟BM算法類似，從前往后匹配，把能匹配上的叫好前綴，不能匹配上的叫壞字符。
KMP匹配定義遇到壞字符后就要進(jìn)行主串好前綴后綴子串跟模式串的前綴子串進(jìn)行對(duì)比，問(wèn)題是對(duì)于已經(jīng)比對(duì)過(guò)的好前綴，能否找到一種規(guī)律，將模式串一次性滑動(dòng)很多位？
暴力破解
思路是將主串中好前綴的后綴子串和模式串中好前綴的前綴子串進(jìn)行對(duì)比，獲取模式串中最大可以匹配的前綴子串。一般把好前綴的所有后綴子串中，最長(zhǎng)的可匹配前綴子串的那個(gè)后綴子串，叫作最長(zhǎng)可匹配后綴子串。對(duì)應(yīng)的前綴子串，叫作最長(zhǎng)可匹配前綴子串。假如現(xiàn)在最長(zhǎng)可匹配后綴子串 = u，最長(zhǎng)可匹配前綴子串 = v，獲得u跟v的長(zhǎng)度為k，此時(shí)在主串中壞字符位置為i，模式串中為j，接下來(lái)將模式串后移j-k位，然后將待比較的模式串位置j = j-k進(jìn)行比較。
KMP算法移動(dòng)4.1 Next 數(shù)組存在意義
那最長(zhǎng)可匹配前綴跟后綴我們用模式串就可以求解了。仿照BM算法，預(yù)先計(jì)算好就行。在KMP算法中提前構(gòu)造個(gè)next數(shù)組。其中next數(shù)組的下標(biāo)用來(lái)存儲(chǔ)前綴子串最后一個(gè)數(shù)據(jù)的index，對(duì)應(yīng)的value保存的是這個(gè)字符串的后綴子串集合跟前綴子串集合的交集。
干說(shuō)可能不太好理解，我們以"abababca"為例。它的部分匹配表(Partial Match Table)數(shù)組如下：
Next數(shù)組接下來(lái)對(duì)value值的獲取進(jìn)行解釋，如果字符串A和B，存在A=BS，其中S是任意的非空字符串，那就稱B為A的前綴。例如”what”的前綴包括{"w","wh","wha"}，我們把所有前綴組成的字符串的前綴集合。同樣可以定義后綴A=SB， 其中S是任意的非空字符串，那就稱B為A的后綴，例如"Potter"的后綴包括{"otter", "tter", "ter", "er", "r"}，然后把所有后綴組成字符串的后綴集合。要注意字符串本身并不是自己的后綴。
PMT數(shù)組中的值是字符串的前綴集合與后綴集合的交集中最長(zhǎng)元素的長(zhǎng)度。例如，對(duì)于"aba"，它的前綴集合為{"a", "ab"}，后綴集合為{"ba", "a"}。兩個(gè)集合的交集為{"a"}，那么長(zhǎng)度最長(zhǎng)的元素就是字符串"a"了，長(zhǎng)度為1，所以"aba"的Next數(shù)組value = 1，同理對(duì)于"ababa"，它的前綴集合為{"a", "ab", "aba", "abab"}，它的后綴集合為{"baba", "aba", "ba", "a"}， 兩個(gè)集合的交集為{"a", "aba"}，其中最長(zhǎng)的元素為"aba"，長(zhǎng)度為3。
我們以主串"ababababca"中查找模式串"abababca"為例，如果在j處字符不匹配了，那在模式串[0,j-1]的數(shù)據(jù)串"ababab"中，前綴集合跟后綴集合的交集最大值就是長(zhǎng)度為4的"abab"。
PMT數(shù)組使用方法基于此就可以使用PMT加速字符串的查找了。我們看到如果是在
j位失配，那么影響j 指針回溯的位置的其實(shí)是第 j?1 位的 PMT 值，但是編程中為了方便一般不直接使用PMT數(shù)組而是使用Next數(shù)組，Next數(shù)組的value其實(shí)就是存儲(chǔ)的這個(gè)前綴的最長(zhǎng)可以匹配前綴子串的結(jié)尾字符下標(biāo)，其中如果匹配不到用-1代替。
Next數(shù)組使用4.2 KMP 匹配代碼
// a =主串，n=主串長(zhǎng)度。b =模式串，m =模式串長(zhǎng)度
publicstaticintkmp(char[]a,intn,char[]b,intm){
int[]next=getNexts(b,m);
intj=0;
for(inti=0;iwhile(j>0&&a[i]!=b[j]){
j=next[j-1]+1;//發(fā)現(xiàn)不一樣則保持i不變j進(jìn)行移動(dòng)
}
if(a[i]==b[j]){
++j;
}
if(j==m){//找到匹配模式串的了
returni-m+1;
}
}
return-1;
}
至此你會(huì)發(fā)現(xiàn)只要搞明白了PMT存在的意義，然后順著思路推Next數(shù)組即可。
4.3 Next 數(shù)組求解
當(dāng)要計(jì)算next[i]時(shí)，前面計(jì)算過(guò)的next[0~i-1]是否可以被用來(lái)快速推導(dǎo)出next[i]呢？
情況一：如果next[i-1] = k-1，那此時(shí)b[0,i-1]的最長(zhǎng)可匹配前綴子串是b[0,k-1]，如果b[0,i-1]的下個(gè)字符b[i]跟b[0,k-1]的下個(gè)字符b[k]相等，那next[i] = k。
情況二：假設(shè)b[0,i]最長(zhǎng)可用后綴子串是b[r,i]，那b[r,i-1]肯定是b[0,i-1]的可匹配后綴子串，但不一定是最長(zhǎng)可匹配后綴子串。比如字符串b = "dexdecdexdex"，此時(shí)最長(zhǎng)可匹配后綴子串是"dex"，b去掉最后的'x'成為B，此時(shí)雖然"de"是B的可匹配后綴子串，但"dexde"才是最長(zhǎng)后綴子串！也就是說(shuō)b[0, i-1]最長(zhǎng)可匹配后綴子串對(duì)應(yīng)的模式串的前綴子串的下一個(gè)字符并不等于 b[i]。
那此時(shí)看下b[0,i-1]的
次長(zhǎng)可匹配后綴子串b[x,i-1]對(duì)應(yīng)的可匹配前綴子串b[0,i-1-x] 的下個(gè)字符b[i-x] 是否等于b[i]，相等那b[0,i]的最長(zhǎng)可匹配后綴子串是b[x,i]。
那我們來(lái)求 b[0, i-1]的次長(zhǎng)可匹配后綴子串呢？次長(zhǎng)可匹配后綴子串一定被包含在最長(zhǎng)可匹配后綴子串中，而最長(zhǎng)可匹配后綴子串又對(duì)應(yīng)最長(zhǎng)可匹配前綴子串 b[0, y]。此時(shí)查找 b[0, i-1]的次長(zhǎng)可匹配后綴子串變成了查找b[0, y]的最長(zhǎng)匹配后綴子串的問(wèn)題。
按此思路考察完所有的 b[0, i-1]的可匹配后綴子串 b[y, i-1]，直到找到一個(gè)可匹配的后綴子串，它對(duì)應(yīng)的前綴子串的下一個(gè)字符等于 b[i]，那這個(gè) b[y, i]就是 b[0, i]的最長(zhǎng)可匹配后綴子串。
//b=模式串，m=模式串的長(zhǎng)度
privatestaticint[]getNexts(char[]b,intm){
int[]next=newint[m];
next[0]=-1;
intk=-1;
for(inti=1;iwhile(k!=-1&&b[k+1]!=b[i]){
k=next[k];
//因?yàn)榍耙粋€(gè)的最長(zhǎng)串的下一個(gè)字符不與最后一個(gè)相等，需要找前一個(gè)的次長(zhǎng)串，
//問(wèn)題就變成了求0到next(k)的最長(zhǎng)串，如果下個(gè)字符與最后一個(gè)不等，
//繼續(xù)求次長(zhǎng)串，也就是下一個(gè)next(k)，直到找到，或者完全沒(méi)有
//最好結(jié)合前面的圖來(lái)看
}
if(b[k+1]==b[i]){
++k;//字符串相等則看下一個(gè)
}
next[i]=k;//數(shù)組賦值
}
returnnext;
}
KMP空間復(fù)雜度：該算法只需要一個(gè)額外的 next 數(shù)組，數(shù)組的大小跟模式串相同。所以空間復(fù)雜度是 O(m)，m 表示模式串的長(zhǎng)度。
KMP時(shí)間復(fù)雜度：next 數(shù)組計(jì)算的時(shí)間復(fù)雜度是 O(m) + 匹配時(shí)候時(shí)間復(fù)雜度是 O(n) = O(m+n)
至此，常見(jiàn)的字符串匹配算法正式講解完畢，其實(shí)前面說(shuō)的都是一個(gè)主串，一個(gè)模式串。
審核編輯 ：李倩
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原文標(biāo)題：字符串硬核講解
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