本文最初出現(xiàn)在The Minitab Blog

在大學里，我有一個朋友，他無論到哪兒都能融入其中。他中午還在跟一群教授共進午餐，下午就在公園里和嬉皮士踢沙包，晚上又會和當?shù)氐哪ν熊囼T手在城里秩序最差的酒吧廝混在一起。第二天，他又和體育愛好者一起打橄欖球，然后和游戲伙伴一起去參加通宵的局域網(wǎng)游戲聚會。在平常的周末，他可能會和校園里一小群積極正派的朋克搖滾樂手參加一場面向各個年齡段的演出，或者和一些城里人飲酒作樂，然后和物理社的朋友一起玩一些 D&D 游戲來結(jié)束這個周末。

他就像一只變色龍，跟什么人交往就能投其所好，打成一片。這種靈活性讓他在各種各樣的社交圈中如魚得水。

他叫 Jeff Weibull，他非常受歡迎，以至于當?shù)亟y(tǒng)計人員甚至以他的名字命名“Weibull 分布”。

是什么使得 WEIBULL 分布如此受人歡迎？

好吧，我只是編造了最后一部分，Jeff 的姓實際上并不是“Weibull”，此分布完全是以其他人的名字命名的。 但是，當我第一次了解 Weibull 分布時，我立刻想起了 Jeff，以及他似乎不費吹灰之力就能在形形色色的社交場合中游刃有余的場景。

正如 Jeff 是不同社交圈子中的變色龍一樣，Weibull 分布能夠呈現(xiàn)許多不同類型分布的特征。這使得它在工程師和質(zhì)量從業(yè)者中極受青睞，他們使該分布成為可靠性數(shù)據(jù)建模中最常用的分布。他們喜歡將 Weibull 分布納入其數(shù)據(jù)分析中，因為它足夠靈活，可以對各種數(shù)據(jù)集進行建模。

獲得了右偏斜數(shù)據(jù)？Weibull 可以對其進行建模。左偏斜數(shù)據(jù)？當然，使用 Weibull 絕對沒問題。對稱數(shù)據(jù)？Weibull 能夠勝任。正是因為 Weibull 分布的這種靈活性，工程師才用它來評估所有物品（從真空管、電容器到滾珠軸承和繼電器等）的可靠性和材料強度。

Weibull 分布還可以對遞減、遞增或固定風險函數(shù)進行建模，使其能夠描述物品壽命的任何階段。

WEIBULL 曲線如何改變其形狀

那么，Weibull 分布到底有多靈活呢？讓我們來看一些使用 Minitab Statistical Software 中的圖形 > 概率分布圖的示例。

在“分布”下拉菜單中依次選擇“單一視圖”和“Weibull”。該對話框?qū)⒂糜谥付ㄈ齻€參數(shù)：形狀、尺度和閾值。

閾值參數(shù)指示分布從 0 偏移的情況，負閾值會將分布從 0 向左偏移，正閾值會將分布向右偏移。所有數(shù)據(jù)都必須大于閾值。尺度參數(shù)是數(shù)據(jù)的 63.2 百分位數(shù)，它定義了 Weibull 曲線與閾值的關系，就像均值定義正態(tài)曲線的位置一樣。在我們的示例中，我們使用的尺度為 10，即 63.2% 的測試產(chǎn)品將在閾值時間后的前 10 個小時內(nèi)發(fā)生故障。形狀參數(shù)描述 Weibull 曲線的形狀。通過更改形狀，可以對許多不同壽命分布的特征進行建模。

在本帖中，我將專門討論形狀參數(shù)如何影響 Weibull 曲線。我將逐一介紹這些參數(shù)，但是，如果您希望它們同時出現(xiàn)在一張圖中，請在上面顯示的對話框中選擇“不同參數(shù)”選項。

形狀值小于 1 的 WEIBULL 分布

讓我們從 0 到 1 之間的形狀開始。下圖顯示概率從無窮大呈指數(shù)遞減的情況。就失效率而言，符合此分布的數(shù)據(jù)的初始失效率極高，隨著時間的推移，由于缺陷產(chǎn)品從樣本中消除，因此失效率會下降。這些早期失效通常被稱為“早期損壞率”，因為它們發(fā)生在產(chǎn)品壽命的早期階段。

形狀值等于 1 的 WEIBULL 分布

當形狀值等于 1 時，Weibull 分布從 1/alpha 呈指數(shù)遞減，其中 alpha = 尺度參數(shù)。在本質(zhì)上，這表示失效率隨著時間的推移保持一致。Weibull 分布的這種形狀適用于隨機失效和多原因失效，并可用于對產(chǎn)品的使用壽命進行建模。

形狀值介于 1 和 2 之間的 WEIBULL 分布

當形狀值介于 1 和 2 之間時，Weibull 分布迅速攀升到峰值，然后隨著時間的推移下降。失效率總體上是增加的，最初增加得最快。此形狀表示早期磨損失效。

形狀值等于 2 的 WEIBULL 分布

當形狀值達到 2 時，Weibull 分布對線性增加的失效率進行建模，在產(chǎn)品的使用壽命內(nèi)，磨損失效風險隨著時間的推移不斷增加。這種形式的 Weibull 分布也稱為 Rayleigh 分布。

形狀值介于 3 和 4 之間的 WEIBULL 分布

如果我們將形狀值放在 3 和 4 之間，Weibull 分布就會變?yōu)閷ΨQ的鐘形，就像正態(tài)曲線一樣。這種形式的 Weibull 分布對產(chǎn)品壽命的最后階段（大多數(shù)失效發(fā)生在這一階段）中的快速磨損失效進行建模。

形狀值大于 10 的 WEIBULL 分布

當形狀值大于 10 時，Weibull 分布類似于極值分布。同樣，這種形式的分布可以對產(chǎn)品壽命的最后階段進行建模。

WEIBULL 永遠是最佳選擇嗎？

涉及可靠性時，Weibull 分布通常是萬能分布，但一定要注意的是，其他分布系列也可以對各種分布形狀進行建模。您希望找到最適合您的數(shù)據(jù)的分布，而這可能不是 Weibull 分布形式。例如，由化學反應或腐蝕引起的產(chǎn)品失效通常采用對數(shù)正態(tài)分布進行建模。

您可以使用 Minitab 的分布 ID 圖來評估數(shù)據(jù)的擬合情況（統(tǒng)計 > 可靠性/生存 > 分布分析(右刪失或任意刪失)）。如果您想了解更多詳細信息，請查看 Jim Frost 撰寫的有關確定數(shù)據(jù)分布的帖子。

審核編輯 黃昊宇