微波諧振器是微波工程里使用非常普遍的一類無(wú)源器件，它可以構(gòu)成振蕩器、濾波器的一部分，也可以用于各種測(cè)量或傳感系統(tǒng)中（比如介電常數(shù)、表面阻抗測(cè)量系統(tǒng)，溫濕度傳感系統(tǒng)等）。諧振頻率和品質(zhì)因子（簡(jiǎn)稱Q值）是衡量微波諧振器特性最為關(guān)鍵的參數(shù)。本文對(duì)微波諧振器的Q值獲取方法進(jìn)行探討?？傮w上而言，Q值提取方法可以分為頻域法和時(shí)域法。3dB法是最具代表性的頻域方法，它需要首先獲取3dB帶寬，然后計(jì)算得到Q值。而時(shí)域法則是通過觀察激勵(lì)信號(hào)源突然關(guān)閉后，依據(jù)諧振器輸出端口信號(hào)的時(shí)變特性來(lái)獲取Q值。本文介紹頻域方法。常見的微波諧振器有單端口和雙端口兩種。前者需要測(cè)量諧振器的S11來(lái)獲取Q值，而后者則是通過測(cè)量S21來(lái)獲取Q值。本文探討雙端口諧振器的Q值提取方法。

傳統(tǒng)的3dB法提取Q值的過程如下圖所示：橫坐標(biāo)為頻率，縱坐標(biāo)為S21幅度，S21幅度最大值對(duì)應(yīng)的頻率即為諧振頻率f0，然后分別在f0的左側(cè)和右側(cè)找到3dB帶寬頻點(diǎn)f1和f2，這兩個(gè)頻點(diǎn)對(duì)應(yīng)的S21幅度比S21幅度的最大值低3dB，到此即可得到3dB帶寬為(f2-f1)，于是諧振器的有載Q值可由QL=f0/(f2-f1)計(jì)算得到，無(wú)載Q值Q0可由有載Q值和S21幅度最大值|S21|max按照Q0=QL/(1-|S21|max)計(jì)算得到（注意，這里的|S21|max須是線性值，其數(shù)值為0至1之間的某個(gè)數(shù)）。舉例如下，假設(shè)諧振器諧振頻率為3GHz，3dB帶寬為5MHz，則有載Q值為3GHz/5MHz=600，又假設(shè)諧振器在諧振頻率處的插損為40dB，則|S21|max=10^(-40/20)=0.01，于是無(wú)載Q值Q0=600/(1-0.01)=606。

依據(jù)上述3dB法求解Q值的過程，如果獲得了雙端口諧振器的S21幅度隨頻率變化的數(shù)據(jù)，可以利用下述MATLAB代碼求解Q值：

simu_data01=load( 'S21_dB_freq.txt'); %導(dǎo)入S21數(shù)據(jù),第一列為頻率,第二列為dB形式的S21

f=simu_data01(:,1); %頻率

S21=simu_data01(:,2); % S21，dB

[S21m, S21m_location]=max(S21);%找到S21幅度最大值及其位置

f_center=f(S21m_location); %諧振頻率；

S21dB_center=S21(S21m_location);%找到dB形式的S21幅度最大值

S21_center=10^(S21dB_center/20);%找到線性形式的S21幅度最大值

%找到諧振頻率左側(cè)3dB帶寬對(duì)應(yīng)的頻點(diǎn)

a01=find(S21(1:S21m_location)-S21m>-3.1,1);

a02=find(S21(1:S21m_location)-S21m>-0.1,1);

f_low=interp1(S21(a01:a02),f(a01:a02),S21m-3,'spline');

%找到諧振頻率右側(cè)3dB帶寬對(duì)應(yīng)的頻點(diǎn)

a01=find(S21(S21m_location:length(S21))-S21m<-3.1,1);

a02=find(S21(S21m_location:length(S21))-S21m<-0.1,1);

f_up=interp1(S21(a02+S21m_location-1+1:a01+S21m_location-1),f(a02+S21m_location-1+1:a01+S21m_location-1),S21m-3,'spline');

%計(jì)算有載Q值

Q_L=f_center/(f_up-f_low);

%計(jì)算無(wú)載Q值

g=S21_center/(1-S21_center); % for series RLC circuit

% g=(1-S21_center)/S21_center; % for parallel RLC circuit

Q_unload=Q_L*(1+g);

用傳統(tǒng)的3dB法測(cè)量Q值時(shí)，需要進(jìn)行掃頻測(cè)試，且要求掃頻帶寬至少是3dB帶寬的一定倍數(shù)（比如1.5倍或更大）。因此，這種測(cè)試方法對(duì)掃頻信號(hào)源的掃頻帶寬有一定的要求，而且較大的掃頻帶寬一般也就意味著更長(zhǎng)的測(cè)試時(shí)間。所以，如果能夠減小掃頻帶寬，則可能有助于降低掃頻源的成本并縮短掃頻時(shí)長(zhǎng)也就是縮減測(cè)試時(shí)長(zhǎng)，進(jìn)而降低測(cè)試成本。本文即探討此種可能性。

在文獻(xiàn)《Measurement of resonant frequency and quality factor of microwave resonators: Comparison of methods》中，給出了雙端口諧振器的S21幅度隨頻率變化的規(guī)律如下：

由上式可知，如下3個(gè)參數(shù)決定了諧振器傳輸曲線的形狀和位置：S21幅度最大值、品質(zhì)因子、諧振頻率。如果做一些計(jì)算實(shí)驗(yàn)，不難發(fā)現(xiàn)，參數(shù)S21幅度最大值影響傳輸曲線在縱坐標(biāo)上的位置，品質(zhì)因子影響傳輸曲線的“胖瘦”，而諧振頻率影響傳輸曲線在橫坐標(biāo)上的位置。接下來(lái)，我們首先檢驗(yàn)上式是否能夠描述常見諧振器的傳輸曲線；然后，我們利用上式構(gòu)造了若干諧振器傳輸曲線，然后觀察諧振器傳輸曲線的1dB帶寬是否和3dB帶寬存在某種定量關(guān)聯(lián)性。如果這種關(guān)聯(lián)性是存在的，則可以通過1dB帶寬的測(cè)量間接獲取3dB帶寬，并最終實(shí)現(xiàn)1dB法獲取諧振器Q值。

這里，我們選取了常見的圓柱諧振腔、同軸諧振腔、矩形諧振腔、微帶環(huán)形諧振器以及準(zhǔn)光腔作為演示案例。

第一個(gè)圓柱諧振腔的三維剖面模型及其傳輸曲線仿真結(jié)果如下所示。這是一個(gè)諧振頻率約為10GHz的諧振腔。

運(yùn)用前述公式，對(duì)上圖得到的諧振峰仿真結(jié)果進(jìn)行擬合，所得結(jié)果如下?？梢钥吹剑瑪M合結(jié)果與仿真結(jié)果吻合良好。其余幾種腔體也得到了類似的擬合效果，這表明前述公式可以用于描述雙端口諧振器的傳輸曲線。

第二個(gè)圓柱諧振腔案例是一個(gè)諧振頻率約為18GHz的腔體，其相關(guān)結(jié)果如下所示。

第三個(gè)圓柱諧振腔案例仍是一個(gè)諧振頻率約為18GHz的腔體，但是該腔體的上端板排布有周期性的方孔，其模型及相關(guān)結(jié)果如下所示。

同軸諧振腔案例的相關(guān)結(jié)果如下所示。這是一個(gè)諧振頻率約為3.2GHz的腔體。

矩形諧振腔案例的相關(guān)結(jié)果如下所示。這是一個(gè)諧振頻率約為17GHz的腔體。

微帶環(huán)形諧振器案例的相關(guān)結(jié)果如下所示。在CST仿真頻段內(nèi)出現(xiàn)了2個(gè)諧振峰，我們對(duì)第一個(gè)諧振峰也就是3GHz附近的諧振峰進(jìn)行了擬合。

準(zhǔn)光腔案例的相關(guān)結(jié)果如下所示。其諧振頻率約為30GHz。

通過上述7個(gè)案例，表明前述公式可以描述常見諧振器的傳輸曲線。以下是上述擬合過程所采用的典型MATLAB代碼：

S21_data_simu=textread('simulation_data.txt','','headerlines',3);%導(dǎo)入CST仿真數(shù)據(jù)

nn01=2450;%設(shè)定擬合頻段的起始頻點(diǎn)

nn02=2490;%設(shè)定擬合頻段的終止頻點(diǎn)

freq_simu=S21_data_simu(nn01:nn02,1);%頻率

S21_dB_simu=S21_data_simu(nn01:nn02,2);% dB形式的S21

S21_linear_simu=10.^(S21_dB_simu./20);%線性形式的S21

figure(1);plot(freq_simu,S21_dB_simu,'k*');hold on;%繪制仿真數(shù)據(jù)

%以下是掃參擬合

a_sweep=linspace(0.0011,0.0013,100);

b_sweep=linspace(1e4,3e4,50);

c_sweep=linspace(9.994,9.995,50);

error01=1e4;

opti_num=[0 0 0];

for nnfor01=1:length(a_sweep)

for nnfor02=1:length(b_sweep)

for nnfor03=1:length(c_sweep)

a=a_sweep(nnfor01);

b=b_sweep(nnfor02);

c=c_sweep(nnfor03);

x=freq_simu;

y=a./sqrt(1+4.*b.^2.*(x./c-1).^2);

error_for01=mean(abs(S21_linear_simu-y));

if error_for01

error01=error_for01;

opti_num=[nnfor01 nnfor02 nnfor03];

end

end

end

end

a_opti=a_sweep(opti_num(1));

b_opti=b_sweep(opti_num(2));

c_opti=c_sweep(opti_num(3));

%依據(jù)掃參擬合得到的擬合系數(shù)計(jì)算傳輸曲線并繪圖

x=linspace(min(freq_simu),max(freq_simu),1e3);

y_opti=a_opti./sqrt(1+4.*b_opti.^2.*(x./c_opti-1).^2);

figure(1);plot(x,20.*log10(y_opti),'r-','linewidth',3);

xlabel('Frequency(GHz)');ylabel('S21(dB)');

legend('simulation','formula');

接下來(lái)，我們利用前述公式構(gòu)造若干傳輸曲線并觀察1dB帶寬和3dB帶寬的關(guān)系。S21幅度最大值取值0.1、諧振頻率取值3GHz、品質(zhì)因子從10掃描至1000萬(wàn)時(shí)，得到的1dB帶寬與3dB帶寬之比如下圖——恒為0.51。當(dāng)S21幅度最大值、諧振頻率為其它取值時(shí)，得到了相同的結(jié)果——1dB帶寬與3dB帶寬之比恒為0.51。這意味著，實(shí)際測(cè)量諧振器Q值時(shí)，可以先測(cè)得1dB帶寬，然后用此1dB帶寬乘以系數(shù)1/0.51=1.961，即可得到諧振器的3dB帶寬，進(jìn)而得到諧振器Q值。換言之，1dB帶寬約為3dB帶寬的一半。這樣，掃頻源的掃頻范圍可以減半，或者說掃頻時(shí)長(zhǎng)可以縮至原先的一半。

上圖對(duì)應(yīng)的MATLAB代碼如下：

Q_sweep=logspace(1,7,30);

for nn01=1:length(Q_sweep)

Q=Q_sweep(nn01);

f0_GHz=3;

abs_S21=0.1;

S21_dB=20*log10(abs_S21);

bandwidth01=f0_GHz/Q;

f_GHz=linspace(f0_GHz-2*bandwidth01,f0_GHz+2*bandwidth01,1e3);

real_S21=abs_S21./(1+4.*Q.^2.*(f_GHz./f0_GHz-1).^2);

imag_S21=-abs_S21.*2.*Q.*(f_GHz./f0_GHz-1)./(1+4.*Q.^2.*(f_GHz./f0_GHz-1).^2);

mag_S21=sqrt(real_S21.^2+imag_S21.^2);

mag_S21_dB=20.*log10(mag_S21);

[S21_dB_max,S21_dB_num]=max(mag_S21_dB);

% 3dB

f_GHz_left_3dB=interp1(mag_S21_dB(1:S21_dB_num-1),f_GHz(1:S21_dB_num-1),S21_dB_max-3,'spline');

f_GHz_righ_3dB=interp1(mag_S21_dB(S21_dB_num+1:length(f_GHz)),f_GHz(S21_dB_num+1:length(f_GHz)),S21_dB_max-3,'spline');

delta_f_3dB=f_GHz_righ_3dB-f_GHz_left_3dB;

Q_3dB(nn01)=f0_GHz/delta_f_3dB;

% 1dB

f_GHz_left_1dB=interp1(mag_S21_dB(1:S21_dB_num-1),f_GHz(1:S21_dB_num-1),S21_dB_max-1,'spline');

f_GHz_righ_1dB=interp1(mag_S21_dB(S21_dB_num+1:length(f_GHz)),f_GHz(S21_dB_num+1:length(f_GHz)),S21_dB_max-1,'spline');

delta_f_1dB=f_GHz_righ_1dB-f_GHz_left_1dB;

Q_1dB(nn01)=f0_GHz/delta_f_1dB;

end

ratio_Q=Q_3dB./Q_1dB;

semilogx(Q_sweep,ratio_Q,'bo','linewidth',3);

xlabel('Q factor');ylabel('1dB bandwidth/3dB bandwidth');

axis([10,1e7,0.48,0.52]);

審核編輯：湯梓紅