1、分治法

概念：

將一個(gè)難以直接解決的大問(wèn)題，分割成一些規(guī)模較小的相同問(wèn)題，以便各個(gè)擊破，分而治之。

思想策略：

對(duì)于一個(gè)規(guī)模為n的問(wèn)題，若該問(wèn)題可以容易地解決（比如說(shuō)規(guī)模n較?。﹦t直接解決，否則將其分解為k個(gè)規(guī)模較小的子問(wèn)題，這些子問(wèn)題互相獨(dú)立且與原問(wèn)題形式相同，遞歸地解這些子問(wèn)題，然后將各子問(wèn)題的解合并得到原問(wèn)題的解。

特征：

該問(wèn)題的規(guī)?？s小到一定的程度就可以容易地解決

該問(wèn)題可以分解為若干個(gè)規(guī)模較小的相同問(wèn)題，即該問(wèn)題具有最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)。

利用該問(wèn)題分解出的子問(wèn)題的解可以合并為該問(wèn)題的解；

該問(wèn)題所分解出的各個(gè)子問(wèn)題是相互獨(dú)立的，即子問(wèn)題之間不包含公共的子子問(wèn)題。

第一條特征是絕大多數(shù)問(wèn)題都可以滿足的，因?yàn)閱?wèn)題的計(jì)算復(fù)雜性一般是隨著問(wèn)題規(guī)模的增加而增加； 第二條特征是應(yīng)用分治法的前提它也是大多數(shù)問(wèn)題可以滿足的，此特征反映了遞歸思想的應(yīng)用； 第三條特征是關(guān)鍵，能否利用分治法完全取決于問(wèn)題是否具有第三條特征，如果具備了第一條和第二條特征，而不具備第三條特征，則可以考慮用貪心法或動(dòng)態(tài)規(guī)劃法。 第四條特征涉及到分治法的效率，如果各子問(wèn)題是不獨(dú)立的則分治法要做許多不必要的工作，重復(fù)地解公共的子問(wèn)題，此時(shí)雖然可用分治法，但一般用動(dòng)態(tài)規(guī)劃法較好。

基本步驟：

1 分解：將原問(wèn)題分解為若干個(gè)規(guī)模較小，相互獨(dú)立，與原問(wèn)題形式相同的子問(wèn)題； 2 解決：若子問(wèn)題規(guī)模較小而容易被解決則直接解，否則遞歸地解各個(gè)子問(wèn)題 3 合并：將各個(gè)子問(wèn)題的解合并為原問(wèn)題的解。

適用分治法求解的經(jīng)典問(wèn)題：

1）二分搜索

2）大整數(shù)乘法

3）Strassen矩陣乘法

4）棋盤覆蓋

5）合并排序

6）快速排序

7）線性時(shí)間選擇

8）最接近點(diǎn)對(duì)問(wèn)題

9）循環(huán)賽日程表

10）漢諾塔

2、動(dòng)態(tài)規(guī)劃

概念：

每次決策依賴于當(dāng)前狀態(tài)，又隨即引起狀態(tài)的轉(zhuǎn)移。一個(gè)決策序列就是在變化的狀態(tài)中產(chǎn)生出來(lái)的，所以，這種多階段最優(yōu)化決策解決問(wèn)題的過(guò)程就稱為動(dòng)態(tài)規(guī)劃。

思想策略：

將待求解的問(wèn)題分解為若干個(gè)子問(wèn)題（階段），按順序求解子階段，前一子問(wèn)題的解，為后一子問(wèn)題的求解提供了有用的信息。 在求解任一子問(wèn)題時(shí)，列出各種可能的局部解，通過(guò)決策保留那些有可能達(dá)到最優(yōu)的局部解，丟棄其他局部解。 依次解決各子問(wèn)題，最后一個(gè)子問(wèn)題就是初始問(wèn)題的解。

特征：

能采用動(dòng)態(tài)規(guī)劃求解的問(wèn)題的一般要具有3個(gè)性質(zhì)： (1) 最優(yōu)化原理：如果問(wèn)題的最優(yōu)解所包含的子問(wèn)題的解也是最優(yōu)的，就稱該問(wèn)題具有最優(yōu)子結(jié)構(gòu)，即滿足最優(yōu)化原理。 (2) 無(wú)后效性：即某階段狀態(tài)一旦確定，就不受這個(gè)狀態(tài)以后決策的影響。也就是說(shuō)，某狀態(tài)以后的過(guò)程不會(huì)影響以前的狀態(tài)，只與當(dāng)前狀態(tài)有關(guān)。 (3)有重疊子問(wèn)題：即子問(wèn)題之間是不獨(dú)立的，一個(gè)子問(wèn)題在下一階段決策中可能被多次使用到。（該性質(zhì)并不是動(dòng)態(tài)規(guī)劃適用的必要條件，但是如果沒(méi)有這條性質(zhì)，動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法同其他算法相比就不具備優(yōu)勢(shì)）

基本步驟：

（1）分析最優(yōu)解的性質(zhì)，并刻畫其結(jié)構(gòu)特征。 （2）遞歸的定義最優(yōu)解。 （3）以自底向上或自頂向下的記憶化方式（備忘錄法）計(jì)算出最優(yōu)值 （4）根據(jù)計(jì)算最優(yōu)值時(shí)得到的信息，構(gòu)造問(wèn)題的最優(yōu)解

適用動(dòng)態(tài)規(guī)劃求解的經(jīng)典問(wèn)題：

矩陣連乘，

走金字塔

最長(zhǎng)公共子序列(LCS) ，

最長(zhǎng)遞增子序列(LIS) ，

凸多邊形最優(yōu)三角剖分 ，

背包問(wèn)題 ，

雙調(diào)歐幾里得旅行商問(wèn)題

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3、貪心法

概念：

在對(duì)問(wèn)題求解時(shí)，總是做出在當(dāng)前看來(lái)是最好的選擇。也就是說(shuō)，不從整體最優(yōu)上加以考慮，他所做出的僅是在某種意義上的局部最優(yōu)解。

思想策略：

貪心算法沒(méi)有固定的算法框架，算法設(shè)計(jì)的關(guān)鍵是貪心策略的選擇。必須注意的是，貪心算法不是對(duì)所有問(wèn)題都能得到整體最優(yōu)解，選擇的貪心策略必須具備無(wú)后效性，即某個(gè)狀態(tài)以后的過(guò)程不會(huì)影響以前的狀態(tài)，只與當(dāng)前狀態(tài)有關(guān)。所以對(duì)所采用的貪心策略一定要仔細(xì)分析其是否滿足無(wú)后效性。

基本步驟：

建立數(shù)學(xué)模型來(lái)描述問(wèn)題。

把求解的問(wèn)題分成若干個(gè)子問(wèn)題。

對(duì)每一子問(wèn)題求解，得到子問(wèn)題的局部最優(yōu)解。

把子問(wèn)題的解局部最優(yōu)解合成原來(lái)解問(wèn)題的一個(gè)解。

適用貪心法求解的經(jīng)典問(wèn)題：

活動(dòng)選擇問(wèn)題，

錢幣找零問(wèn)題，

再論背包問(wèn)題，

小船過(guò)河問(wèn)題，

區(qū)間覆蓋問(wèn)題，

銷售比賽，

Huffman編碼，

Dijkstra算法（求解最短路徑），

最小生成樹算法

4、回溯法

概念：

回溯算法實(shí)際上一個(gè)類似枚舉的搜索嘗試過(guò)程，主要是在搜索嘗試過(guò)程中尋找問(wèn)題的解，當(dāng)發(fā)現(xiàn)已不滿足求解條件時(shí)，就“回溯”返回，嘗試別的路徑?；厮莘ㄊ且环N選優(yōu)搜索法，按選優(yōu)條件向前搜索，以達(dá)到目標(biāo)。 但當(dāng)探索到某一步時(shí)，發(fā)現(xiàn)原先選擇并不優(yōu)或達(dá)不到目標(biāo)，就退回一步重新選擇，這種走不通就退回再走的技術(shù)為回溯法，而滿足回溯條件的某個(gè)狀態(tài)的點(diǎn)稱為“回溯點(diǎn)”。 許多復(fù)雜的，規(guī)模較大的問(wèn)題都可以使用回溯法，有“通用解題方法”的美稱。

思想策略：

在包含問(wèn)題的所有解的解空間樹中，按照深度優(yōu)先搜索的策略，從根結(jié)點(diǎn)出發(fā)深度探索解空間樹。當(dāng)探索到某一結(jié)點(diǎn)時(shí)，要先判斷該結(jié)點(diǎn)是否包含問(wèn)題的解，如果包含，就從該結(jié)點(diǎn)出發(fā)繼續(xù)探索下去，如果該結(jié)點(diǎn)不包含問(wèn)題的解，則逐層向其祖先結(jié)點(diǎn)回溯。（其實(shí)回溯法就是對(duì)隱式圖的深度優(yōu)先搜索算法）。若用回溯法求問(wèn)題的所有解時(shí)，要回溯到根，且根結(jié)點(diǎn)的所有可行的子樹都要已被搜索遍才結(jié)束。

特征：

（1）針對(duì)所給問(wèn)題，確定問(wèn)題的解空間：首先應(yīng)明確定義問(wèn)題的解空間，問(wèn)題的解空間應(yīng)至少包含問(wèn)題的一個(gè)（最優(yōu)）解。 （2）確定結(jié)點(diǎn)的擴(kuò)展搜索規(guī)則 （3）以深度優(yōu)先方式搜索解空間，并在搜索過(guò)程中用剪枝函數(shù)避免無(wú)效搜索。

適用回溯法求解的經(jīng)典問(wèn)題：

八皇后問(wèn)題，

圖的著色問(wèn)題，

裝載問(wèn)題，

批處理作業(yè)調(diào)度問(wèn)題，

再再論背包問(wèn)題，

最大團(tuán)問(wèn)題，

連續(xù)郵資問(wèn)題，

符號(hào)三角形問(wèn)題，

5、分支限界法

概述：

類似于回溯法，也是一種在問(wèn)題的解空間樹T上搜索問(wèn)題解的算法。但在一般情況下，分支限界法與回溯法的求解目標(biāo)不同。 回溯法的求解目標(biāo)是找出T中滿足約束條件的所有解，而分支限界法的求解目標(biāo)則是找出滿足約束條件的一個(gè)解，或是在滿足約束條件的解中找出使某一目標(biāo)函數(shù)值達(dá)到極大或極小的解，即在某種意義下的最優(yōu)解。

策略：

在擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)處，先生成其所有的兒子結(jié)點(diǎn)（分支），然后再?gòu)漠?dāng)前的活結(jié)點(diǎn)表中選擇下一個(gè)擴(kuò)展對(duì)點(diǎn)。為了有效地選擇下一擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，以加速搜索的進(jìn)程，在每一活結(jié)點(diǎn)處，計(jì)算一個(gè)函數(shù)值（限界），并根據(jù)這些已計(jì)算出的函數(shù)值，從當(dāng)前活結(jié)點(diǎn)表中選擇一個(gè)最有利的結(jié)點(diǎn)作為擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，使搜索朝著解空間樹上有最優(yōu)解的分支推進(jìn)，以便盡快地找出一個(gè)最優(yōu)解。

與回溯法的區(qū)別：

回溯法：【方式不同】深度優(yōu)先搜索堆?；罱Y(jié)點(diǎn)的所有可行子結(jié)點(diǎn)被遍歷后才被從棧中彈出找出滿足約束條件的所有解【目標(biāo)不同】。分支限界法：【方式不同】廣度優(yōu)先或最小消耗優(yōu)先搜索隊(duì)列、優(yōu)先隊(duì)列每個(gè)結(jié)點(diǎn)只有一次成為活結(jié)點(diǎn)的機(jī)會(huì)找出滿足約束條件的一個(gè)解或特定意義下的最優(yōu)解【目標(biāo)不同】。

審核編輯：湯梓紅