介紹

NeRF（Neural Radiance Fields）是一種先進(jìn)的計(jì)算機(jī)圖形學(xué)技術(shù)，能夠生成高度逼真的3D場(chǎng)景。它通過(guò)深度學(xué)習(xí)的方法從2D圖片中學(xué)習(xí)，并生成連續(xù)的3D場(chǎng)景模型。NeRF的工作原理是自監(jiān)督的，通過(guò)在有限的輸入視圖上訓(xùn)練數(shù)據(jù)，可以用較少的數(shù)據(jù)集生成高質(zhì)量的渲染。相比傳統(tǒng)方法中使用離散化的網(wǎng)格或體素表示場(chǎng)景，NeRF的連續(xù)函數(shù)表示具有優(yōu)勢(shì)，并能夠從任意角度渲染，產(chǎn)生令人驚嘆的高質(zhì)量渲染效果。

NeRF的引入在2020年由 Ben Mildenhall 等人的論文 "NeRF: Representing Scenes as Neural Radiance Fields for View Synthesis"中提出。這項(xiàng)研究是在加州大學(xué)伯克利分校與谷歌的聯(lián)合項(xiàng)目中完成的。NeRF不僅可以從訓(xùn)練時(shí)使用的輸入視圖角度渲染場(chǎng)景，還能夠從任意角度進(jìn)行渲染，創(chuàng)造出優(yōu)于現(xiàn)有渲染方法的高質(zhì)量可視效果。

NeRF 提出的動(dòng)機(jī)

NeRF的出現(xiàn)源于對(duì)傳統(tǒng)的3D重建技術(shù)的局限性的觀察。傳統(tǒng)的3D重建技術(shù)，如立體重建和深度學(xué)習(xí)的3D卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，主要依賴于離散的3D體素或點(diǎn)云表示來(lái)對(duì)3D空間進(jìn)行建模。這些方法雖然取得了一些進(jìn)展，但都存在著各種問(wèn)題，比如模型精細(xì)度的限制、處理透明和半透明物體的困難等。

模型精細(xì)度的限制：對(duì)于基于體素或者點(diǎn)云的方法，它們的精細(xì)度往往受到計(jì)算能力和內(nèi)存限制。對(duì)于體素，你需要在三維空間中創(chuàng)建一個(gè)網(wǎng)格并存儲(chǔ)每個(gè)格子的信息。如果你想要增加模型的精細(xì)度，你需要增加網(wǎng)格的密度，這會(huì)使得所需的內(nèi)存呈立方級(jí)增長(zhǎng)。對(duì)于點(diǎn)云，雖然可以適應(yīng)不同的形狀和大小，但是精細(xì)的細(xì)節(jié)需要大量的點(diǎn)來(lái)表示，這也會(huì)導(dǎo)致計(jì)算和內(nèi)存的需求增加。

處理透明和半透明物體的困難：傳統(tǒng)的3D重建方法通常假設(shè)每個(gè)3D點(diǎn)都是完全不透明的，即它們完全吸收或反射所有到達(dá)的光線。這忽略了物體的透明度或半透明度，因此在處理玻璃、水或氣體等物體時(shí)會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)果。

NeRF是為了解決現(xiàn)有3D重建方法的一些局限性而提出的。傳統(tǒng)的3D重建方法通常需要在離散的3D體素或三角網(wǎng)格上操作，這可能導(dǎo)致模型的分辨率和細(xì)節(jié)程度受到限制。而NeRF的方法是在連續(xù)的3D空間中操作，這意味著它可以生成具有任意分辨率和任意細(xì)節(jié)的模型。

此外，NeRF的方法還可以自然地處理場(chǎng)景中的透明度和混合色，這是許多傳統(tǒng)方法難以處理的問(wèn)題。另外，由于NeRF使用的是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，所以它可以利用深度學(xué)習(xí)的強(qiáng)大能力，從一系列2D圖像中學(xué)習(xí)出復(fù)雜的3D場(chǎng)景。

具體來(lái)說(shuō)：

對(duì)于模型精細(xì)度的限制：NeRF通過(guò)將場(chǎng)景建模為連續(xù)的輻射場(chǎng)并使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行參數(shù)化，避免了離散表示帶來(lái)的精細(xì)度限制。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能夠?qū)W習(xí)到連續(xù)的函數(shù)，所以可以以任意精度渲染場(chǎng)景。此外，所有的信息都嵌入到神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)重中，所以內(nèi)存使用量主要取決于網(wǎng)絡(luò)的大小，而不是場(chǎng)景的復(fù)雜度或分辨率。

對(duì)于處理透明和半透明物體的困難：NeRF通過(guò)為每個(gè)3D位置分配一個(gè)密度值來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。這個(gè)密度值描述了光線通過(guò)該位置時(shí)的衰減程度，所以可以自然地表示透明和半透明效果。在體積渲染過(guò)程中，NeRF會(huì)考慮到每個(gè)3D位置上的密度值，并計(jì)算光線在通過(guò)場(chǎng)景時(shí)的累積影響，從而能夠準(zhǔn)確地渲染透明和半透明物體。

總的來(lái)說(shuō)，NeRF通過(guò)使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和體積渲染的方法，克服了傳統(tǒng)3D重建方法的一些主要限制，從而能夠以高精度和高細(xì)節(jié)級(jí)別重建和渲染3D場(chǎng)景。

什么是3D輻射場(chǎng)（Radiance Field）？

在深入地理解3D輻射場(chǎng)之前，首先需要理解“輻射”和“輻射場(chǎng)”的概念。

“輻射”

在光學(xué)中，“輻射”一詞通常用于描述光（或更一般地，電磁波）的傳播。具體來(lái)說(shuō)，給定空間中的一個(gè)點(diǎn)和一個(gè)方向，"輻射"描述的是從這個(gè)點(diǎn)沿這個(gè)方向傳播的光的強(qiáng)度或能量。在許多情況下，我們更關(guān)心的是“光度”，即人眼對(duì)光的感知，這包括光的顏色和亮度。

“輻射場(chǎng)”

“輻射場(chǎng)”則是一個(gè)更高級(jí)別的概念。一個(gè)輻射場(chǎng)實(shí)際上是一個(gè)定義在空間中的函數(shù)，它給出了在每一個(gè)空間點(diǎn)、每一個(gè)方向上的輻射（或光度）。這就是3D輻射場(chǎng)的定義。

舉個(gè)例子，假設(shè)你在一個(gè)室內(nèi)環(huán)境中，有一個(gè)亮度和顏色都在變化的燈光源。你現(xiàn)在想要用一個(gè)函數(shù)來(lái)描述整個(gè)空間中的光度情況。這個(gè)函數(shù)應(yīng)該能告訴你在每個(gè)位置，從每個(gè)方向看過(guò)去的光的顏色和亮度是什么。這個(gè)函數(shù)就是3D輻射場(chǎng)。

具體到計(jì)算機(jī)圖形學(xué)和計(jì)算機(jī)視覺(jué)中，3D輻射場(chǎng)被用來(lái)表示和渲染3D場(chǎng)景。

它能夠準(zhǔn)確地描述場(chǎng)景中的光照、陰影、反射和折射等復(fù)雜光學(xué)現(xiàn)象。

通過(guò)對(duì)3D輻射場(chǎng)的采樣和計(jì)算，我們可以從任意視角渲染出場(chǎng)景的圖像，甚至可以模擬出透明和半透明物體，以及復(fù)雜的光線傳播效果，如散射和吸收等。

例如，虛擬現(xiàn)實(shí)（VR）和增強(qiáng)現(xiàn)實(shí)（AR）就是3D輻射場(chǎng)的一種應(yīng)用。在VR和AR中，我們需要根據(jù)用戶的視角動(dòng)態(tài)地渲染3D場(chǎng)景。通過(guò)3D輻射場(chǎng)，我們可以快速地從任意視角計(jì)算出場(chǎng)景的圖像，從而實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)的、自由的視角切換。

另一個(gè)例子是電影制作。在電影中，通常需要?jiǎng)?chuàng)建一些復(fù)雜的3D場(chǎng)景，并從不同視角進(jìn)行渲染。通過(guò)使用3D輻射場(chǎng)，我們可以創(chuàng)建出高質(zhì)量的、具有真實(shí)光線傳播效果的3D場(chǎng)景，使得電影的視覺(jué)效果更加逼真。

3D輻射場(chǎng)描述了 3D空間中光的分布和行為的方式。具體來(lái)說(shuō)，它為3D空間中的每一個(gè)點(diǎn)分配了一個(gè)顏色和一個(gè)透明度（或者說(shuō)體密度）值。顏色描述了從該點(diǎn)射出的光的顏色，而透明度描述了光線穿過(guò)該點(diǎn)時(shí)被吸收或散射的程度。

顏色: 對(duì)于空間中的一個(gè)點(diǎn)p和一個(gè)方向 d ，顏色描述了從點(diǎn)p沿著方向d射出的光的顏色。這個(gè)顏色是由在點(diǎn) p 處的所有光源（包括直接的和間接的）在方向d上的光線的顏色組成的。

例如，如果在p處有一個(gè)紅色的光源，那么 將會(huì)包含紅色的成分。如果在p處沒(méi)有光源，但是在d方向上有一個(gè)反射面，那么 將會(huì)包含反射面反射過(guò)來(lái)的光的顏色。

體密度（透明度）: 體密度 σ(p) 描述了在點(diǎn)p處光線的吸收或散射的程度。

如果 σ(p) 較高，那么在點(diǎn)p處的光線將會(huì)被大量吸收或散射，這意味著在p處的物體是不透明的或者是高度散射的（例如霧或云）。

如果 σ(p) 較低，那么在點(diǎn)p處的光線將會(huì)被較少吸收或散射，這意味著在p處的物體是透明的或者是低度散射的（例如清晰的空氣或水）。

3D輻射場(chǎng)是一個(gè)函數(shù) ，其輸入是一個(gè)3D坐標(biāo) p 和一個(gè)方向 d ，輸出是在那個(gè)坐標(biāo)和方向上的顏色和體密度，即 c(p, d) 和 σ(p) 。這個(gè)函數(shù)描述了3D空間中的光的分布和行為：它告訴我們?cè)诳臻g中的任意一個(gè)點(diǎn)，沿著任意一個(gè)方向，我們可以看到什么顏色的光，以及這個(gè)光線被吸收或散射的程度。

輸入：函數(shù)的輸入由兩部分組成：一個(gè)3D空間中的點(diǎn)和一個(gè)方向。

這里的3D空間可以是任何你希望描述其光照屬性的空間，例如一個(gè)室內(nèi)環(huán)境、一個(gè)城市街道，或者整個(gè)宇宙。方向可以是任何方向，你可以想象這是一個(gè)從觀察者眼睛發(fā)出的光線的方向。

因此，這個(gè)函數(shù)實(shí)際上是在描述：在3D空間中的任何點(diǎn)，沿著任何方向，我們能看到什么。

輸出：函數(shù)的輸出是在輸入點(diǎn)和方向上的顏色和體密度值。

顏色值描述了你在指定的點(diǎn)和方向上看到的光的顏色。

體密度值描述了光線穿過(guò)指定點(diǎn)時(shí)的吸收或散射程度。

更具體地說(shuō)，如果你在一個(gè)3D場(chǎng)景中選擇一個(gè)點(diǎn)p和一個(gè)方向d，那么函數(shù)L(p, d)將會(huì)告訴你：如果你站在點(diǎn)p，朝著方向d看過(guò)去，你將會(huì)看到什么顏色的光（c(p, d)），以及這個(gè)光線被穿過(guò)的物體吸收或散射的程度（σ(p)）。

這種描述方法使得3D輻射場(chǎng)可以對(duì)3D空間中的光照情況進(jìn)行高度精細(xì)的描述，包括復(fù)雜的光線傳播效果，如陰影、反射、折射、透明和半透明效果等。這也是為什么3D輻射場(chǎng)在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)和計(jì)算機(jī)視覺(jué)中如此重要，因?yàn)樗梢杂糜阡秩靖哔|(zhì)量、逼真的3D場(chǎng)景。

NeRF 和 3D輻射場(chǎng)之間的關(guān)系

NeRF（Neural Radiance Fields）和3D輻射場(chǎng)是緊密關(guān)聯(lián)的，實(shí)際上，NeRF就是利用深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來(lái)建模和學(xué)習(xí)3D輻射場(chǎng)。

NeRF提出的方法是以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來(lái)模擬連續(xù)的3D輻射場(chǎng)，即將一個(gè)3D坐標(biāo)點(diǎn)和一個(gè)視線方向映射到一個(gè)顏色和密度。

這種表示方式對(duì)應(yīng)于真實(shí)世界的物理特性，使得3D模型可以自然地表達(dá)物體的顏色和透明度，也使得3D模型可以以任意的精度和分辨率來(lái)表示。

根據(jù)前面的描述可知，3D輻射場(chǎng)是一個(gè)描述3D空間中光的分布和行為的函數(shù)，它將每個(gè)3D空間中的點(diǎn)和一個(gè)方向映射到一個(gè)顏色和體密度值。然而，在實(shí)際應(yīng)用中，我們通常并不能直接得到這個(gè)函數(shù)，因此我們需要找到一種方法來(lái)逼近或?qū)W習(xí)這個(gè)函數(shù)。這就是NeRF的任務(wù)。

NeRF提出了一種基于深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的方法，該網(wǎng)絡(luò)接受一個(gè)3D空間中的點(diǎn)和一個(gè)方向作為輸入，輸出該點(diǎn)和方向上的顏色和體密度值。通過(guò)在一組2D圖片上訓(xùn)練，NeRF能夠學(xué)習(xí)到這個(gè)深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)，從而學(xué)習(xí)到3D輻射場(chǎng)的近似表示。

NeRF的目標(biāo)是通過(guò)一組2D圖片重建3D場(chǎng)景。

它不是直接在像素或三維體素上進(jìn)行操作，而是在連續(xù)的三維空間中學(xué)習(xí)和推斷一個(gè)函數(shù)，這個(gè)函數(shù)可以用來(lái)描述空間中的場(chǎng)景。

NeRF建立了一個(gè)完全由神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)表示的3D場(chǎng)景模型，這個(gè)模型旨在描述一個(gè)場(chǎng)景中所有3D位置（由世界坐標(biāo)表示）以及從任何觀察角度看到的顏色。

具體來(lái)說(shuō)，NeRF訓(xùn)練的過(guò)程是這樣的：它將一組2D圖片（通常是同一個(gè)3D場(chǎng)景的不同視角的圖片）作為輸入，然后通過(guò)優(yōu)化算法調(diào)整網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)，使得網(wǎng)絡(luò)輸出的3D輻射場(chǎng)能夠最好地重現(xiàn)這組2D圖片。訓(xùn)練結(jié)束后，我們就得到了一個(gè)能夠描述3D場(chǎng)景的深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，這個(gè)網(wǎng)絡(luò)實(shí)際上就是3D輻射場(chǎng)的近似表示。

因此，可以說(shuō)NeRF是一種用深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來(lái)學(xué)習(xí)和建模3D輻射場(chǎng)的方法。這種方法有許多優(yōu)點(diǎn)，例如它能夠生成連續(xù)、全景的3D場(chǎng)景模型，可以自然地表達(dá)物體的顏色和透明度，可以以任意的精度和分辨率來(lái)表示3D模型，等等。這使得NeRF在3D重建和視圖合成等任務(wù)上具有非常高的性能。

NeRF的核心思想

NeRF（Neural Radiance Fields）的核心思想是使用深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來(lái)學(xué)習(xí)3D空間中任意一點(diǎn)在給定視線（由觀察點(diǎn)和方向定義）下的顏色和體密度。主要依賴于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來(lái)建模和學(xué)習(xí)3D空間中的輻射場(chǎng)，而這個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)過(guò)程是通過(guò)觀察一系列2D訓(xùn)練圖片來(lái)完成的。

NeRF的核心思想可以用以下幾點(diǎn)來(lái)表述：

建模3D輻射場(chǎng)：NeRF使用深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來(lái)建模3D空間中的輻射場(chǎng)。

這個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)接受3D空間中的坐標(biāo)點(diǎn)和一個(gè)方向作為輸入，輸出對(duì)應(yīng)點(diǎn)和方向的顏色和體密度。在物理上，顏色代表從這個(gè)3D坐標(biāo)點(diǎn)沿著指定方向射出的光的顏色，而體密度則表示光線在穿過(guò)這個(gè)點(diǎn)時(shí)被吸收或散射的程度。

連續(xù)的3D場(chǎng)景表示：NeRF的一個(gè)關(guān)鍵特點(diǎn)是它對(duì)3D場(chǎng)景的表示是連續(xù)的，而不是離散的。

這是通過(guò)使用全連接的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來(lái)實(shí)現(xiàn)的，這種網(wǎng)絡(luò)可以接受任意的實(shí)數(shù)輸入，并輸出相應(yīng)的顏色和體密度。因此，NeRF可以以任意的精度和分辨率來(lái)表示3D模型。

視角無(wú)關(guān)性：NeRF對(duì)3D場(chǎng)景的表示是視角無(wú)關(guān)的。

這是因?yàn)樗窃?D空間中建模的，而不是在2D圖像空間中。這意味著，一旦NeRF模型被訓(xùn)練好，就可以從任何角度對(duì)其進(jìn)行渲染，而不需要重新訓(xùn)練模型。

通過(guò)2D圖像訓(xùn)練：NeRF通過(guò)觀察一系列2D訓(xùn)練圖片來(lái)學(xué)習(xí)這個(gè)深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)。

具體來(lái)說(shuō)，它會(huì)將一組2D圖片（通常是同一個(gè)3D場(chǎng)景的不同視角的圖片）作為輸入，然后通過(guò)優(yōu)化算法調(diào)整網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)，使得網(wǎng)絡(luò)輸出的3D輻射場(chǎng)能夠最好地重現(xiàn)這組2D圖片。

處理透明和半透明物體：NeRF的另一個(gè)重要特點(diǎn)是它能夠處理透明和半透明物體。

這是通過(guò)預(yù)測(cè)每個(gè)3D坐標(biāo)點(diǎn)的體密度來(lái)實(shí)現(xiàn)的，體密度可以表示光線在穿過(guò)這個(gè)點(diǎn)時(shí)被吸收或散射的程度。

總的來(lái)說(shuō)，NeRF的核心思想是通過(guò)深度學(xué)習(xí)來(lái)學(xué)習(xí)和預(yù)測(cè)3D空間中任意一點(diǎn)在給定視線下的顏色和體密度，從而從一系列2D訓(xùn)練圖片中生成連續(xù)、詳細(xì)、全景的3D場(chǎng)景表示。這一過(guò)程中涉及到對(duì)3D輻射場(chǎng)的建模、連續(xù)的3D場(chǎng)景表示、視角無(wú)關(guān)性以及透明度處理等多個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)。

全連接神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)作為場(chǎng)景的連續(xù)3D表示：這是NeRF的一項(xiàng)創(chuàng)新，通過(guò)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立了3D坐標(biāo)點(diǎn)及觀察方向與光線密度和顏色之間的映射關(guān)系。

這種表示形式可以更好地處理細(xì)節(jié)，并且在新的視角下更加準(zhǔn)確，因?yàn)樗试S任意的視角插值，而無(wú)需再進(jìn)行訓(xùn)練。

體積渲染公式：NeRF使用體積渲染公式對(duì)沿視線路徑上的顏色和密度進(jìn)行積分，以生成最終的2D圖像。這考慮了物體透明度的影響，并且可以通過(guò)改變路徑上的積分步數(shù)來(lái)適應(yīng)不同的場(chǎng)景。

分解顏色和體密度的表示：NeRF的另一個(gè)關(guān)鍵思想是將顏色和體密度的表示進(jìn)行分解，顏色與觀察方向有關(guān)，體密度與觀察方向無(wú)關(guān)。

這允許NeRF可以在視線方向上處理復(fù)雜的光線效果，例如高光和反射。

優(yōu)化和訓(xùn)練：NeRF優(yōu)化的目標(biāo)是減小由神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)生成的圖像和訓(xùn)練集圖像之間的差異。訓(xùn)練數(shù)據(jù)是一組同一場(chǎng)景的2D圖像，每張圖像都有相應(yīng)的相機(jī)參數(shù)（包括位置和方向）。這些數(shù)據(jù)足以訓(xùn)練網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)3D輻射場(chǎng)，并能夠從任意新的視角渲染出場(chǎng)景圖像。

NeRF（Neural Radiance Fields）的訓(xùn)練過(guò)程通常被認(rèn)為是自監(jiān)督學(xué)習(xí)，因?yàn)樗褂玫谋O(jiān)督信號(hào)是輸入數(shù)據(jù)自身，而不是外部提供的標(biāo)簽。

具體來(lái)說(shuō)，NeRF的訓(xùn)練過(guò)程使用了一組2D圖像和相應(yīng)的相機(jī)參數(shù)（包括位置和方向）。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的目標(biāo)是預(yù)測(cè)能夠產(chǎn)生訓(xùn)練圖像的3D場(chǎng)景的輻射場(chǎng)。這種情況下，監(jiān)督信號(hào)（即目標(biāo)輸出）就是輸入的2D圖像自身，因此可以認(rèn)為這是一種自監(jiān)督學(xué)習(xí)。

NeRF的實(shí)現(xiàn)技術(shù)

根據(jù)前面的介紹可知，NeRF的主要目標(biāo)是從一組2D圖片中學(xué)習(xí)出3D場(chǎng)景的連續(xù)表示。而這個(gè)表示方式被稱(chēng)為3D輻射場(chǎng)，它用一個(gè)函數(shù)來(lái)描述3D空間中光的行為。給定一個(gè)3D點(diǎn)和一個(gè)視線方向，這個(gè)函數(shù)可以輸出那個(gè)3D點(diǎn)在那個(gè)視線方向上的顏色以及光線被吸收或者散射的程度。

那么NeRF是如何做到這一點(diǎn)的呢？它采用了深度學(xué)習(xí)的方法。具體來(lái)說(shuō)，NeRF訓(xùn)練一個(gè)深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，使得這個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能夠?qū)W習(xí)和近似上述的3D輻射場(chǎng)函數(shù)。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入是一個(gè)3D坐標(biāo)和一個(gè)視線方向，輸出是那個(gè)3D點(diǎn)在那個(gè)視線方向上的顏色和體密度。

為了訓(xùn)練這個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，先收集一系列從不同角度和位置拍攝的2D圖像，然后用這些圖像來(lái)訓(xùn)練網(wǎng)絡(luò)。

通過(guò)優(yōu)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，使得從訓(xùn)練圖像中的每一個(gè)像素向場(chǎng)景中射出的光線的顏色和真實(shí)圖像盡可能一致，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)就可以學(xué)習(xí)到場(chǎng)景的3D表示。

整個(gè)NeRF的流程是這樣：它通過(guò)深度學(xué)習(xí)的方法學(xué)習(xí)3D場(chǎng)景的連續(xù)表示，然后使用這個(gè)表示來(lái)從新的視角渲染場(chǎng)景圖像。這是一個(gè)從2D到3D，再到2D的過(guò)程，但是這個(gè)過(guò)程中獲得的是對(duì)3D場(chǎng)景的連續(xù)和詳細(xì)的描述，這對(duì)于3D場(chǎng)景的重建和渲染都是非常有用的。這個(gè)過(guò)程可以進(jìn)一步分解如下：

數(shù)據(jù)收集：收集一組2D圖像，這些圖像從不同的角度和位置捕獲了同一場(chǎng)景。

這些圖片都是對(duì)同一3D場(chǎng)景的拍攝，所以在這個(gè)場(chǎng)景中，每個(gè)物體都會(huì)在多個(gè)圖像中出現(xiàn)，只是視角和位置不同。

預(yù)處理：對(duì)于每張圖像，我們需要知道相機(jī)的參數(shù)，包括相機(jī)的位置和方向。

這些參數(shù)可以用來(lái)確定從相機(jī)位置出發(fā)，經(jīng)過(guò)圖像上每個(gè)像素，向場(chǎng)景中射出的視線的方向。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練：我們使用這些數(shù)據(jù)訓(xùn)練一個(gè)深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。這個(gè)網(wǎng)絡(luò)的目標(biāo)是能夠根據(jù)3D坐標(biāo)和視線方向預(yù)測(cè)出那個(gè)位置的顏色和體密度。

在訓(xùn)練過(guò)程中，使網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)的顏色值和真實(shí)的2D圖像盡可能一致，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)就能學(xué)習(xí)到場(chǎng)景的3D表示。而為了實(shí)現(xiàn)這個(gè)目標(biāo)，我們通過(guò)比較網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)的顏色和圖像中的真實(shí)顏色來(lái)計(jì)算誤差，然后通過(guò)反向傳播算法來(lái)更新網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入是每個(gè)3D位置和相應(yīng)的視線方向，輸出是預(yù)測(cè)的顏色和密度值。

顏色值代表了該3D位置的顏色。

密度值代表了從相機(jī)向該3D位置射出的光線在途中被吸收或散射的程度。

渲染：當(dāng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練完畢后，我們就得到了一個(gè)可以描述3D場(chǎng)景的模型。我們可以使用訓(xùn)練好的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)從任意新的視角渲染場(chǎng)景圖像。

給定一個(gè)新的視角，我們可以通過(guò)這個(gè)模型來(lái)渲染出新的場(chǎng)景圖像。

我們只需要對(duì)每個(gè)像素確定出一個(gè)視線，然后使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)沿著這個(gè)視線的所有3D點(diǎn)的顏色，最后把這些顏色組合起來(lái)，就可以得到新的圖像。

體積渲染 (volume rendering)

為了從這個(gè)網(wǎng)絡(luò)生成2D圖像，NeRF使用了一種稱(chēng)為體積渲染 (volume rendering) 的技術(shù)。這是一種處理半透明物體的技術(shù)，它將光線沿視線路徑的所有顏色貢獻(xiàn)加權(quán)求和來(lái)生成最終的像素顏色。

簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，體積渲染是通過(guò)將沿著每個(gè)像素的射線上的所有顏色值加權(quán)求和（其中權(quán)重由密度值決定）來(lái)生成圖像的。

這個(gè)過(guò)程可以很自然地處理透明度和混合色，從而生成真實(shí)的圖像。

這個(gè)過(guò)程基本上就是沿著每個(gè)像素的射線方向，積分所有3D點(diǎn)的顏色和密度。

體積渲染 (volume rendering) 技術(shù)是一個(gè)關(guān)鍵步驟，因?yàn)樗试S我們通過(guò)從每個(gè)像素的射線上積分所有顏色和密度來(lái)創(chuàng)建2D圖像。

體積渲染過(guò)程首先確定出射線路徑（從相機(jī)位置通過(guò)每個(gè)像素），然后在這些射線上采樣一系列3D點(diǎn)，并通過(guò)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)獲取這些點(diǎn)的顏色和密度值。

然后，將這些顏色值根據(jù)相應(yīng)的密度值進(jìn)行加權(quán)疊加，從而得到最終的像素顏色。這個(gè)過(guò)程可以很好地處理顏色混合和透明物體。

這個(gè)過(guò)程充分考慮了光線在物體間傳播的物理規(guī)則，因此，通過(guò)NeRF生成的圖像不僅可以高度逼真，而且可以從任何新的視角渲染出來(lái)。

這種技術(shù)的潛力非常大，因?yàn)樗粌H可以用于3D渲染和虛擬現(xiàn)實(shí)，也可以用于計(jì)算機(jī)視覺(jué)和機(jī)器學(xué)習(xí)等其他領(lǐng)域。

體積渲染是一種處理3D數(shù)據(jù)的技術(shù)，它可以生成從任意視角觀察3D場(chǎng)景的2D圖像。這種技術(shù)在許多領(lǐng)域都有應(yīng)用，比如醫(yī)療成像（例如CT掃描和MRI掃描）、科學(xué)可視化（例如氣候模型和電子云模型），以及電影和電視特效制作等。

在體積渲染中，每個(gè)3D數(shù)據(jù)點(diǎn)通常有一個(gè)或多個(gè)屬性，比如顏色、透明度、密度或其他的物理性質(zhì)。渲染的目標(biāo)是將這些3D數(shù)據(jù)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為2D圖像上的像素，同時(shí)考慮視點(diǎn)、光線傳播和物體間的相互作用。

NeRF（神經(jīng)輻射場(chǎng)）中的體積渲染方法是一種特殊的體積渲染方法。在這種方法中，3D空間中的每一個(gè)點(diǎn)都由神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)的一個(gè)顏色值和一個(gè)體密度值描述。然后，沿著每個(gè)像素的射線，積分所有3D點(diǎn)的顏色和體密度，從而生成2D圖像。

具體來(lái)說(shuō)，對(duì)于每個(gè)像素，首先確定一個(gè)射線，然后在射線上采樣一系列3D點(diǎn)，對(duì)這些點(diǎn)的顏色值進(jìn)行加權(quán)求和，權(quán)重由體密度決定，從而得到最終的像素顏色。

需要通過(guò)體積渲染來(lái)計(jì)算像素的顏色。體積渲染的公式可以表示為：

其中：

是渲染出的顏色；

表示的是從相機(jī)位置到3D空間點(diǎn)s之間的媒介透射率。

T(s) 是從視點(diǎn)到3D點(diǎn)的透明度函數(shù)，可以理解為從相機(jī)到當(dāng)前3D點(diǎn)之間所有點(diǎn)的體密度的指數(shù)積；

透射率衡量了光線在通過(guò)物質(zhì)后保持其強(qiáng)度的能力。

在這個(gè)公式中，透射率等于路徑上所有點(diǎn)的體密度的負(fù)指數(shù)積分，這意味著密度越大，透射率越小，更多的光線會(huì)被吸收。

是3D空間點(diǎn)s的體密度。

是在3D空間點(diǎn)s處視線方向的顏色。

上面的公式是體積渲染的核心公式，它說(shuō)明了生成每個(gè)像素的顏色是如何由沿射線方向的一系列3D點(diǎn)的顏色和體密度決定的。

位置編碼和方向編碼

為了幫助神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)捕獲微妙的幾何細(xì)節(jié)以及復(fù)雜的光線傳輸現(xiàn)象，如反射和透射，NeRF引入了對(duì)3D空間位置和觀察方向的編碼。位置編碼和方向編碼是一種強(qiáng)制神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)場(chǎng)景中幾何和光線傳播細(xì)節(jié)的方法。

這是NeRF中用于處理3D空間位置和觀察方向的技術(shù)。它使用正弦和余弦函數(shù)對(duì)輸入的坐標(biāo)和方向進(jìn)行編碼，從而更好地處理幾何細(xì)節(jié)和光線傳播。

在訓(xùn)練網(wǎng)絡(luò)時(shí)，3D位置和觀察方向首先會(huì)被編碼為更高維的向量，然后才輸入到神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中。

這種編碼使用的是一個(gè)簡(jiǎn)單的正弦和余弦函數(shù)的系列，這種編碼方式可以使得神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能夠更好地捕捉到細(xì)微的空間和方向變化。

通過(guò)對(duì)輸入的3D坐標(biāo)和視線方向進(jìn)行一系列正弦和余弦函數(shù)變換，生成的多尺度頻率編碼可以幫助神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)更好地建模場(chǎng)景的復(fù)雜細(xì)節(jié)。

它的目的是以更高的頻率捕獲物體的幾何細(xì)節(jié)和光線傳播。基于位置和方向的原始坐標(biāo)和編碼坐標(biāo)，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以學(xué)習(xí)到不同的幾何和光學(xué)特性。

NeRF 利用傅里葉級(jí)數(shù)來(lái)編碼輸入位置和視線方向。

傅里葉級(jí)數(shù)是一種分析數(shù)學(xué)工具，可以將任何周期性函數(shù)表示為正弦和余弦的和。

通過(guò)對(duì)空間和方向進(jìn)行傅里葉編碼，NeRF 增加了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)幾何和光照變化的感知能力。

具體來(lái)說(shuō)，對(duì)于一個(gè)給定的 3D 點(diǎn)位置 和方向 ，它們都可以被分解為其對(duì)應(yīng)的頻域表示。這個(gè)頻域表示就是嵌入向量。嵌入向量包含了原始的點(diǎn)和方向，以及一系列正弦和余弦函數(shù)對(duì)它們進(jìn)行編碼后的結(jié)果。

位置 和方向 轉(zhuǎn)換為嵌入向量 和 ，其位置編碼和方向編碼公式如下：

其中，決定了編碼的頻率，這是一個(gè)可以調(diào)整的超參數(shù)，它控制了正弦和余弦函數(shù)的頻率的上限。一般來(lái)說(shuō)，較大的 會(huì)讓神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)到更豐富的幾何和光照細(xì)節(jié)，但也會(huì)增加計(jì)算復(fù)雜度。

嵌入向量中的正弦和余弦項(xiàng)給神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)提供了處理周期性和反射性質(zhì)的能力，這對(duì)于描述復(fù)雜的幾何形狀和光線傳播特別重要。

例如，對(duì)于一個(gè)周期性的紋理，如果只使用原始的點(diǎn)和方向作為輸入，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可能很難學(xué)習(xí)到這個(gè)周期性。但如果使用了傅立葉編碼，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)就可以通過(guò)調(diào)節(jié)對(duì)應(yīng)頻率的權(quán)重來(lái)表示這個(gè)周期性。

這種編碼方式的靈感來(lái)源于傅立葉變換和傅立葉級(jí)數(shù)的性質(zhì)，它們能夠?qū)⑷魏魏瘮?shù)表示為一系列正弦和余弦函數(shù)的和。通過(guò)將這種性質(zhì)應(yīng)用到神經(jīng)渲染中，NeRF 可以生成更真實(shí)的圖像，并且對(duì)于幾何和光照的處理也更加精確。

分層采樣策略 (Hierarchical Sampling Strategy)

在渲染過(guò)程中，光線會(huì)穿過(guò)許多不同的體素（體積元素），一條射線可能穿過(guò)多個(gè)物體或者穿過(guò)一個(gè)物體的多個(gè)部分，每個(gè)部分都會(huì)對(duì)最終像素顏色產(chǎn)生貢獻(xiàn)。

由于體積渲染涉及對(duì)光線路徑上的所有體素進(jìn)行積分，因此需要對(duì)這些體素進(jìn)行采樣。

然而，不是所有的體素對(duì)于生成最終的圖像都相同重要。

有些體素可能包含了大量的細(xì)節(jié)信息，比如對(duì)象的邊緣或是紋理的詳細(xì)部分，而其他的體素可能只包含了空氣或是非常平滑的表面。

對(duì)于這后者，我們并不需要進(jìn)行很密集的采樣。

為了解決這個(gè)問(wèn)題，為了有效地利用采樣點(diǎn)，NeRF使用了一種分層采樣策略來(lái)更高效地進(jìn)行體積渲染。這是一種用于體積渲染的技術(shù)，用于優(yōu)化渲染效率。

NeRF利用分層采樣策略對(duì)預(yù)測(cè)的體密度較高的區(qū)域進(jìn)行更密集、更精細(xì)的采樣采樣。在這種策略中，首先在整個(gè)射線上均勻地采樣一些點(diǎn)，然后在預(yù)測(cè)的體密度高的區(qū)域再進(jìn)行更細(xì)致的采樣。

首先進(jìn)行均勻的粗采樣 (coarse sampling) ，獲取預(yù)測(cè)的體密度分布。根據(jù)這些粗采樣點(diǎn)的密度預(yù)測(cè)結(jié)果，根據(jù)這個(gè)分布，再在預(yù)測(cè)的體密度高的區(qū)域進(jìn)行更細(xì)粒度的采樣 (fine sampling)。

這樣可以更有效地使用采樣點(diǎn)，更準(zhǔn)確地估計(jì)每個(gè)像素的顏色值。

這種策略可以使得采樣過(guò)程更加集中在重要的區(qū)域，可以將計(jì)算資源更有效地分配到圖像的重要部分，可以更有效地利用采樣點(diǎn)，從而提高渲染效率，并提高渲染質(zhì)量。

分層采樣策略的優(yōu)點(diǎn)是它可以顯著提高渲染的效率和質(zhì)量。因?yàn)樗鼘⒂?jì)算資源集中在了那些對(duì)生成圖像質(zhì)量最重要的區(qū)域，所以它可以在有限的計(jì)算資源下生成更高質(zhì)量的圖像。

這種策略的靈感來(lái)源于計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中的重要性采樣技術(shù) (importance sampling)。

重要性采樣是一種選擇性地對(duì)那些對(duì)結(jié)果有重大影響的部分進(jìn)行采樣的方法。

通過(guò)將這種方法應(yīng)用到體積渲染中，NeRF能夠更高效地渲染復(fù)雜的3D場(chǎng)景。

光線投射（Ray Casting）

這是一種在3D場(chǎng)景中生成2D圖像的技術(shù)，它將每個(gè)像素看作從相機(jī)位置出發(fā)的一條光線，并使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)沿著光線路徑的顏色和體密度。

NeRF使用光線投射來(lái)確定每個(gè)像素的射線方向。給定相機(jī)位置和像素位置，可以計(jì)算出射線的起點(diǎn)和方向。

然后，NeRF在射線上采樣一系列3D點(diǎn)，并通過(guò)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)這些點(diǎn)的顏色和體密度。

具體來(lái)說(shuō)，將每個(gè)像素視為從相機(jī)位置出發(fā)的一條光線，每個(gè)像素都有一條從相機(jī)位置出發(fā)、通過(guò)像素中心、指向場(chǎng)景的射線。然后沿這條光線采樣多個(gè)3D點(diǎn)，輸入神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)得到顏色和體密度，最后使用體積渲染技術(shù)得到最終的像素顏色。這個(gè)過(guò)程可以形式化為一個(gè)積分問(wèn)題，公式如下：

其中 是射線 的顏色， 是到 3D 點(diǎn)的透射度， 是 3D 點(diǎn)的體密度， 是 3D 點(diǎn)的顏色。

差分渲染（Differential Rendering）

由于NeRF的目標(biāo)是使生成的圖像盡可能接近真實(shí)的2D圖像，這需要計(jì)算圖像的梯度并進(jìn)行反向傳播。然而，由于體積渲染是通過(guò)積分操作得到像素顏色，直接計(jì)算梯度是非常困難的。

差分渲染是指對(duì)渲染結(jié)果進(jìn)行微分，得到結(jié)果關(guān)于輸入?yún)?shù)的梯度。這對(duì)于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練非常重要，因?yàn)樘荻刃畔⒖梢杂脕?lái)優(yōu)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)。

差分渲染是一種重要的計(jì)算機(jī)圖形學(xué)技術(shù)，允許我們計(jì)算圖像關(guān)于其輸入?yún)?shù)（例如光源位置、物體表面材質(zhì)等）的梯度。

差分渲染在NeRF中的實(shí)現(xiàn)，主要涉及對(duì)體積渲染公式的微分。NeRF利用差分渲染技術(shù)，這使得神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)生成的圖像可以進(jìn)行反向傳播，從而優(yōu)化網(wǎng)絡(luò)參數(shù)。具體來(lái)說(shuō)，NeRF通過(guò)對(duì)體積渲染的公式進(jìn)行微分，得到每個(gè)像素顏色關(guān)于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)的梯度，實(shí)現(xiàn)了光線的顏色和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)之間的導(dǎo)數(shù)計(jì)算。

這樣，就可以通過(guò)梯度下降算法來(lái)優(yōu)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，使得生成的圖像盡可能接近訓(xùn)練數(shù)據(jù)中的真實(shí)圖像。由于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和體積渲染過(guò)程都是可微的，NeRF可以計(jì)算生成圖像與真實(shí)圖像之間的誤差關(guān)于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)的梯度。

我們可以簡(jiǎn)單地看這個(gè)問(wèn)題為最小化損失函數(shù)的問(wèn)題，其中損失函數(shù)定義為生成圖像與真實(shí)圖像之間的誤差。如果我們把神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)表示為，那么我們的目標(biāo)就是找到一組參數(shù)，使得損失函數(shù)L最小。為了實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，我們需要計(jì)算損失函數(shù)關(guān)于參數(shù)的梯度，然后通過(guò)梯度下降算法來(lái)更新參數(shù)。

在具體的計(jì)算過(guò)程中，我們首先需要計(jì)算每個(gè)像素的顏色c關(guān)于體積密度σ和顏色c的導(dǎo)數(shù)，然后通過(guò)鏈?zhǔn)椒▌t，可以計(jì)算出損失函數(shù)L關(guān)于網(wǎng)絡(luò)參數(shù)θ的梯度。然后，我們可以使用這些梯度來(lái)更新網(wǎng)絡(luò)參數(shù)。這種差分渲染技術(shù)使得NeRF可以利用已有的深度學(xué)習(xí)框架進(jìn)行訓(xùn)練（如TensorFlow或PyTorch的自動(dòng)微分功能），同時(shí)也使得NeRF可以從少量的2D圖像中學(xué)習(xí)出3D場(chǎng)景的連續(xù)表示。

假設(shè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)為，光線在處的顏色可以通過(guò)下面的公式進(jìn)行計(jì)算：

其中，是光線在處之前的傳輸函數(shù)，是處的體積密度，是處的顏色。

那么，我們的目標(biāo)就是最小化生成的圖像和真實(shí)圖像之間的差異，也就是最小化損失函數(shù)。

然后，我們可以通過(guò)計(jì)算損失函數(shù)關(guān)于參數(shù)的梯度來(lái)更新參數(shù)，即，其中，是學(xué)習(xí)率。

通過(guò)這種方法，NeRF可以逐步改進(jìn)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的性能，使生成的圖像越來(lái)越接近真實(shí)的圖像。這種技術(shù)的靈感來(lái)源于深度學(xué)習(xí)中的反向傳播算法，是一種將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用于計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的有效方法。

NeRF的基本原理

NeRF的核心概念是用一個(gè)深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來(lái)表示一個(gè)場(chǎng)景的3D輻射場(chǎng)（radiance field）。這個(gè)輻射場(chǎng)可以被理解為一個(gè)函數(shù)，其輸入是一個(gè)3D位置和一個(gè)視線方向，輸出是在該位置和方向下的顏色和密度

NeRF的基本原理其實(shí)是建立在經(jīng)典的體積渲染理論之上，而NeRF的主要?jiǎng)?chuàng)新點(diǎn)在于將一個(gè)深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)用于預(yù)測(cè)3D空間中的顏色和密度信息。

NeRF模型中的主要函數(shù)可以表示為：

這里，是一個(gè)深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，它接收一個(gè)3D空間點(diǎn)和一個(gè)視線方向作為輸入，并輸出該點(diǎn)的顏色和體密度。

在NeRF的框架中，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是用來(lái)學(xué)習(xí)和表示場(chǎng)景的3D顏色和密度信息的工具。它的輸入是一個(gè)3D坐標(biāo)和一個(gè)方向，輸出是在該坐標(biāo)處的顏色和體密度。這種表示方式允許網(wǎng)絡(luò)對(duì)3D空間中的每個(gè)點(diǎn)進(jìn)行細(xì)粒度的建模，同時(shí)保持了對(duì)視角的感知，因?yàn)轭伾敵鍪且蕾囉诜较虻摹?/p>

函數(shù)實(shí)際上是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)場(chǎng)景的表示。這里的是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)，可以通過(guò)訓(xùn)練學(xué)習(xí)得到。

具體來(lái)說(shuō)，訓(xùn)練過(guò)程是這樣的：

給定一系列2D圖像和對(duì)應(yīng)的攝像機(jī)參數(shù)（包括攝像機(jī)位置和視角等），首先將攝像機(jī)參數(shù)轉(zhuǎn)換為3D空間中的射線。

對(duì)于每一條射線，通過(guò)一定的方法（如均勻采樣或重要性采樣）選取一些點(diǎn)，然后計(jì)算出這些點(diǎn)到攝像機(jī)的方向。將這些點(diǎn)的坐標(biāo)和方向作為輸入，送入神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，得到每個(gè)點(diǎn)的顏色和體密度。

在訓(xùn)練過(guò)程中，給定一系列2D圖像和對(duì)應(yīng)的攝像機(jī)參數(shù)，我們可以將每個(gè)2D圖像上的像素想象成從相機(jī)位置出發(fā)的一條射線。為了預(yù)測(cè)這條射線的顏色，我們需要在3D空間中沿著這條射線采樣多個(gè)點(diǎn)。

例如，我們可以選擇沿著射線等間距地采樣10個(gè)點(diǎn)，然后將這10個(gè)點(diǎn)的3D坐標(biāo)和對(duì)應(yīng)的視線方向作為輸入，輸入到神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，得到這10個(gè)點(diǎn)的顏色和體密度。值得注意的是，射線的方向是一個(gè)重要的輸入，因?yàn)樵谠S多場(chǎng)景中，物體的顏色會(huì)隨著觀察的角度變化，這被稱(chēng)為視差效應(yīng)。

然后，使用上面的體積渲染公式，從這些顏色和體密度計(jì)算出射線的顏色。

得到顏色和體密度之后，就可以利用體積渲染公式來(lái)計(jì)算出射線的顏色。這個(gè)公式基本上是將沿射線的所有點(diǎn)的顏色進(jìn)行加權(quán)疊加，其中權(quán)重是通過(guò)體密度來(lái)計(jì)算的。具體來(lái)說(shuō)，一個(gè)點(diǎn)的體密度越高，它對(duì)最終顏色的貢獻(xiàn)就越大。

最后，將計(jì)算出的射線顏色與2D圖像上對(duì)應(yīng)的像素顏色進(jìn)行比較，計(jì)算出誤差，通過(guò)梯度下降等優(yōu)化算法來(lái)更新神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)，使得預(yù)測(cè)的顏色盡可能接近真實(shí)的顏色。

將計(jì)算出的射線顏色與2D圖像上對(duì)應(yīng)的像素顏色進(jìn)行比較，計(jì)算出誤差。這個(gè)誤差可以看作是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)的顏色與真實(shí)顏色之間的差距。通過(guò)反向傳播這個(gè)誤差，我們可以計(jì)算出神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)的梯度，并使用優(yōu)化算法（如梯度下降）來(lái)更新參數(shù)，使得預(yù)測(cè)的顏色更接近真實(shí)的顏色。

通過(guò)大量的2D圖像和對(duì)應(yīng)的攝像機(jī)參數(shù)進(jìn)行訓(xùn)練，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以逐漸學(xué)會(huì)如何根據(jù)3D位置和視線方向來(lái)預(yù)測(cè)顏色和體密度，實(shí)現(xiàn)了從2D圖像到3D場(chǎng)景的學(xué)習(xí)和重建，從而形成對(duì)3D場(chǎng)景的理解。

這種方法的好處是，它不需要對(duì)場(chǎng)景進(jìn)行顯式的3D建模，而是通過(guò)一個(gè)可微的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)隱式地學(xué)習(xí)場(chǎng)景的3D表示，這使得它能夠處理非常復(fù)雜和詳細(xì)的場(chǎng)景。同時(shí)，由于其基于射線的渲染方式，它也能自然地處理復(fù)雜的光線效應(yīng)，如陰影、反射和折射等。

NeRF的整體流程

NeRF方法使得它可以從一系列2D圖片中學(xué)習(xí)并生成一個(gè)連續(xù)、全景的3D場(chǎng)景模型，能夠處理透明度和復(fù)雜的光照條件，而且可以以任意的精度和細(xì)節(jié)級(jí)別來(lái)表示。這使得NeRF在3D重建和視圖合成的領(lǐng)域具有廣泛的潛力和應(yīng)用前景。

數(shù)據(jù)收集：NeRF使用一系列從不同角度和位置拍攝的2D圖片作為輸入。這些圖片可以是實(shí)際拍攝的，也可以是通過(guò)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)生成的。

首先，收集一系列在不同角度和視點(diǎn)下拍攝的2D圖像作為輸入數(shù)據(jù)。這些圖像應(yīng)盡可能包含足夠的視角覆蓋，以覆蓋整個(gè)3D場(chǎng)景。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練：NeRF使用一個(gè)深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來(lái)表示3D輻射場(chǎng)（radiance field）。這個(gè)網(wǎng)絡(luò)接收一個(gè)3D坐標(biāo)和一個(gè)方向作為輸入，輸出該坐標(biāo)處的顏色和體密度。這個(gè)網(wǎng)絡(luò)是通過(guò)最小化模型預(yù)測(cè)的顏色和實(shí)際圖像的顏色之間的誤差來(lái)訓(xùn)練的。

在NeRF中，通常使用一個(gè)全連接的多層感知機(jī)(MLP)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來(lái)表達(dá)3D空間中的顏色和密度。給定一個(gè)3D坐標(biāo)和一個(gè)方向，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)會(huì)輸出在坐標(biāo)處的顏色和體密度。具體的函數(shù)表示如下：

其中代表神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)。這個(gè)網(wǎng)絡(luò)通過(guò)最小化預(yù)測(cè)的顏色和實(shí)際圖像的顏色之間的誤差來(lái)進(jìn)行訓(xùn)練。

體積渲染：訓(xùn)練好神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)之后，NeRF會(huì)通過(guò)體積渲染的技術(shù)，從神經(jīng)輻射場(chǎng)生成2D圖像。具體來(lái)說(shuō)，它計(jì)算沿每個(gè)像素射線方向的顏色和體密度的加權(quán)和，生成最終的2D圖像。

對(duì)于給定的一條射線，我們需要計(jì)算出這條射線上每一點(diǎn)對(duì)于最后形成的像素顏色的貢獻(xiàn)。其顏色計(jì)算公式如下：

這個(gè)公式表示沿射線的顏色的積分，其中每個(gè)位置的顏色被其體密度和沿射線的可見(jiàn)性所加權(quán)。

在這個(gè)公式中：

這個(gè)公式的基本思想是，我們沿著射線方向，對(duì)射線上每一點(diǎn)的顏色按照其體密度和透射函數(shù)進(jìn)行加權(quán)，然后累積這些顏色，得到的就是射線最終的顏色。這個(gè)過(guò)程相當(dāng)于模擬了真實(shí)世界中光線穿過(guò)物體并被物體顏色影響的過(guò)程。

而其中， 表示光線穿過(guò)點(diǎn)之前的所有點(diǎn)的累積透明度，計(jì)算公式為：

這個(gè)公式的意思是，光線在到達(dá)某一點(diǎn)時(shí)，其顏色已經(jīng)因?yàn)橥緩近c(diǎn)的體積密度而衰減，所以需要一個(gè)衰減因子來(lái)表示這種衰減。

在這個(gè)公式中，是在點(diǎn)的體密度，計(jì)算的是從攝像機(jī)（在處）到的光線路徑中所有點(diǎn)的體密度之和。這個(gè)和被認(rèn)為是光線在到達(dá)前被吸收的程度，其負(fù)指數(shù)就是光線在到達(dá)前剩余的光線強(qiáng)度，也就是。

這里，被稱(chēng)為透射函數(shù)（transmittance function），代表了從攝像機(jī)出發(fā)，到達(dá)空間中點(diǎn)時(shí)，光線的衰減程度。光線在經(jīng)過(guò)某一點(diǎn)前，如果途徑的介質(zhì)（例如空氣、水、玻璃、煙霧等）密度較大或者路徑較長(zhǎng)，那么光線就會(huì)發(fā)生更大的衰減。

因此，如果路徑上的總體密度大（表示有很多物質(zhì)可以吸收或散射光線），那么就會(huì)接近于0，表示光線大部分被吸收；相反，如果路徑上的總體密度?。ū硎局挥猩倭课镔|(zhì)吸收或散射光線），那么就會(huì)接近于1，表示大部分光線沒(méi)有被吸收。

表示射線在處的空間坐標(biāo)。

表示在處的體密度。體密度越大，說(shuō)明該處物質(zhì)越密集，對(duì)光線的影響也就越大。

表示在處的顏色。

表示從射線起點(diǎn)到點(diǎn)的透射函數(shù)，也就是(下面解釋)光線衰減程度。

可見(jiàn)性是通過(guò)計(jì)算光線從攝像機(jī)到當(dāng)前位置之間所有位置的體密度的積分來(lái)計(jì)算的，表示了光線在到達(dá)當(dāng)前位置之前有多少光被吸收了。

新視圖生成：一旦訓(xùn)練好神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，就可以根據(jù)用戶指定的新視點(diǎn)和視角，生成新的2D圖像，這些圖像可以是從訓(xùn)練數(shù)據(jù)中未出現(xiàn)過(guò)的角度和位置觀察的。

由于NeRF的場(chǎng)景表達(dá)是全局的和連續(xù)的，因此可以很自然地生成新視圖，包括訓(xùn)練數(shù)據(jù)中未曾出現(xiàn)過(guò)的視角。這對(duì)于許多應(yīng)用如虛擬現(xiàn)實(shí)、增強(qiáng)現(xiàn)實(shí)和3D打印等都很有用。

請(qǐng)注意，在實(shí)際應(yīng)用中，可能還需要進(jìn)行其他一些步驟，例如前處理（如圖像對(duì)齊和標(biāo)準(zhǔn)化）、后處理（如圖像融合和濾波）、超參數(shù)調(diào)整等。但在概念上，上面這些步驟已經(jīng)涵蓋了NeRF的核心整體流程。

NeRF的優(yōu)勢(shì)與局限性

NeRF的主要優(yōu)勢(shì)在于其能夠生成高度詳細(xì)和高度真實(shí)的3D模型，而且這些模型可以從任何角度渲染出新的2D圖像。

這一特性使得NeRF在許多領(lǐng)域有很大的潛力，包括虛擬和增強(qiáng)現(xiàn)實(shí)、游戲開(kāi)發(fā)、3D打印、電影制作以及更廣泛的圖形學(xué)應(yīng)用。

此外，因?yàn)镹eRF生成的是連續(xù)的3D模型，而不是像傳統(tǒng)的3D重建方法那樣生成離散的3D體素或三角形網(wǎng)格，所以NeRF生成的模型可以具有更高的解析度和更細(xì)的細(xì)節(jié)。

具體如下：

高質(zhì)量渲染：NeRF通過(guò)學(xué)習(xí)場(chǎng)景的3D輻射場(chǎng)來(lái)生成圖像，而這種方式可以非常好地恢復(fù)場(chǎng)景的細(xì)節(jié)，如紋理、光照和遮擋等。NeRF在渲染出的圖像中，不僅物體的形狀和紋理細(xì)節(jié)表現(xiàn)得生動(dòng)逼真，而且光照和陰影效果也展現(xiàn)得十分真實(shí)，這都得益于NeRF的深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在學(xué)習(xí)過(guò)程中對(duì)場(chǎng)景中的復(fù)雜關(guān)系進(jìn)行了高度抽象和理解。

例如，你想生成一張圖片，圖片的場(chǎng)景是一個(gè)裝滿各種水果的籃子。如果你使用NeRF技術(shù)，生成的圖片不僅會(huì)真實(shí)地展現(xiàn)出水果的形狀、顏色和紋理，還會(huì)準(zhǔn)確地展現(xiàn)出陰影和反射等光照效果。你可以清楚地看到水果表面的紋理，例如蘋(píng)果的光滑表面、橙子的粗糙皮，甚至可以看到籃子的編織細(xì)節(jié)。這種高質(zhì)量的渲染效果是因?yàn)镹eRF通過(guò)學(xué)習(xí)場(chǎng)景的3D輻射場(chǎng)，精確地模擬了物體和光線之間的交互。

連續(xù)性：NeRF表示的是一個(gè)連續(xù)的3D模型，這與傳統(tǒng)的3D重建方法（如基于體素或三角網(wǎng)格的方法）有很大區(qū)別。這種連續(xù)的表示方式使NeRF可以在任意位置給出顏色和體密度的信息，因此能夠捕捉到場(chǎng)景中的細(xì)微細(xì)節(jié)，例如物體邊緣的微小變化，或者物體表面的精細(xì)紋理等。

假設(shè)使用NeRF來(lái)模擬一座古老的建筑。傳統(tǒng)的3D重建方法可能會(huì)生成一個(gè)由多個(gè)小方塊（體素）或三角形網(wǎng)格組成的模型，這種模型可能無(wú)法準(zhǔn)確地展現(xiàn)建筑的某些細(xì)節(jié)，例如雕刻的線條或磚塊的質(zhì)感。然而，NeRF生成的是一個(gè)連續(xù)的3D模型，這意味著你可以在任意位置得到顏色和體密度的信息，因此可以清晰地看到建筑表面的每一個(gè)細(xì)節(jié)。

全景場(chǎng)景建模：NeRF使用深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來(lái)表示整個(gè)場(chǎng)景的3D輻射場(chǎng)，因此它可以處理全景的場(chǎng)景建模。這一特性使NeRF可以捕捉和重建大范圍內(nèi)的3D場(chǎng)景，包括室內(nèi)、室外、城市景觀等各種環(huán)境。

假設(shè)有一個(gè)項(xiàng)目需要重建一個(gè)城市街景。使用NeRF，你可以生成一個(gè)完整的3D模型，包括街道、建筑、車(chē)輛，甚至是人行道上的灌木和樹(shù)木。你可以從任何角度查看這個(gè)模型，甚至可以像在Google Street View中那樣，自由地在街景中移動(dòng)和旋轉(zhuǎn)。

任意視角渲染：NeRF的另一個(gè)重要優(yōu)點(diǎn)是，一旦訓(xùn)練好，它可以在任意視點(diǎn)和視角生成2D圖像。這意味著，我們可以在任意位置、任意角度觀察NeRF重建的3D場(chǎng)景，甚至可以在場(chǎng)景中自由移動(dòng)和旋轉(zhuǎn)，從而觀察場(chǎng)景中的不同部分。這對(duì)于許多應(yīng)用，如虛擬現(xiàn)實(shí)（VR）、增強(qiáng)現(xiàn)實(shí)（AR）等，都是非常有價(jià)值的。

例如，你可能有一個(gè)3D模型的古堡，并希望生成一系列從不同角度看古堡的圖像。使用NeRF，你可以輕松地做到這一點(diǎn)。你甚至可以在古堡的模型中自由移動(dòng)和旋轉(zhuǎn)，生成從古堡內(nèi)部看向外部的圖像。

對(duì)光照和材質(zhì)的建模：NeRF不僅可以捕捉場(chǎng)景的3D結(jié)構(gòu)，而且可以捕捉場(chǎng)景的復(fù)雜光照和材質(zhì)信息。這意味著，NeRF不僅可以重建物體的形狀，還可以重建物體的表面紋理和光照效果。這也是NeRF能夠生成高質(zhì)量渲染圖像的一個(gè)重要原因。

假設(shè)正在重建一個(gè)室內(nèi)場(chǎng)景，場(chǎng)景中有一個(gè)木質(zhì)的桌子和一個(gè)金屬的燈。使用NeRF，你可以不僅重建出桌子和燈的形狀，還可以重建出它們的材質(zhì)和光照效果。你可以看到木桌的木紋，感受到它的質(zhì)感；你也可以看到金屬燈反射的光線，感受到它的光澤。

無(wú)需顯式的3D重建：盡管NeRF的內(nèi)部工作機(jī)制是通過(guò)學(xué)習(xí)一個(gè)3D輻射場(chǎng)，但在訓(xùn)練和推理過(guò)程中，NeRF并不需要進(jìn)行顯式的3D建模，也不需要估計(jì)深度信息。這使得NeRF的訓(xùn)練和使用過(guò)程更為簡(jiǎn)單和直接。

例如，可能有一系列從不同角度拍攝的物體的2D圖片，你想用這些圖片來(lái)生成新的視圖。使用NeRF，你可以直接輸入這些2D圖片，然后生成新的視圖，而不需要先重建一個(gè)3D模型，或者估計(jì)圖片中的深度信息。這使得NeRF的使用更為簡(jiǎn)單和直接。

當(dāng)然，這種方法也有一些局限性，例如訓(xùn)練和渲染過(guò)程需要大量的計(jì)算資源，而且對(duì)于有大量動(dòng)態(tài)內(nèi)容和復(fù)雜反射的場(chǎng)景，NeRF可能無(wú)法處理得很好。

NeRF的局限性，主要包括：

計(jì)算成本高：NeRF的訓(xùn)練和推理過(guò)程需要大量的計(jì)算資源。這是因?yàn)?，NeRF需要對(duì)整個(gè)3D輻射場(chǎng)進(jìn)行建模，并且需要渲染大量的2D圖像。因此，NeRF在大規(guī)模的場(chǎng)景中的應(yīng)用可能會(huì)受到限制。

處理動(dòng)態(tài)場(chǎng)景困難：目前的NeRF主要適用于靜態(tài)場(chǎng)景，對(duì)動(dòng)態(tài)場(chǎng)景的處理能力有限。這是因?yàn)?，NeRF的訓(xùn)練過(guò)程需要大量的時(shí)間，而在這個(gè)過(guò)程中，場(chǎng)景中的物體和光照條件可能會(huì)發(fā)生變化。

處理反射和透明度復(fù)雜的物體困難：雖然NeRF可以處理一些反射和透明度的效果，但對(duì)于具有復(fù)雜反射和透明度的物體，NeRF可能無(wú)法處理得很好。這是因?yàn)?，這些效果依賴于物體的視角和光照條件，而這些因素在NeRF的訓(xùn)練過(guò)程中是難以考慮的。

需求高質(zhì)量的輸入數(shù)據(jù)：NeRF依賴于高質(zhì)量的輸入數(shù)據(jù)，如高分辨率的圖片和準(zhǔn)確的相機(jī)參數(shù)。如果這些數(shù)據(jù)的質(zhì)量不高，那么NeRF的效果可能會(huì)受到影響。

訓(xùn)練時(shí)間長(zhǎng)：盡管NeRF可以生成高質(zhì)量的渲染圖像，但其訓(xùn)練過(guò)程通常需要大量的時(shí)間和計(jì)算資源。這可能會(huì)限制NeRF在實(shí)時(shí)應(yīng)用中的使用。

NeRF的應(yīng)用

NeRF（Neural Radiance Fields）是一種新興的3D重建和視圖合成技術(shù)，雖然研究起步不久，但已經(jīng)在許多領(lǐng)域顯示出巨大的潛力。至2023年為止，以下是一些NeRF已經(jīng)應(yīng)用或可能應(yīng)用的領(lǐng)域：

影視制作：在電影制作中，特效是非常關(guān)鍵的一部分。傳統(tǒng)的3D模型創(chuàng)建和渲染方法通常需要大量的人力和時(shí)間，而且結(jié)果的質(zhì)量也會(huì)受到限制。

NeRF提供了一種新的方法，可以通過(guò)學(xué)習(xí)一系列照片來(lái)自動(dòng)創(chuàng)建和渲染3D模型。這種方法不僅可以提高效率，而且可以生成非常高質(zhì)量的結(jié)果。例如，NeRF可以用于創(chuàng)建真實(shí)的角色或場(chǎng)景模型，然后在任何角度渲染這些模型，以便在電影中使用。

游戲開(kāi)發(fā)：在游戲開(kāi)發(fā)中，環(huán)境建模是一個(gè)重要的部分。傳統(tǒng)的建模方法通常需要大量的手工作業(yè)，而且結(jié)果的質(zhì)量也會(huì)受到限制。

NeRF提供了一種新的方法，可以通過(guò)學(xué)習(xí)一系列照片來(lái)自動(dòng)創(chuàng)建3D環(huán)境模型。這種方法不僅可以提高效率，而且可以生成非常詳細(xì)和真實(shí)的環(huán)境模型。例如，NeRF可以用于創(chuàng)建游戲中的城市景觀，森林，山脈等環(huán)境。

虛擬現(xiàn)實(shí)（VR）和增強(qiáng)現(xiàn)實(shí)（AR）：VR和AR是最能體現(xiàn)NeRF優(yōu)勢(shì)的領(lǐng)域。在VR和AR中，用戶可以在虛擬世界中自由移動(dòng)和查看，因此需要在任何角度都能生成高質(zhì)量的2D圖像。

NeRF正好滿足這個(gè)需求，它可以用來(lái)創(chuàng)建高質(zhì)量的3D場(chǎng)景模型，然后在任何視點(diǎn)和視角渲染這些模型。例如，NeRF可以用于創(chuàng)建VR游戲的場(chǎng)景，或者在AR應(yīng)用中生成虛擬物體。

3D打印：NeRF生成的3D模型具有高精度和連續(xù)性，這使得這些模型非常適合用于3D打印。傳統(tǒng)的3D建模方法通常需要大量的手工作業(yè)，并且難以捕捉到物體的細(xì)微細(xì)節(jié)。

NeRF提供了一種新的方法，可以通過(guò)學(xué)習(xí)一系列照片來(lái)自動(dòng)創(chuàng)建3D模型，這些模型不僅具有高精度，而且能夠捕捉到物體的細(xì)微細(xì)節(jié)。例如，NeRF可以用于創(chuàng)建復(fù)雜的工藝品或機(jī)械零件的3D模型，然后直接使用這些模型進(jìn)行3D打印。

這些僅僅是NeRF的幾個(gè)潛在應(yīng)用，其在更多領(lǐng)域的應(yīng)用還在探索和發(fā)展中。例如，在建筑設(shè)計(jì)，地理信息系統(tǒng)（GIS），醫(yī)療成像等領(lǐng)域，NeRF都可能發(fā)揮重要的作用。
責(zé)任編輯：彭菁