在洛杉磯蓋蒂博物館的藏品中，有一幅17世紀(jì)古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的肖像：衣衫襤褸、蓬頭垢面，雙手沾滿污垢，舉著他的幾何學(xué)著作《幾何原本》。

兩千多年來，歐幾里得的著作一直是數(shù)學(xué)論證和推理的典范。

卡內(nèi)基梅隆大學(xué)邏輯學(xué)家Jeremy Avigad說：「眾所周知，歐幾里得以近乎詩意的 [定義] 開始。然后，他在此基礎(chǔ)上建立了當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)，使用基本概念、定義和先驗(yàn)定理，以這樣一種方式證明事物，即每一步都 [清晰地遵循] 前一步?！?/p>

Avigad博士說，有人抱怨歐幾里得的一些「明顯」步驟并不明顯，但該系統(tǒng)仍然有效。

但到了20世紀(jì)，數(shù)學(xué)家不再愿意將數(shù)學(xué)建立在這種直觀的幾何基礎(chǔ)上。相反，他們開發(fā)了正式的系統(tǒng)——精確的符號(hào)表示、機(jī)械規(guī)則。最終，這種形式化使得數(shù)學(xué)能夠轉(zhuǎn)化為計(jì)算機(jī)代碼。

1976年，四色定理（該定理指出四種顏色足以填充地圖，因此沒有兩個(gè)相鄰區(qū)域具有相同的顏色）成為第一個(gè)借助計(jì)算強(qiáng)力證明的主要定理。

現(xiàn)在，數(shù)學(xué)家們正在努力應(yīng)對最新的變革力量：人工智能。

2019年，曾在谷歌工作、現(xiàn)就職于舊金山灣區(qū)一家初創(chuàng)企業(yè)的計(jì)算機(jī)科學(xué)家Christian Szegedy預(yù)測，計(jì)算機(jī)系統(tǒng)將在十年內(nèi)趕上或超過人類最優(yōu)秀數(shù)學(xué)家解決問題的能力。去年他將目標(biāo)日期修改為2026年。

普林斯頓高等研究院數(shù)學(xué)家、2018年菲爾茲獎(jiǎng)獲得者Akshay Venkatesh目前對使用人工智能不感興趣，但他熱衷于談?wù)撍！肝蚁Ｍ业膶W(xué)生意識(shí)到他們所處的領(lǐng)域?qū)?huì)發(fā)生很大的變化，」他在去年的一次采訪中說道。他最近補(bǔ)充道：「我并不反對深思熟慮和刻意地使用技術(shù)來支持我們?nèi)祟惖睦斫?。但我?jiān)信，注意我們使用它的方式是至關(guān)重要的。」

二月，Avigad博士參加了在加州大學(xué)洛杉磯分校純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所舉辦的「機(jī)器輔助證明」研討會(huì)。這次聚會(huì)吸引了數(shù)學(xué)家和計(jì)算機(jī)科學(xué)家的非典型組合?！高@感覺很重要，」該大學(xué)數(shù)學(xué)家、2006年菲爾茲獎(jiǎng)獲得者、研討會(huì)的主要組織者Terence Tao說。

Tao博士指出，直到最近幾年，數(shù)學(xué)家們才開始擔(dān)心人工智能的潛在威脅，無論是對數(shù)學(xué)美學(xué)還是對他們自己。他說，著名的社區(qū)成員現(xiàn)在正在提出這些問題并探索潛在的「打破禁忌」。一位引人注目的研討會(huì)參與者坐在前排：一個(gè)名為「舉手機(jī)器人」的梯形盒子，每當(dāng)在線參與者提出問題時(shí)，它就會(huì)發(fā)出機(jī)械的低語并舉起手?！溉绻?a href="http://www.brongaenegriffin.com/soft/data/42-101/" target="_blank">機(jī)器人可愛且不具有威脅性，那就很有幫助，」Tao博士說。

帶來「證明抱怨者」

如今，優(yōu)化我們生活的小工具并不缺乏——飲食、睡眠、鍛煉。威斯康星大學(xué)麥迪遜分校數(shù)學(xué)家Jordan Ellenberg在研討會(huì)休息期間說：「我們喜歡給自己附加一些東西，以便更容易把事情做好?！?他補(bǔ)充說，人工智能設(shè)備可能也會(huì)對數(shù)學(xué)產(chǎn)生同樣的影響?！负苊黠@，問題是，機(jī)器能為我們做什么，而不是機(jī)器會(huì)對我們做什么?！?/p>

一種數(shù)學(xué)小工具稱為證明助手，或交互式定理證明器。（「自動(dòng)化」是20世紀(jì)60年代的早期化身。）數(shù)學(xué)家一步步將證明轉(zhuǎn)化為代碼；然后軟件程序檢查推理是否正確。驗(yàn)證積累在一個(gè)庫中，這是其他人可以查閱的動(dòng)態(tài)規(guī)范參考?；羲菇鹕问綌?shù)學(xué)中心（由加密貨幣企業(yè)家Charles Hoskinson資助）主任 Avigad 博士說，這種形式化為當(dāng)今的數(shù)學(xué)奠定了基礎(chǔ)，「就像歐幾里得試圖編纂和整理數(shù)學(xué)一樣。為他那個(gè)時(shí)代的數(shù)學(xué)奠定了基礎(chǔ)。」

最近，開源證明輔助系統(tǒng)Lean備受關(guān)注。Lean由現(xiàn)任職于亞馬遜的計(jì)算機(jī)科學(xué)家Leonardo de Moura在微軟開發(fā)，Lean使用自動(dòng)推理，由所謂的老式人工智能 (GOFAI) 提供支持，即受邏輯啟發(fā)的符號(hào)人工智能。到目前為止，Lean社區(qū)已經(jīng)驗(yàn)證了一個(gè)關(guān)于將球體翻轉(zhuǎn)的有趣定理，以及統(tǒng)一數(shù)學(xué)領(lǐng)域方案中的一個(gè)關(guān)鍵定理以及其他策略。

但證明助手也有缺點(diǎn)：它經(jīng)常抱怨自己不理解數(shù)學(xué)家輸入的定義、公理或推理步驟，因此它被稱為「證明抱怨者」。所有這些抱怨會(huì)使研究變得麻煩。但是福特漢姆大學(xué)的數(shù)學(xué)家Heather Macbeth說，同樣的功能（提供逐行反饋）也使該系統(tǒng)對教學(xué)很有用。

今年春天，Macbeth博士設(shè)計(jì)了一門「雙語」課程：她把黑板上的每個(gè)問題都翻譯成課堂講稿上的Lean代碼，學(xué)生們用Lean和散文兩種語言提交作業(yè)問題的解決方案?！高@給了他們信心，」Macbeth博士說，因?yàn)樗麄兊玫搅思磿r(shí)的反饋，知道證明何時(shí)完成，以及過程中的每一步是對還是錯(cuò)。

參加研討會(huì)后，約翰霍普金斯大學(xué)的數(shù)學(xué)家Emily Riehl使用了一個(gè)實(shí)驗(yàn)性的證明助理程序，將她之前與一位合著者發(fā)表的證明正式化。在一次驗(yàn)證結(jié)束時(shí)，她說，「我真的非常非常深入地理解了這個(gè)證明，比我以前理解的要深入得多。我想得很清楚，我可以向一臺(tái)非常愚蠢的計(jì)算機(jī)解釋?！?/p>

蠻力推理——但它是數(shù)學(xué)嗎？

卡內(nèi)基梅隆大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)家、亞馬遜學(xué)者M(jìn)arijn Heule使用的另一種自動(dòng)推理工具是他俗稱的「暴力推理」（brute reasoning）。他說，只要用精心設(shè)計(jì)的編碼來說明你想要找到哪個(gè)「奇異物體」，超級(jí)計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)就會(huì)在搜索空間中進(jìn)行攪動(dòng)，并確定該實(shí)體是否存在。

就在研討會(huì)之前，Heule博士和他的一位博士。學(xué)生Bernardo Subercaseaux最終解決了一個(gè)長期存在的50 TB文件問題的解決方案。然而，該文件與 Heule 博士及其合作者在2016年得出的結(jié)果幾乎沒有可比性：「200 TB的數(shù)學(xué)證明是有史以來最大的」，《Nature》雜志的一個(gè)標(biāo)題宣布。文章接著問，用這些工具解決問題是否真的算作數(shù)學(xué)。在Heule博士看來，這種方法是「解決人類無法解決的問題」所必需的。

另一組工具使用機(jī)器學(xué)習(xí)，它可以合成大量數(shù)據(jù)并檢測模式，但不擅長邏輯、逐步推理。谷歌的DeepMind設(shè)計(jì)了機(jī)器學(xué)習(xí)算法來解決蛋白質(zhì)折疊 (AlphaFold) 和國際象棋獲勝 (AlphaZero) 等問題。在2021年《Nature》雜志的一篇論文中，一個(gè)團(tuán)隊(duì)將他們的成果描述為「通過人工智能指導(dǎo)人類直覺來推進(jìn)數(shù)學(xué)發(fā)展」。

前谷歌計(jì)算機(jī)科學(xué)家、現(xiàn)在在灣區(qū)創(chuàng)業(yè)的Yuhuai 「Tony」 Wu概述了一個(gè)更宏偉的機(jī)器學(xué)習(xí)目標(biāo)：「解決數(shù)學(xué)問題」。在谷歌，Wu博士探索了支持聊天機(jī)器人的大型語言模型如何幫助數(shù)學(xué)。該團(tuán)隊(duì)使用的模型經(jīng)過互聯(lián)網(wǎng)數(shù)據(jù)訓(xùn)練，然后使用數(shù)學(xué)和科學(xué)論文的在線存檔等富含數(shù)學(xué)的大型數(shù)據(jù)集進(jìn)行微調(diào)。Wu博士在研討會(huì)上說，當(dāng)用日常英語要求解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，這個(gè)名為Minerva的專門聊天機(jī)器人「非常擅長模仿人類」。該模型在高中數(shù)學(xué)考試中獲得的成績優(yōu)于16歲學(xué)生的平均成績。

Wu博士說，最終，他設(shè)想了一位「自動(dòng)化數(shù)學(xué)家」，具有「自行解決數(shù)學(xué)定理的能力」。

數(shù)學(xué)作為試金石

數(shù)學(xué)家們對這些干擾做出了不同程度的關(guān)注。

哥倫比亞大學(xué)的Michael Harris在他的「Silicon Reckoner」子堆棧中表達(dá)了疑慮。他對研究數(shù)學(xué)與科技和國防工業(yè)之間潛在的沖突目標(biāo)和價(jià)值觀感到困擾。

Harris博士對缺乏對人工智能更大影響的討論表示遺憾。數(shù)學(xué)研究，特別是「與正在進(jìn)行的非?；钴S的對話相比」，「除了數(shù)學(xué)之外，幾乎無處不在」。

DeepMind合作者、悉尼大學(xué)的Geordie Williamson在N.A.S. 發(fā)表了講話。聚集并鼓勵(lì)數(shù)學(xué)家和計(jì)算機(jī)科學(xué)家更多地參與此類對話。在洛杉磯的研討會(huì)上，他以改編自喬治·奧威爾1945年文章「You and the Atom Bomb」的一句話開始了自己的演講。Williamson博士說：「考慮到我們所有人在未來五年內(nèi)都可能受到深刻影響，深度學(xué)習(xí)并沒有引起像預(yù)期的那樣多的討論?！?/p>

Williamson博士認(rèn)為數(shù)學(xué)是機(jī)器學(xué)習(xí)能做什么或不能做什么的試金石。推理是數(shù)學(xué)過程的精髓，也是機(jī)器學(xué)習(xí)中尚未解決的關(guān)鍵問題。

Williamson博士在接受采訪時(shí)表示，在與DeepMind合作的早期，該團(tuán)隊(duì)發(fā)現(xiàn)了一個(gè)簡單的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，它可以預(yù)測「我非常關(guān)心的數(shù)學(xué)量」，而且它的預(yù)測「準(zhǔn)確得可笑」。Williamson博士努力想要理解其中的原因——這將成為一個(gè)定理的基礎(chǔ)——但是卻無法理解。DeepMind的任何人都做不到。就像古代幾何學(xué)家歐幾里得一樣，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)以某種方式直觀地辨別出了數(shù)學(xué)真理，但其邏輯「原因」卻遠(yuǎn)非顯而易見。

在洛杉磯研討會(huì)上，一個(gè)突出的主題是如何將直覺和邏輯結(jié)合起來。如果人工智能能同時(shí)做到這兩件事，一切都將迎刃而解。

但是，Williamson博士觀察到，人們很少有動(dòng)力去理解機(jī)器學(xué)習(xí)所呈現(xiàn)的黑匣子。他說：「這是科技界的黑客文化，如果它在大部分時(shí)間都有效，那就太好了?！沟@種情況讓數(shù)學(xué)家們感到不滿。

他補(bǔ)充說，試圖理解神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部發(fā)生的事情會(huì)引發(fā)「令人著迷的數(shù)學(xué)問題」，而尋找答案為數(shù)學(xué)家「為世界做出有意義的貢獻(xiàn)」提供了機(jī)會(huì)。