1.逆變器非線性

這里將逆變器非線性分為兩個(gè)部分來(lái)介紹。第一部分是管壓降帶來(lái)的非線性，第二部分是死區(qū)時(shí)間帶來(lái)非線性。

1.1 管壓降非線性

在逆變器中，各種器件并不是理想的特性。管壓降造成的非線性即開(kāi)關(guān)器件的導(dǎo)通壓降和反向并聯(lián)二極管的導(dǎo)通壓降造成的輸出電壓與指令電壓不一致的情況。以A相橋臂為例進(jìn)行分析。圖1是三相逆變器中A相橋臂輸出電流到電機(jī)繞組時(shí)的情況，定義此時(shí)電流為正方向。

在A相電流為正時(shí)，橋臂的導(dǎo)通有兩種情況，即A相橋臂上管導(dǎo)通（ Sa =1）和上管關(guān)斷（ Sa =0），分別如圖1（a）和圖1（b）所示。在圖1（a）中，上管導(dǎo)通（ Sa =1），此時(shí)電流從電源正極端經(jīng)過(guò)開(kāi)關(guān)管流向繞組，經(jīng)過(guò)開(kāi)關(guān)管S1時(shí)壓降為 Vce 。

因此電流為正上管導(dǎo)通時(shí)a點(diǎn)電壓為Va0 = Vdc /2- Vce 。類似的，在圖1（b）中，上管關(guān)閉（ Sa =0），此時(shí)電流從電源負(fù)極端經(jīng)過(guò)反并聯(lián)二極管向繞組續(xù)流，經(jīng)過(guò)S1旁二極管時(shí)壓降為- Vd 。因此上管關(guān)閉時(shí)a點(diǎn)電壓為Va0 =- Vdc /2- Vd 。

圖1 A相電流為正時(shí)的非線性分析

圖2 A相電流為負(fù)時(shí)的非線性分析

圖2是電流為負(fù)時(shí)的情況。與電流為正時(shí)的理論一致，可以得出當(dāng) Sa =1時(shí)，Va0 = Vdc /2+ Vd ；當(dāng) Sa =0時(shí)，Va0 =- Vdc /2+ Vce 。

總結(jié)以上四種情況，可以得到表1所示的A相端電壓的公式。

表1 逆變器非線性端電壓計(jì)算

由于功率器件的管壓降中除了導(dǎo)通特性，還有一部分是電阻性壓降，因此，開(kāi)關(guān)器件和二極管的壓降通?？梢员硎緸?/p>

（式1）

其中，Vce0和Vd0是功率器件的閾值電壓，rce和rd是功率器件的等效電阻。

從而，A相端電壓可以表示為 （式2）

需要注意的是，在表1的公式中，只考慮了管壓降造成的非線性。在下一節(jié)，將對(duì)死區(qū)時(shí)間造成的非線性進(jìn)行討論。

1.2 死區(qū)時(shí)間非線性

圖3表示了在PWM調(diào)制過(guò)程中，參考導(dǎo)通時(shí)間和實(shí)際導(dǎo)通時(shí)間的關(guān)系。圖3（a）中是通過(guò)參考電壓計(jì)算出的參考導(dǎo)通時(shí)間。由于開(kāi)關(guān)管并不是理想的開(kāi)關(guān)器件，導(dǎo)通和關(guān)斷動(dòng)作都有延遲。為了防止同一個(gè)橋臂的上下管同時(shí)導(dǎo)通，需要設(shè)置死區(qū)時(shí)間來(lái)避免同一橋臂上下管同時(shí)處于導(dǎo)通或者關(guān)閉過(guò)程，如圖3（b）所示，為了避免下管未完全關(guān)閉時(shí)上管導(dǎo)通或者上管未完全關(guān)閉時(shí)下管導(dǎo)通，所以設(shè)置死區(qū)時(shí)間Tdead來(lái)避免兩個(gè)開(kāi)關(guān)管同時(shí)導(dǎo)通。

假設(shè)A相橋臂上管導(dǎo)通時(shí)間應(yīng)該是 Ta_ref ，那經(jīng)過(guò)死區(qū)時(shí)間調(diào)節(jié)后，導(dǎo)通時(shí)間變?yōu)榱?Ta_ref - Tdead 。另外，將圖3（b）的PWM信號(hào)施加到開(kāi)關(guān)管上時(shí)，正如前面所提到的，由于開(kāi)關(guān)管的導(dǎo)通和關(guān)閉過(guò)程并不是理想的，導(dǎo)通和關(guān)斷的延遲時(shí)間分別為Ton和 Toff 。

圖3 考慮死區(qū)時(shí)間的開(kāi)關(guān)時(shí)序

最終，結(jié)合圖3（c）以及圖1（a）所示，當(dāng)電流為正時(shí)，A相上管的實(shí)際導(dǎo)通時(shí)間為

（式3）

同理，結(jié)合圖3（c）以及圖2（b）所示，當(dāng)電流為負(fù)時(shí)，A相下管的實(shí)際導(dǎo)通時(shí)間為

（式4）

綜上可得

（式5）

（式6）

另外，B相和C相的端電壓計(jì)算公式為

（式7）

（式8）

1.3 相電壓計(jì)算

前面分析了考慮管壓降和死區(qū)時(shí)間的非線性三相端電壓的計(jì)算。如圖所示，端電壓推導(dǎo)的是abc點(diǎn)到0點(diǎn)的電壓。但是在實(shí)際分析中，我們需要的是相電壓，即abc點(diǎn)分別到N點(diǎn)的電壓。因此，上一節(jié)的分析結(jié)果還需要進(jìn)一步推導(dǎo)。

圖4 三相逆變器示意圖

根據(jù)圖4可知

（式9）

而

（式10）

聯(lián)立（式9）和（式10）可得三相電壓的計(jì)算公式為

（式11）

更進(jìn)一步的，聯(lián)立（式6）、（式7）和（式11）可得非線性相電壓的表達(dá)式是

（式12）

從（式11）也可以得到不考慮非線性的相電壓的表達(dá)式（理想相電壓）為

（式13）

以A相為例，聯(lián)立（式12）和式（13），可以得到功率器件管壓降和死區(qū)效應(yīng)對(duì)相電壓造成的非線性誤差為

（式14）

其中 （式15）

同理，B和C相也可以推導(dǎo)出來(lái)，總結(jié)三相非線性電壓誤差的表達(dá)式為

（式16）

對(duì)（式16）進(jìn)行Park變換，可以得到dq軸電壓的誤差公式。

（式17）

在開(kāi)始下一節(jié)之前，需要解釋的是，這里沒(méi)有考慮直流母線電壓的測(cè)量誤差。如果考慮這一點(diǎn)，公式會(huì)變得更多更復(fù)雜，但是增加這部分分析對(duì)本文的主旨幫助不大。因此，為了簡(jiǎn)化分析，假設(shè)母線電壓是準(zhǔn)確的。

2.非線性補(bǔ)償

通過(guò)分析和推導(dǎo)，在上一章得到了非線性相電壓及其誤差、dq軸誤差電壓的表達(dá)式（式17）。根據(jù)式17，可得到如圖5為dq軸誤差電壓的示意圖。在一個(gè)電周期中，dq軸誤差電壓波動(dòng)了6個(gè)周期。也就是說(shuō)dq軸誤差電壓的頻率是基頻的6倍。旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中6倍頻的波動(dòng)會(huì)在三相靜止坐標(biāo)系中造成5/7次波動(dòng)?；蛘哒f(shuō)是三相電壓中的5/7次諧波表現(xiàn)在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中是6倍頻的波動(dòng)。如果有對(duì)這個(gè)結(jié)論不明白的讀者，可以在下一章多級(jí)旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系理論中得到答案。

圖5 dq軸誤差電壓

如圖6（a）所示為非線性相電壓的波形，從相電壓波形中也可以明顯看到逆變器非線性對(duì)相電壓波形造成的影響。同時(shí)，對(duì)圖6（a）中的相電壓進(jìn)行諧波分析，如圖6（b）所示?？梢?jiàn)，5/7次諧波在相電壓中占主要因素，因此，逆變器非線性在相電流中帶來(lái)的諧波也是5/7次。

圖6 考慮逆變器非線性的相電壓波形（a）相電壓（b）諧波分析

圖7 dq軸非線性電壓對(duì)比

如圖7為使用仿真得到的考慮非線性因素之后的相電流波形與之對(duì)應(yīng)的諧波分析。可見(jiàn)兩者比較接近。

圖8 相電流及其諧波分析

如圖8為考慮逆變器非線性因素后的相電流波形及其諧波分析，可以看到，5/7次諧波是主要諧波分量。THD為14.33%。

針對(duì)逆變器非線性造成的低頻諧波，最直接的方法是利用前面推導(dǎo)得到的誤差電壓對(duì)指令電壓進(jìn)行補(bǔ)償。圖9為非線性電壓補(bǔ)償?shù)目驁D。根據(jù)計(jì)算的非線性dq軸電壓，在電流環(huán)輸出的參考電壓后進(jìn)行補(bǔ)償。

圖9 非線性電壓補(bǔ)償

圖10為對(duì)電壓進(jìn)行補(bǔ)償前后，相電流及其諧波分析。在紅色點(diǎn)線時(shí)刻進(jìn)行非線性電壓補(bǔ)償，補(bǔ)償之前，相電流的THD為14.33%，補(bǔ)償之后THD降為6.63%?？梢?jiàn)非線性電壓補(bǔ)償具有明顯的電流諧波抑制效果。

圖10 非線性電壓補(bǔ)償前后電流波形及其諧波分析

當(dāng)諧波含量較少時(shí)，逆變器非線性補(bǔ)償可以將諧波抑制。但是在諧波含量較高的情況下，由于相電流在過(guò)零點(diǎn)處有抖動(dòng)，造成計(jì)算出的非線性電壓誤差抖動(dòng)增大。這部分抖動(dòng)會(huì)在環(huán)路中對(duì)電流諧波造成一定影響，達(dá)不到補(bǔ)償非線性電壓的目的。

3.指定諧波次數(shù)抑制

指定諧波次數(shù)抑制法是一種簡(jiǎn)單有效的諧波抑制方法。三相電流的k次諧波表達(dá)式為：

（18）

式中， iak 、 ibk 、ick分別表示三相對(duì)稱PMSM的ABC相的k次諧波電流；Im表示k次諧波電流的幅值；φk表示相對(duì)應(yīng)的諧波電流的初始位置。

很明顯， iak 、 ibk 、ick三者之間的相序會(huì)隨著k取值的不同而不同：當(dāng)k取值為 k =3 n +1（ n =1,2…）時(shí)，iak超前ibk2π/3且滯后ick2π/3，相序和基波一樣，稱為正序諧波電流；當(dāng)k取值為 k =3 n -1（ n =1,2…）時(shí)，iak滯后ibk 2π/3且超前ick2π/3，相序和基波一樣，稱為負(fù)序諧波電流；當(dāng)k取值為 k =3 n （ n =1,2…）時(shí)，iak 、 ibk 、ick幅值相等，相位一致，稱之為零序電流。以5/7次諧波為例進(jìn)行分析。由前面分析可知：相電流中的5次諧波是負(fù)序的，7次諧波是正序的。此時(shí)，ABC三相電流可以表示為：

（19）

式中，Im1表示基波幅值；Im5 、θ5表示5次諧波的幅值和初始時(shí)刻的相位；Im7 、θ7分別代表7次諧波的幅值和初始時(shí)刻的相位。

以5次諧波分量為例。從ABC坐標(biāo)軸系下變換到5次d-q坐標(biāo)軸系下的變換矩陣為：

（20）

從5次到基波的dq變換矩陣為：

（21）

從基波到5次的dq矩陣為：

（22）

因此，在5次旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下，5次諧波電流的d-q分量以直流分量的形式呈現(xiàn)，基波和7次諧波以交流分量的形式呈現(xiàn)。

（23）

然后，對(duì)需要抑制的諧波分別建立電流環(huán)，并設(shè)置給定值為0。最后，將各個(gè)次數(shù)電流環(huán)產(chǎn)生的電壓信號(hào)在靜止坐標(biāo)系中與基波相疊加，即可以達(dá)到對(duì)電壓進(jìn)行補(bǔ)償，達(dá)到諧波抑制的效果。指定次數(shù)諧波抑制控制系統(tǒng)的框圖如圖11所示。諧波抑制模塊框圖如圖12所示，圖12以5次諧波為例。ABC三相電流首先經(jīng)過(guò)5次dq變換，然后通過(guò)低通濾波器得到5次旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的dq電流，再與給定值進(jìn)行比較，從而調(diào)節(jié)該次諧波為0。變換后的電壓與基波電壓在靜止坐標(biāo)系中疊加，作為補(bǔ)償電壓。

圖11 控制系統(tǒng)框圖

圖12 諧波抑制補(bǔ)償電壓計(jì)算

指定諧波抑制法介入控制系統(tǒng)前后電流波形如圖13所示。同樣的，在紅色點(diǎn)線時(shí)刻開(kāi)始進(jìn)行諧波抑制。諧波抑制之前，相電流的THD為14.33%，補(bǔ)償之后THD降為4.18%?？梢?jiàn)非線性電壓補(bǔ)償具有明顯的電流諧波抑制效果。但是，由于低通濾波器的延遲效應(yīng)，該方法需要幾個(gè)電周期來(lái)進(jìn)行調(diào)整。

圖13 相電流及其諧波分析

4.比例-積分-諧振控制器

傳統(tǒng)的電流控制器使用PI控制器。由于直流信號(hào)中低頻分量占主要部分，因此PI控制器對(duì)于直流信號(hào)有較好的控制效果。通過(guò)前面的分析可知，逆變器非線性對(duì)于dq軸電壓造成的波動(dòng)頻率為基頻的6倍。通常電機(jī)電流環(huán)的帶寬只有幾百Hz級(jí)別，6倍頻的情況下，dq軸電壓波動(dòng)頻率會(huì)達(dá)到kHz以上。PI控制器對(duì)逆變器非線性帶來(lái)的波動(dòng)是無(wú)能為力的。

在這種情況下，可以使用比例積分諧振（PIR）控制器。PIR控制器即在PI的基礎(chǔ)上并聯(lián)了一個(gè)諧振單元。諧振單元可以在dq軸電壓波動(dòng)頻率處提供較大的增益，從而提高電流控制器對(duì)于交流信號(hào)的控制能力。PIR控制器的傳遞函數(shù)如下。

（24）

式中，Kp是比例系數(shù)，Ki是積分系數(shù)，Kr是諧振系數(shù)，ωc是諧振帶寬，ω0是諧振頻率。

考慮永磁同步電機(jī)的等效傳遞函數(shù)為

（25）

式中，Ls是定子電感，Rs是定子電阻。

則可以得到使用PI控制器和PIR控制器時(shí)的電流環(huán)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)分別為式（26）和式（27），考慮逆變器和采樣計(jì)算等造成的延遲時(shí)間為 Td 。

（26）

（27）

使用PI和PIR控制器時(shí)電流環(huán)開(kāi)環(huán)傳函的頻率響應(yīng)如圖14所示。其中紅色曲線為PIR控制下的bode圖，黑色為PI控制下的bode圖。從bode圖中可以看出PI的增益穿越頻率為100Hz，而PIR在100Hz處也穿越了0dB。但是，由于諧振單元的作用，PIR電流環(huán)的增益在180Hz（諧振頻率）增益顯著升高且保持了45度左右的相位裕度。與之對(duì)應(yīng)的，PI電流環(huán)的增益在180Hz時(shí)已經(jīng)為-6dB。圖15為PIR諧波抑制方法的控制框圖。

圖14 兩種控制器頻率響應(yīng)對(duì)比

圖15 PIR諧波抑制框圖

比例積分諧振諧波抑制法介入控制系統(tǒng)前后電流波形如圖16所示。在紅色點(diǎn)線時(shí)刻開(kāi)始進(jìn)行諧波抑制。諧波抑制之前，相電流的THD為14.33%，補(bǔ)償之后THD降為4.53%?？梢?jiàn)非線性電壓補(bǔ)償具有顯著的電流諧波抑制效果。但是，該方法參數(shù)設(shè)置較困難，容易在動(dòng)態(tài)時(shí)出現(xiàn)系統(tǒng)不穩(wěn)定的情況。

圖16 PIR諧波抑制框圖