一、簡介

1、常見的浮點(diǎn)數(shù)表示方式是IEEE 754標(biāo)準(zhǔn)，它規(guī)定了浮點(diǎn)數(shù)的存儲(chǔ)格式和運(yùn)算規(guī)則，這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)定義了兩種浮點(diǎn)數(shù)表示：單精度和雙精度。

2、任何一個(gè)浮點(diǎn)數(shù)的二進(jìn)制數(shù)可以寫為：NUM = (-1) ^ S* 2 ^ E * M 。以float32類型舉例：

2.1、S表示符號：S為0時(shí)表示一個(gè)正數(shù)；當(dāng)S為1時(shí)表示一個(gè)負(fù)數(shù)

2.2、E表示階乘、指數(shù)：E是一個(gè)無符號整數(shù)，所以E的取值范圍為（0~ 255）。但是在計(jì)數(shù)中指數(shù)是可以為負(fù)的，所以規(guī)定在存入E時(shí)，在它原本的值上加上中間數(shù)（127），在使用時(shí)減去中間數(shù)（127），這樣E的真正取值范圍就成了（-127~128）。對于E還分為以下三種情況：

（1）E不全為0，不全為1：這時(shí)就用正常的計(jì)算規(guī)則，E的真實(shí)值就是E的字面值減去127（中間值)，M的值要加上最前面的省去的1

（2）E全為0：這時(shí)指數(shù)E等于1-127為真實(shí)值，M不再加上舍去的1，而是還原為0.xxxxxxxx小數(shù)。這樣為了表示0，和一些很小的整數(shù)。

（3）E全為1時(shí)分三種浮點(diǎn)數(shù)特殊情況：M全為0時(shí)，±無窮大（取決于符號位）；M為非全0時(shí)，表示NaN。

2.3、M表示有效數(shù)字、尾數(shù)：規(guī)定M的值一定是1 <= M < 2，可以寫成1.xxxxxxx的形式，所以規(guī)定M在存儲(chǔ)時(shí)舍去第一個(gè)1，只存儲(chǔ)小數(shù)點(diǎn)之后的數(shù)字。這樣做節(jié)省了空間，以float類型為例，就可以保存23位小數(shù)信息，加上舍去的1就可以用23位來表示24個(gè)有效的信息

3、單精度（32位）：符號位（1 bit）、指數(shù)位（8 bits）、尾數(shù)位（23 bits）

4、雙精度（64位）：符號位（1 bit）、指數(shù)位（11 bits）、尾數(shù)位（52 bits）

5、存儲(chǔ)格式：以float32的浮點(diǎn)數(shù)舉例如下圖

二、十轉(zhuǎn)二進(jìn)制

1、以float32浮點(diǎn)數(shù)和23.375浮點(diǎn)數(shù)舉例

2、整數(shù)轉(zhuǎn)換方式：對2取余

3、小數(shù)轉(zhuǎn)換方式：對小數(shù)進(jìn)行2乘留整再對小數(shù)2乘直至為小數(shù)部分為0

4、合并整數(shù)和小數(shù)部分：10111 和小數(shù)部分 0.011 得到二進(jìn)制浮點(diǎn)數(shù) 10111.011

5、規(guī)范化和指數(shù)表示6、最終，將符號位、指數(shù)和尾數(shù)合并，得到IEEE 754標(biāo)準(zhǔn)的二進(jìn)制浮點(diǎn)數(shù)表示為：

三、二轉(zhuǎn)十進(jìn)制

1、以上面的23.375浮點(diǎn)數(shù)的轉(zhuǎn)換結(jié)果0 10000011 01110110000000000000000舉例
2、主要是這個(gè)公式：NUM = (-1) ^ S * 2 ^ E * M，分三步第一步：(-1) ^ S第二步：2 ^ E第三步：M3、符號位 (-1) ^ S：（-1）^04、指數(shù)位 2 ^ E ：將二進(jìn)制轉(zhuǎn)十進(jìn)制為131，然后減去偏移值127，得到5、那么這里就是 2 ^ 46、M：分兩步

1. 先轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制浮點(diǎn)數(shù)，根據(jù)E不全為0或1的規(guī)則得到：1.01110110000000000000000
2. 再用2的階乘的方式轉(zhuǎn)換為浮點(diǎn)數(shù)，如下：

四、誤差

1、如下代碼展示

2、原因：在計(jì)算機(jī)中，由于浮點(diǎn)數(shù)的表示方式是有限的，有些十進(jìn)制小數(shù)無法精確表示為二進(jìn)制浮點(diǎn)數(shù)。這導(dǎo)致在進(jìn)行浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算時(shí)可能出現(xiàn)舍入誤差，進(jìn)而導(dǎo)致預(yù)期的結(jié)果和實(shí)際的二進(jìn)制浮點(diǎn)數(shù)表示的結(jié)果不完全相等。

3、將0.1轉(zhuǎn)為二進(jìn)制

4、這個(gè)過程會(huì)一直持續(xù)下去，因?yàn)?0.1 在二進(jìn)制中是一個(gè)無限循環(huán)小數(shù)。

5、將-0.1轉(zhuǎn)為二進(jìn)制

6、首先，-0.1 可以表示為二進(jìn)制的補(bǔ)碼形式。如果我們考慮一個(gè)32位的單精度浮點(diǎn)數(shù)，其符號位為1，指數(shù)位為127（偏移值），尾數(shù)部分為 0.00011001100110011001100...（重復(fù)的 1100 模式）。

7、進(jìn)行加法操作

8、這個(gè)結(jié)果實(shí)際上是一個(gè)無限循環(huán)的二進(jìn)制小數(shù)。由于計(jì)算機(jī)內(nèi)存是有限的，最終只能存儲(chǔ)一個(gè)有限位數(shù)的二進(jìn)制小數(shù)，因此可能會(huì)進(jìn)行截?cái)嗷蛏崛氩僮?，?dǎo)致精度損失。

9、在實(shí)際計(jì)算機(jī)系統(tǒng)中，這種舍入誤差可能會(huì)導(dǎo)致結(jié)果不等于精確的零，因?yàn)槲覀儾荒芫_地表示無限循環(huán)小數(shù)。這就是為什么在計(jì)算機(jī)編程中進(jìn)行浮點(diǎn)數(shù)比較時(shí)，通常使用一個(gè)小的誤差范圍而不是直接比較相等。

10、改進(jìn)方式