K-MEANS算法

K-MEANS算法是輸入聚類個數(shù)k，以及包含 n個數(shù)據(jù)對象的數(shù)據(jù)庫，輸出滿足方差最小標(biāo)準(zhǔn)k個聚類的一種算法。k-means 算法接受輸入量 k ；然后將n個數(shù)據(jù)對象劃分為 k個聚類以便使得所獲得的聚類滿足：同一聚類中的對象相似度較高；而不同聚類中的對象相似度較小。

聚類相似度是利用各聚類中對象的均值所獲得一個“中心對象”（引力中心）來進行計算的。

K-Means聚類算法原理

K-Means算法是無監(jiān)督的聚類算法，它實現(xiàn)起來比較簡單，聚類效果也不錯，因此應(yīng)用很廣泛。K-Means算法有大量的變體，本文就從最傳統(tǒng)的K-Means算法講起，在其基礎(chǔ)上講述K-Means的優(yōu)化變體方法。包括初始化優(yōu)化K-Means++， 距離計算優(yōu)化elkan K-Means算法和大數(shù)據(jù)情況下的優(yōu)化Mini Batch K-Means算法。

1. K-Means原理初探

K-Means算法的思想很簡單，對于給定的樣本集，按照樣本之間的距離大小，將樣本集劃分為K個簇。讓簇內(nèi)的點盡量緊密的連在一起，而讓簇間的距離盡量的大。

如果用數(shù)據(jù)表達式表示，假設(shè)簇劃分之間的隨機數(shù)為（C1，C2，。。.Ck），則我們的目標(biāo)是最小化平方誤差E：

E=∑i=1k∑x∈Ci||x?μi||22E=∑i=1k∑x∈Ci||x?μi||22

其中μi是簇Ci的均值向量，有時也稱為質(zhì)心，表達式為：

μi=1|Ci|∑x∈Cixμi=1|Ci|∑x∈Cix

如果我們想直接求上式的最小值并不容易，這是一個NP難的問題，因此只能采用啟發(fā)式的迭代方法。K-Means采用的啟發(fā)式方式很簡單，用下面一組圖就可以形象的描述。

上圖a表達了初始的數(shù)據(jù)集，假設(shè)k=2。在圖b中，我們隨機選擇了兩個k類所對應(yīng)的類別質(zhì)心，即圖中的紅色質(zhì)心和藍色質(zhì)心，然后分別求樣本中所有點到這兩個質(zhì)心的距離，并標(biāo)記每個樣本的類別為和該樣本距離最小的質(zhì)心的類別，如圖c所示，經(jīng)過計算樣本和紅色質(zhì)心和藍色質(zhì)心的距離，我們得到了所有樣本點的第一輪迭代后的類別。此時我們對我們當(dāng)前標(biāo)記為紅色和藍色的點分別求其新的質(zhì)心，如圖4所示，新的紅色質(zhì)心和藍色質(zhì)心的位置已經(jīng)發(fā)生了變動。圖e和圖f重復(fù)了我們在圖c和圖d的過程，即將所有點的類別標(biāo)記為距離最近的質(zhì)心的類別并求新的質(zhì)心。最終我們得到的兩個類別如圖f。當(dāng)然在實際K-Mean算法中，我們一般會多次運行圖c和圖d，才能達到最終的比較優(yōu)的類別。

讀者可以通過下面這個動態(tài)圖來形象的了解算法的實現(xiàn)過程

在上一節(jié)我們對K-Means的原理做了初步的探討，這里我們對K-Means的算法做一個總結(jié)。

首先我們看看K-Means算法的一些要點。

1）對于K-Means算法，首先要注意的是k值的選擇，一般來說，我們會根據(jù)對數(shù)據(jù)的先驗經(jīng)驗選擇一個合適的k值，如果沒有什么先驗知識，則可以通過交叉驗證選擇一個合適的k值。

2）在確定了k的個數(shù)后，我們需要選擇k個初始化的質(zhì)心，就像上圖b中的隨機質(zhì)心。由于我們是啟發(fā)式方法，k個初始化的質(zhì)心的位置選擇對最后的聚類結(jié)果和運行時間都有很大的影響，因此需要選擇合適的k個質(zhì)心，最好這些質(zhì)心不能太近。

好了，現(xiàn)在我們來總結(jié)下傳統(tǒng)的K-Means算法流程。

輸入是樣本集D={x1，x2，。..xm}D={x1，x2，。..xm}，聚類的簇樹k，最大迭代次數(shù)N

輸出是簇劃分C={C1，C2，。..Ck}C={C1，C2，。..Ck}

1） 從數(shù)據(jù)集D中隨機選擇k個樣本作為初始的k個質(zhì)心向量： {μ1，μ2，。..，μk}{μ1，μ2，。..，μk}

2）對于n=1，2，。..，N

a） 將簇劃分C初始化為Ct=?t=1，2.。.kCt=?t=1，2.。.k

b） 對于i=1，2.。.m，計算樣本xixi和各個質(zhì)心向量μj（j=1，2，。..k）μj（j=1，2，。..k）的距離：dij=||xi?μj||22dij=||xi?μj||22，將xixi標(biāo)記最小的為dijdij所對應(yīng)的類別λiλi。此時更新Cλi=Cλi∪{xi}Cλi=Cλi∪{xi}

c） 對于j=1，2，。..，k，對CjCj中所有的樣本點重新計算新的質(zhì)心μj=1|Cj|∑x∈Cjxμj=1|Cj|∑x∈Cjx

e） 如果所有的k個質(zhì)心向量都沒有發(fā)生變化，則轉(zhuǎn)到步驟3）

3） 輸出簇劃分C={C1，C2，。..Ck}C={C1，C2，。..Ck}

3. K-Means初始化優(yōu)化K-Means++

在上節(jié)我們提到，k個初始化的質(zhì)心的位置選擇對最后的聚類結(jié)果和運行時間都有很大的影響，因此需要選擇合適的k個質(zhì)心。如果僅僅是完全隨機的選擇，有可能導(dǎo)致算法收斂很慢。K-Means++算法就是對K-Means隨機初始化質(zhì)心的方法的優(yōu)化。

關(guān)于這里，原作者博客寫的有點兒含糊，網(wǎng)上有幾篇博客寫的不是很清楚，這里把他們總結(jié)在一起，特別對有問題的地方用紅色字體解釋和說明：

k-means++算法選擇初始seeds的基本思想就是：初始的聚類中心之間的相互距離要盡可能的遠。wiki上對該算法的描述是如下：

1，從輸入的數(shù)據(jù)點集合中隨機選擇一個點作為第一個聚類中心

2，對于數(shù)據(jù)集中的每一個點x，計算它與最近聚類中心（指已選擇的聚類中心）的距離D（x）

3，選擇一個新的數(shù)據(jù)點作為新的聚類中心，選擇的原則是：D（x）較大的點，被選取作為聚類中心的概率較大

4，重復(fù)2和3直到k個聚類中心被選出來

5，利用這k個初始的聚類中心來運行標(biāo)準(zhǔn)的k-means算法

從上面的算法描述上可以看到，算法的關(guān)鍵是第3步，如何將D（x）反映到點被選擇的概率上，一種算法如下：

1，先從我們的數(shù)據(jù)庫隨機挑個隨機點當(dāng)“種子點”

2，對于每個點，我們都計算其和最近的一個“種子點”的距離D（x）并保存在一個數(shù)組里，然后把這些距離加起來得到Sum（D（x））。

3，然后，再取一個隨機值，用權(quán)重的方式來取下一個“種子點”。

這個算法的實現(xiàn)是：先取一個能落在Sum（D（x））中的隨機值Random，然后用Random -= D（x），直到，Random《=0（注意，這個式子的意思是：在剛才保存的那個數(shù)組里，我們從頭開始遍歷每一個元素的D（x），直到減掉的Random小于0，此時停止），此時的點就是下一個“種子點”。

4，重復(fù)2和3直到k個聚類中心被選出來

5，利用這k個初始的聚類中心來運行標(biāo)準(zhǔn)的k-means算法

可以看到算法的第三步選取新中心的方法，這樣就能保證距離D（x）較大的點，會被選出來作為聚類中心了。至于為什么原因很簡單，如下圖 所示：

假設(shè)A、B、C、D的D（x）如上圖所示，當(dāng)算法取值Sum（D（x））*random（原作者博客里這樣寫是因為在編程語言中，random函數(shù)產(chǎn)生的是0-1之間的 隨機數(shù)，所以他用Sum（D（x））*random來表示隨機生成一個位于［0-Sum（D（x））］之間的隨機數(shù)），該值會以較大的概率落入D（x）較大的區(qū)間內(nèi)，所以對應(yīng)的點會以較大的概率被選中作為新的聚類中心。

4. K-Means距離計算優(yōu)化elkan K-Means

在傳統(tǒng)的K-Means算法中，我們在每輪迭代時，要計算所有的樣本點到所有的質(zhì)心的距離，這樣會比較的耗時。那么，對于距離的計算有沒有能夠簡化的地方呢？elkan K-Means算法就是從這塊入手加以改進。它的目標(biāo)是減少不必要的距離的計算。那么哪些距離不需要計算呢？elkan K-Means利用了兩邊之和大于等于第三邊，以及兩邊之差小于第三邊的三角形性質(zhì)，來減少距離的計算。

第一種規(guī)律是對于一個樣本點x和兩個質(zhì)心μj1，μj2。如果我們預(yù)先計算出了這兩個質(zhì)心之間的距離D（j1，j2），則如果計算發(fā)現(xiàn)2D（x，j1）≤D（j1，j2），我們立即就可以知道

D（x，j1）≤D（x，j2）。此時我們不需要再計算D（x，j2），也就是說省了一步距離計算。

第二種規(guī)律是對于一個樣本點xx和兩個質(zhì)心μj1，μj2。我們可以得到D（x，j2）≥max{0，D（x，j1）?D（j1，j2）}這個從三角形的性質(zhì)也很容易得到。

利用上邊的兩個規(guī)律，elkan K-Means比起傳統(tǒng)的K-Means迭代速度有很大的提高。但是如果我們的樣本的特征是稀疏的，有缺失值的話，這個方法就不使用了，此時某些距離無法計算，則不能使用該算法。

5. 大樣本優(yōu)化Mini Batch K-Means

在傳統(tǒng)的K-Means算法中，要計算所有的樣本點到所有的質(zhì)心的距離。如果樣本量非常大，比如達到10萬以上，特征有100以上，此時用傳統(tǒng)的K-Means算法非常的耗時，就算加上elkan K-Means優(yōu)化也依舊。在大數(shù)據(jù)時代，這樣的場景越來越多。此時Mini Batch K-Means應(yīng)運而生。

顧名思義，Mini Batch，也就是用樣本集中的一部分的樣本來做傳統(tǒng)的K-Means，這樣可以避免樣本量太大時的計算難題，算法收斂速度大大加快。當(dāng)然此時的代價就是我們的聚類的精確度也會有一些降低。一般來說這個降低的幅度在可以接受的范圍之內(nèi)。

在Mini Batch K-Means中，我們會選擇一個合適的批樣本大小batch size，我們僅僅用batch size個樣本來做K-Means聚類。那么這batch size個樣本怎么來的？一般是通過無放回的隨機采樣得到的。

為了增加算法的準(zhǔn)確性，我們一般會多跑幾次Mini Batch K-Means算法，用得到不同的隨機采樣集來得到聚類簇，選擇其中最優(yōu)的聚類簇。

6. K-Means（K-近鄰學(xué)習(xí)）與KNN（k-近鄰估計）

初學(xué)者很容易把K-Means和KNN搞混，兩者其實差別還是很大的。

K-Means是無監(jiān)督學(xué)習(xí)的聚類算法，沒有樣本輸出；而KNN是監(jiān)督學(xué)習(xí)的分類算法，有對應(yīng)的類別輸出。KNN基本不需要訓(xùn)練，對測試集里面的點，只需要找到在訓(xùn)練集中最近的k個點，用這最近的k個點的類別來決定測試點的類別。而K-Means則有明顯的訓(xùn)練過程，找到k個類別的最佳質(zhì)心，從而決定樣本的簇類別。

當(dāng)然，兩者也有一些相似點，兩個算法都包含一個過程，即找出和某一個點最近的點。兩者都利用了最近鄰（nearest neighbors）的思想。

7. K-Means小結(jié)

K-Means是個簡單實用的聚類算法，這里對K-Means的優(yōu)缺點做一個總結(jié)。

K-Means的主要優(yōu)點有：

1）原理比較簡單，實現(xiàn)也是很容易，收斂速度快。

2）聚類效果較優(yōu)。

3）算法的可解釋度比較強。

4）主要需要調(diào)參的參數(shù)僅僅是簇數(shù)k。

K-Means的主要缺點有：

1）K值的選取不好把握

2）對于不是凸的數(shù)據(jù)集比較難收斂

3）如果各隱含類別的數(shù)據(jù)不平衡，比如各隱含類別的數(shù)據(jù)量嚴重失衡，或者各隱含類別的方差不同，則聚類效果不佳。

4） 采用迭代方法，得到的結(jié)果只是局部最優(yōu)。

5） 對噪音和異常點比較的敏感。

k-means聚類算法的應(yīng)用

聚類就是按照一定的標(biāo)準(zhǔn)將事物進行區(qū)分和分類的過程，該過程是無監(jiān)督的，即事先并不知道關(guān)于類分的任何知識。聚類分析又稱為數(shù)據(jù)分割，它是指應(yīng)用數(shù)學(xué)的方法研究和處理給定對象的分類，使得每個組內(nèi)部對象之間的相關(guān)性比其他對象之間的相關(guān)性高，組間的相異性較高。

聚類算法被用于許多知識領(lǐng)域，這些領(lǐng)域通常要求找出特定數(shù)據(jù)中的“自然關(guān)聯(lián)”。自然關(guān)聯(lián)的定義取決于不同的領(lǐng)域和特定的應(yīng)用，可以具有多種形式。典型的應(yīng)用例如：

1. 商務(wù)上，幫助市場分析人員從客戶基本資料庫中發(fā)現(xiàn)不同的客戶群，并用購買模式來刻畫不同客戶群的特征；

2. 聚類分析是細分市場的有效工具，同時也可用于研究消費者行為，尋找新的潛在市場、選擇實驗的市場，并作為多元分析的預(yù)處理。

3. 生物學(xué)上，用于推導(dǎo)植物和動物的分類，對基因進行分類，獲得對種群固有結(jié)構(gòu)的認識；

4. 地理信息方面，在地球觀測數(shù)據(jù)庫中相似區(qū)域的確定、汽車保險單持有者的分組，及根據(jù)房子的類型、價值和地理位置對一個城市中房屋的分組上可以發(fā)揮作用；

5. 聚類也能用于在網(wǎng)上進行文檔歸類來修復(fù)信息；

6. 在電子商務(wù)網(wǎng)站建設(shè)數(shù)據(jù)挖掘中的應(yīng)用，通過分組聚類出具有相似瀏覽行為的客戶，并分析客戶的共同特征，可以更好的幫助電子商務(wù)的用戶了解自己的客戶，向客戶提供更合適的服務(wù)。

7. 聚類分析可以作為其它數(shù)據(jù)挖掘算法的預(yù)處理步驟，便于這些算法在生成的簇上進行處理。