補碼就是正數(shù)的原碼的相反數(shù)的另一種編碼方式。它能把字長內的正數(shù)，補足為全是0。

補碼的意義：

現(xiàn)實生活中，我們有加法、減法、乘法和除法，但在計算機中只有一個加法器。換句話說，加法運算在計算機中可以直接完成，減法、乘法和除法運算最終也得轉換為加法才能實現(xiàn)，說到這里，可以有些初學者會想，為什么計算機中不設計一個類似于“加法器”的“減法器”或者“乘法器”的部件，主要原因是在生活中看似一些很簡單的東西要用電路來實現(xiàn)都很復雜、很困難的，再說如果用一個加法器可以實現(xiàn)其它運算，其它的“加法器”、“減法器”或者“乘法器”也就沒有必要了，這樣還能使電路的設計更簡單。好了，現(xiàn)在我簡要地說一下補碼在計算機中的意義，計算機不能直接做減法，必須把相應的減法變成加法，才能進行計算。然而我們發(fā)現(xiàn)，一個數(shù)減去另外一個數(shù)，與一個數(shù)加上“另外一個數(shù)的補碼”結果是一樣的。這就是補碼對于計算機的意義：將減法運算變成了加法運算。

補碼有什么用？

正數(shù)的補碼，就是基本身

負數(shù)的補碼，就是原碼按位取反加1

符號位，就是最高位，最左面的第一位；其它位，就是剩下的7位

由于運算器進行加法是最快的，因此，使用補碼是為了加快計算

碼”和“數(shù)”是兩個東西。

我們平時說出或寫出某“數(shù)”，一般都是在十進制下，用10個不同的“碼”（此處的“碼”還和原碼補碼反碼的概念不同）來表示。分別是0~9。超過9，也就是比最大的碼還大的數(shù)，采用進位的方式來表示。于是有了“位”的概念。即個位，十位，百位等等。

表達負數(shù)的時候由于為了與算術和代數(shù)符號當中減號或作差相互兼容，就在該數(shù)前面加上減號。

這種對一個數(shù)的寫法也可以被名門為一種編碼方式。在這種編碼方式下每個數(shù)都有一定的“位數(shù)”，即“長度”。在計算機當中規(guī)定一定的位數(shù)稱作“字長”，比如4位，8位，16位，32位等等。只不過，計算機的物理存儲數(shù)據(jù)是二進制方式。我們人類目前傳統(tǒng)的還是比較喜歡用10進制方式。并且，我們人類一般不會在書寫數(shù)字的時候遇到“字長”的概念。但是在念數(shù)字和記錄數(shù)據(jù)的時候，有一點點東西跟字長相關。比如西方愛把數(shù)據(jù)分成三位一組三位一組的方式，覺得比較好記憶。比如12‘000讀成十二千，我們中國人愛以“萬”為字長，1’2000，讀作一萬二千。舉這個例子表示字長的概念不是很恰當。因為對人而言這只是一種表達習慣。但是對機器而言，“字長”則是計算的長度單位。設計計算機進行最簡單的加法運算，首先要考慮的就是加法器進行一次加法運算，位數(shù)是多長？加法器設計成多少位的加法器？等等。這就是計算機的字長。它和編碼方式一起，構成了計算機進行計算的基礎。

有了字長的概念才好說補碼。

在十進制下也有補碼的概念。插一句，談到補碼一定要先明確字長的長度。

補碼是用來表示負數(shù)的一種編碼方式。也是為了在計算機的核心加法器部分的設計避免減法操作，存儲數(shù)據(jù)的時候避免存儲負號。

舉個例子，假如我們模擬一個字長為4位的十進制計算機。（假設有某種機制，可以在1位上有10種穩(wěn)定的狀態(tài)）

對兩個數(shù)進行求和運算：1234 和 -1234

如果用原碼，那么我們需要用一個1位的寄存器來存儲和表示負號。假設就在4位的最左邊的最高位前用1表示負號，0表示正號。

則，原碼表示上面兩個數(shù)：

0 1234

1 1234

然后計算機做求和，做加法的過程中。計算機發(fā)現(xiàn)，其中有一個數(shù)是負數(shù)，于是要切換為兩個正數(shù)相減的模式來運算。這很不方便。

于是，補碼被想出來了。

-1234和正1234相加不是等于0000嗎？在4位的字長當中的數(shù)，和1234相加為0000的，是不是唯一的一個數(shù)哪？很明顯8766和1234相加等于1‘0000，后4位是0000。

那么，8766就可以看著是-1234的一種編碼表示方式，被稱作“補碼”。

所以，補碼就是把數(shù)1234在一個字長內，補足為1’0000的數(shù)的編碼方式。也就是一個正數(shù)的相反數(shù)，在計算機內的表達方式。

加上符號位，正數(shù)0‘1234的相反數(shù)的補碼表示就是1’8766。

十進制里，-1234的反碼就是1‘8765

所以，現(xiàn)在回到4位字長的2進制計算機里來看。補碼和反碼的構成方式是一樣的。0’0001的相反數(shù)是-1。

補碼表示1‘1111

反碼表示1’1110

補碼是誰發(fā)明的

誰發(fā)明的未知，但根據(jù)wikipedia上的說法，最初是馮諾依曼引入到計算機的。

很早以前，許多計算機的內部數(shù)值編碼是用的反碼，反碼這玩意有缺點： 它的值域內有-0和+0，一個數(shù)與它的補數(shù)相加為-0，這給運算帶來一些麻煩。

補碼就沒有這些問題，不但只有一個0，而且補碼的加減乘法都可以化簡為加法一種方式。 所以在計算機里補碼對簡化運算器有很大的作用。

補碼的回顧以及補碼發(fā)明的思路推演思考

補碼與求補運算的定義

N個二進制位，M=N-1

通過一種編碼映射。100.。.00 - 111.。.11 表示 （-2^M） - （-1） ; 000.。.00 - 011.。.11 表示 （0） - （2^M - 1）

對于編碼A的求補 f（A） = （2^N）- A

原碼轉化成補碼：

對于正數(shù)和零，原碼即是補碼

對于負數(shù)A，一般理解方法：

先做反碼，然后編碼意義上加1

求補運算的意義：

換言之，若要對一個數(shù)A求反，對那個數(shù)的補碼A1做一次求補運算f（A1），所求的補碼B1就是原來數(shù)A的相反數(shù)B的補碼。

這里提供原碼轉化成補碼另外一個理解方法

對于求負數(shù)A的補碼

本質上，負數(shù)A的相反數(shù)B，B是正數(shù)，B的原碼B1就是B的補碼，A的補碼就是f（B1）

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機器實現(xiàn)：

x-y = x-1-y+1 = （x-1） - y + 1

在補碼的轉碼中，這里的x=2^N

這里的（x-1） - y即使對y進行反碼操作，在ALU中可以N位同時刷新

至于N位整數(shù)+1，有一定的進位延時。

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邊界情況：

容易看到，我們對-2^N求反，仍然是-2^N

對2^N-1求反，則是-（2^N）-1

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利用補碼這種編碼性質

f（y） = -y

x + y = x + y

x - y = x + f（y）

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馬后炮：事后猜測補碼發(fā)明的思路， 從而看補碼的優(yōu)勢

先看正碼表示，設N=4， -1 = 1001; -2 = 1010， -1 》 -2， 但是 1001 《 1010，兩種映射的編碼的序性不一致

反碼呢，-1=1110， -2 = 1101， Ok，序性正確了，

然而，這里有一個問題，就是正數(shù)與負數(shù)之間，有一個1的縫隙。-1=1110， 1=0001，從循環(huán)編碼的角度，這兩個編碼相差3：1110-》1111-》0000-》0001。

因為正零和負零是兩個數(shù)，導致兩個數(shù)系的斷裂。怎么辦？讓負數(shù)整體往正數(shù)靠攏，邁進一步（+1），負1沒有了。

這就是求補的過程了。反碼再加1。

我想，當初寫出計算機的編碼設計論文的大牛（好像是圖靈還是什么的），當然有更深的考慮。但從序性和數(shù)系聯(lián)系的角度，補碼的發(fā)明是相當合理的。而這種合理性，我個人認為，正是其優(yōu)點。

從機器實現(xiàn)的角度，并不算復雜，但相對反碼的機器實現(xiàn)，還是多了+1的進位延時。

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int與unsigned int的思考

順便，我也整理一下這里的誤區(qū)。

如果聲明變量a為int，但是卻當作unsigned int，如果正常累加超出范圍，轉化成unsigned int結果應該還是可信的。

不過算了，我們利用好轉換和保證類型的一致，這些底層的問題我們確實還是當作透明為好。