引言

PageRank是Sergey Brin與Larry Page于1998年在WWW7會(huì)議上提出來的，用來解決鏈接分析中網(wǎng)頁(yè)排名的問題。在衡量一個(gè)網(wǎng)頁(yè)的排名，直覺告訴我們：

當(dāng)一個(gè)網(wǎng)頁(yè)被更多網(wǎng)頁(yè)所鏈接時(shí)，其排名會(huì)越靠前；

排名高的網(wǎng)頁(yè)應(yīng)具有更大的表決權(quán)，即當(dāng)一個(gè)網(wǎng)頁(yè)被排名高的網(wǎng)頁(yè)所鏈接時(shí)，其重要性也應(yīng)對(duì)應(yīng)提高。

對(duì)于這兩個(gè)直覺，PageRank算法所建立的模型非常簡(jiǎn)單：一個(gè)網(wǎng)頁(yè)的排名等于所有鏈接到該網(wǎng)頁(yè)的網(wǎng)頁(yè)的加權(quán)排名之和：

表示i個(gè)網(wǎng)頁(yè)的PageRank值，用以衡量每一個(gè)網(wǎng)頁(yè)的排名；若排名越高，則其PageRank值越大。網(wǎng)頁(yè)之間的鏈接關(guān)系可以表示成一個(gè)有向圖，邊代表了網(wǎng)頁(yè)j鏈接到了網(wǎng)頁(yè)i；為網(wǎng)頁(yè)j的出度，也可看作網(wǎng)頁(yè)j的外鏈數(shù)（ the number of out-links）。

假定為n維PageRank值向量，A為有向圖G所對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)移矩陣，

n個(gè)等式（1）改寫為矩陣相乘：

但是，為了獲得某個(gè)網(wǎng)頁(yè)的排名，而需要知道其他網(wǎng)頁(yè)的排名，這不就等同于“是先有雞還是先有蛋”的問題了么？幸運(yùn)的是，PageRank采用power iteration方法破解了這個(gè)問題怪圈。欲知詳情，請(qǐng)看下節(jié)分解。

求解

為了對(duì)上述及以下求解過程有個(gè)直觀的了解，我們先來看一個(gè)例子，網(wǎng)頁(yè)鏈接關(guān)系圖如下圖所示：

那么，矩陣A即為

所謂power iteration，是指先給定一個(gè)P的初始值，然后通過多輪迭代求解:

最后收斂于，即差別小于某個(gè)閾值。我們發(fā)現(xiàn)式子（2）為一個(gè)特征方程（characteristic equation），并且解P是當(dāng)特征值（eigenvalue）為1時(shí)的特征向量（eigenvector）。為了滿足（2）是有解的，則矩陣AA應(yīng)滿足如下三個(gè)性質(zhì)：

stochastic matrix，則行至少存在一個(gè)非零值，即必須存在一個(gè)外鏈接（沒有外鏈接的網(wǎng)頁(yè)被稱為dangling pages）；

不可約（irreducible），即矩陣A所對(duì)應(yīng)的有向圖G必須是強(qiáng)連通的，對(duì)于任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)u,v∈V，存在一個(gè)從u到v的路徑；

非周期性（aperiodic），即每個(gè)節(jié)點(diǎn)存在自回路。

顯然，一般情況下矩陣A這三個(gè)性質(zhì)均不滿足。為了滿足性質(zhì)stochastic matrix，可以把全為0的行替換為e/ne/n，其中e為單位向量；同時(shí)為了滿足性質(zhì)不可約、非周期，需要做平滑處理：

其中，d為 damping factor，常置為0與1之間的一個(gè)常數(shù)；E為單位陣。那么，式子（1）被改寫為