光與掩模或晶圓的形貌特征的相互作用可以用麥克斯韋(Maxwell)方程組來描述。通常,掩模和晶圓上的材料都是非磁性和各向同性的。掩模和晶圓都不包含電流源。因此，麥克斯韋方程組可以寫成:

這些方程連接空間和時間t相關(guān)的電e=(E，E，E2)和磁h=(H，H，H)矢量場。常數(shù)eo、o分別為自由空間的介電常數(shù)和磁導(dǎo)率。e和分別表示仿真域中與材料和位置相關(guān)的介電常數(shù)和電導(dǎo)率，它們包含所考慮的掩?；蚓A的幾何形狀信息。

EMF仿真方法通過適當(dāng)?shù)臄?shù)值方法求解給定幾何形狀、材料參數(shù)以及邊界和人射場條件的麥克斯韋方程組。人射場是照到掩?；蚓A上的平面波。有限尺寸仿真區(qū)域的邊界條件通常選擇在橫向上是周期性的圖形，即垂直于掩模和晶圓平面(x和y)。垂直方向(z)上的透明邊界條件確保沒有光反射回人射光側(cè)或從晶圓側(cè)沒有反射光。

不同的EMF仿真方法已被用來描述光刻中掩模和晶圓的光散射。光刻仿真中最流行的方法是時域有限差分(FDTD)法和波導(dǎo)法(Waveguide),這將在下節(jié)中介紹。此外,有限元方法(FEM)[2-4]、有限積分技術(shù)(FIT)[5]和偽光譜時城(PSTD)方法[6]也已用于光刻仿真。這些方法的詳細(xì)信息可以在本章引用的參考文獻(xiàn)中找到。

一般而言,麥克斯韋方程組耦合了電場和磁場的所有六個分量,描述3D散射問題需要求解完整的麥克斯韋方程組。二維(2D)散射問題為其一個重要的特例,其六個耦合場分量的完整麥克斯韋方程組可解耦合為三個場分量的兩個獨(dú)立的微分方程組。如果人射波的幾何形狀和分量在一個橫向方向上是常數(shù)，那么就是這種情況。假設(shè)y方向的幾何形狀和場不變,方程(9-1)和方程(9-2)可以改寫為兩個解耦的微分方程組。

這些方程描述了TE和TM偏振光沿y方向的線空圖形的衍射。這種2D衍射問題的數(shù)值解決方案比完整的3D情況所需要的計(jì)算資源更少。以下部分中的大多數(shù)示例和解釋都是針對此類2D衍射問題給出的,其對一般3D案例的擴(kuò)展可以在引用的文獻(xiàn)中找到。

9.1.1 時域有限差分法

時域有限差分(FDTD)方法的基本思想是將方程(9-1)和方程(9-2)隨著時間進(jìn)行積分[7]。數(shù)值積分是在不同的電場和磁場分量的特殊交錯網(wǎng)格進(jìn)行的。在這種交錯網(wǎng)格上,TE方程(9-5)的有限差分公式可表達(dá)為

方程(9-7)和方程(9-8)提供了電場和磁場分量隨時間的更新方程。它們描述了基于前一時間m-1中的場分量計(jì)算時間m處的電場和磁場分量。磁場分量指數(shù)中的1/2表示電場分量和磁場分量之間的時間交錯。對于2DTM偏振情況和一般3D情況，可以推導(dǎo)出類似的表達(dá)式[8]。場分量在空間和時間上的交錯保證了所獲得的解也滿足剩下的兩個麥克斯韋方程(9-3)和方程(9-4)。

FDTD在許多實(shí)際案例中的應(yīng)用需要一些額外的技巧，包括用于強(qiáng)吸收材料建模的Luebbers方法[9]、引人完美匹配層對透明邊界條件的有效建模方法[10]，以及引人仿真域中有效電磁場激發(fā)的總/散射場概念。Taflove[8]在其書中解釋了所有這些技巧以及有關(guān)FDTD在電磁場仿真中實(shí)施和應(yīng)用的許多其他細(xì)節(jié)。Alfred Wong[11]開創(chuàng)了FDTD法在光刻掩模光衍射的嚴(yán)格仿真中的應(yīng)用。

圖9-2為光強(qiáng)度相對于標(biāo)稱FDTD積分時間的FDTD的仿真結(jié)果。掩模結(jié)構(gòu)的幾何形狀如圖9一2左上圖所示。光從所示區(qū)域的頂部人射,在標(biāo)稱積分時250間的10%處,人射光已到達(dá)交替型PSM的蝕刻溝槽,部分光從溝槽的底部界面反射并產(chǎn)生駐波圖形。在標(biāo)稱仿真時間的15%時,傳播的光已到達(dá)玻璃襯底的底面,玻璃/鉻界面處的高反射會在掩模襯底的相應(yīng)區(qū)域產(chǎn)生強(qiáng)烈調(diào)制的駐波圖形,玻璃/空氣界面上方的駐波圖形不太明顯。在標(biāo)稱仿真時間的15%之后,光開始在掩模下方的空氣空間中傳播。在標(biāo)稱積分時間內(nèi),光強(qiáng)度已達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài),掩模附近的近場強(qiáng)度分布則不再變化。當(dāng)達(dá)到這種穩(wěn)定狀態(tài)時,可以提取掩模的透射近場并用于進(jìn)一步的成像仿真。

FDTD方法是一種空間域方法，所考慮圖案的幾何形狀必須用等距網(wǎng)格來描述，如圖9-3左圖所示。這種等距網(wǎng)格和用此表示的掩模幾何圖形限制了所獲得結(jié)果的精確性。亞像素技術(shù)[12]和網(wǎng)格的局部細(xì)化[13]被提出用以減少仿真結(jié)果的離散化誤差。

FDTD是一種非常靈活的方法，可以應(yīng)用于幾乎任意的幾何形狀和人射場條件，因?yàn)槠湎鄬θ菀妆桓膶懸詽M足不同的應(yīng)用需求。FDTD的精度取決于幾個數(shù)值參數(shù):FDTD網(wǎng)格的空間離散化 x(=y=z)、積分時間以及邊界條件和色散關(guān)系的數(shù)值公式中使用的其他參數(shù)。FDTD的數(shù)值計(jì)算量與所考慮的仿真區(qū)域的大小成線性比例。

9.1.2波導(dǎo)法

波導(dǎo)法解決了空間頻域固定波長單色光的電磁場衍射問題。電磁場和所考慮的幾何形狀以傅里葉級數(shù)展開，這個過程產(chǎn)生了一個大體系的線性方程組,它描述了仿真區(qū)域內(nèi)場的傅里葉分量的傳播和耦合，產(chǎn)生的電磁場是通過解人射場方程組獲得的。例如，波導(dǎo)法的詳細(xì)數(shù)學(xué)公式可以參見Lucas等人的文章[14]。

波導(dǎo)法與嚴(yán)格耦合波分析(RCWA)幾乎完全相同，這兩種方法都是在20世紀(jì)80年代初期獨(dú)立提出的(RCWA[15]、波導(dǎo)法[16)，并在不同的領(lǐng)域中發(fā)展起來。RCWA主要用于分析各種應(yīng)用的衍射光柵,而波導(dǎo)法最初設(shè)計(jì)用于光刻掩模和晶圓上圖形微成像的精確建模。傅里葉模態(tài)法(FMM)是一種類似的方法，但它沿第三維度z方向使用了額外的傅里葉展開。本章后的參考文獻(xiàn)[17]對這類方法進(jìn)行了全面的回顧。因?yàn)楸緯槍Φ淖x者主要是對光刻感興趣的人，所以接下來的討論將使用波導(dǎo)法術(shù)語。事實(shí)上,FMM/RCWA發(fā)展背后的許多想法也被應(yīng)用于波導(dǎo)法[18.19]。

與在空間域中計(jì)算光衍射的FDTD不同，波導(dǎo)法是在空間頻域中進(jìn)行的。此外,波導(dǎo)法求解麥克斯韋方程組的時間諧波形態(tài),采用了明確的時間依賴系:

在切片s內(nèi)針對未知電磁場系數(shù)生成線性方程。該方程組將有限數(shù)量的傅里葉展開系數(shù)的解用于構(gòu)造傳遞矩陣，該矩陣將切片的上下邊界處的場分量連接起來。傳遞矩陣方法的推廣得到的矩陣為散射問題提供了波導(dǎo)法的解決方案。一般情況下，波導(dǎo)法的實(shí)現(xiàn)包括引人特殊場勢[14)和針對所需的傅里葉階數(shù)的提高收斂性的方法[20.21]。

圖9-4顯示了二元鉻掩模的仿真透射近場，圖中的曲線對應(yīng)不同數(shù)量的波導(dǎo)階數(shù)或電磁場傅里葉擴(kuò)展系數(shù)。波導(dǎo)階數(shù)(wgOrder)指定了正負(fù)方向上的擴(kuò)展系數(shù)的數(shù)量。例如,波導(dǎo)階數(shù)wgOrder=10涵蓋了從-10~+10的傅里葉展開。近場的正確表示需要相對于TE偏振照明更多的TM偏振波導(dǎo)階數(shù)。更詳細(xì)的研究表明，TM偏振照明的附加傅里葉展開系數(shù)僅用于正確表示更明顯的倏逝波(有關(guān)倏逝波和潛在應(yīng)用的討論,請參見7.3.1節(jié))。對于遠(yuǎn)場計(jì)算的wgOrder和典型光刻掩模,波導(dǎo)法的收斂分析表明TE和TM 偏振照明之間并無顯著差異。

如本例所述，波導(dǎo)法的仿真精度取決于場的傅里葉展開階數(shù)或波導(dǎo)階數(shù)。所需的波導(dǎo)級數(shù)取決于所使用的波長入、掩模周期(掩模尺度)以及最小/最大折射率與相關(guān)材料的消光值之間的差異。獲得良好精度的經(jīng)驗(yàn)法則是:

波導(dǎo)法的計(jì)算時間和內(nèi)存要求由波導(dǎo)階數(shù)和非同質(zhì)切片的數(shù)量決定。在大多數(shù)實(shí)際相關(guān)案例中,與FDTD相比,波導(dǎo)法對單色波時間相關(guān)性的正確表示，以及切片內(nèi)正確幾何的描述為光刻問題提供了卓越的仿真性能。兩種方法之間的詳細(xì)比較可參見本章后的參考文獻(xiàn)[22]。

波導(dǎo)法標(biāo)準(zhǔn)公式的一個缺點(diǎn)是它所需的計(jì)算量縮放與所考慮的仿真域的大小有關(guān),尤其是對于3D仿真。通常,FDTD與所考慮的仿真域在x和y方向的擴(kuò)展成線性比例。相比之下，波導(dǎo)法與wgOrderX3xwgOrderY成比例。這里wgOrderX和wgOrderY分別是x和y方向所需的波導(dǎo)階數(shù),并且與相應(yīng)的掩模大小或周期成正比[見方程(9-10)]。這種不利的計(jì)算量縮放關(guān)系可以通過9.2.5節(jié)中描述的分解方法和參考資料實(shí)現(xiàn)部分的避免。