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摘要：本文向廣大電路設(shè)計(jì)人員介紹了一種利用Excel電子表對電路進(jìn)行全面的統(tǒng)計(jì)分析的簡單方法，幾乎適用于任何電路。本文介紹的方法對于深入了解電路在實(shí)際環(huán)境中的運(yùn)行情況，確保較高的良率很有幫助。
構(gòu)建、測試和支持能夠在不同電路參數(shù)下運(yùn)行的電路成本較低。
本文闡述了利用容差分析預(yù)測良率，即有多少種以不同組件構(gòu)建的電路能夠符合規(guī)格要求。為了獲得有效的良率分析，必須要擁有：
表1. 良率分析方法
本文將介紹如何使用Microsoft Excel進(jìn)行良率分析。
我們討論了概率分布函數(shù)等基本的良率分析概念，我們將了解如何按照所要求的概率分布隨機(jī)生成元件值。
例如，對于圖1所示簡單的放大電路，已知Rf和Rg電阻后(假設(shè)是一個(gè)理想的運(yùn)算放大器)，可以很容易地計(jì)算出該電路的增益。實(shí)際應(yīng)用中，如果數(shù)百次地構(gòu)建該電路，將會發(fā)現(xiàn)每次的Rf和Rg元件值均不同。對該電路進(jìn)行測試時(shí)，每次構(gòu)建電路的增益也不同。
該電路中，元件值的變化源于電阻的容差。增益計(jì)算公式為：增益 = - Rf / Rg。例如，如果取Rf = 1kΩ、Rg = 1kΩ，則增益為-1。
圖1. 反相運(yùn)算放大器示例
最終得到的電路規(guī)格可能為：增益 = -1 ± 0.1 V/V。
pdf是表達(dá)隨機(jī)變量X的可能取值x與實(shí)際數(shù)值出現(xiàn)概率的關(guān)系曲線或函數(shù)。例如，在我們列舉的電路中，可以得出Rf電阻值與一批電阻中出現(xiàn)該電阻值概率的關(guān)系。
cdf為累積分布函數(shù)，為隨機(jī)變量X取一個(gè)小于或等于某個(gè)x值的概率。即如果得到pdf，可以利用積分計(jì)算cdf。您可能采用高斯或正態(tài)分布的pdf，由兩個(gè)參數(shù)定義：平均值(中心值)和標(biāo)準(zhǔn)方差(約等于峰值寬度)。圖2給出了正態(tài)分布的pdf和cdf。
圖2. PDF和CDF示例
正態(tài)分布與大多數(shù)實(shí)際情況相吻合，更容易建立數(shù)學(xué)模型。但是，請務(wù)必注意！正態(tài)分布可能并不真的代表某種特定情況。例如，如果您正在使用的是20%容差的電阻，可能容差為5%的電阻已全部被篩選出去，并被出售給其他人，您看到的實(shí)際pdf如圖3所示。
圖3. 篩選元件的分布情況
按照這種分布，測量電阻與電阻標(biāo)簽完全相同的概率為零！與使用正態(tài)分布的元件電路相比，您的電路所提供的性能會很差。另外，獲得5%電阻的用戶則會得到比較好的工作特性，因?yàn)樗麄兯玫降脑母怕史植己瘮?shù)中已經(jīng)消除了偏差較大的部分。
由此可見，可供選擇的分布函數(shù)有許多，而如何選擇分布非常重要。因此，不要局限于正態(tài)分布這一種。
圖4. 生成隨機(jī)電阻值
上述分析中，每個(gè)電阻均使用了均勻分布隨機(jī)變量。這種均勻分布下，取值在兩個(gè)極限值之間的概率都一樣?？梢允褂脙煞N方法生成電阻值：選擇Tools | Data Analysis | Random Number Generation，或使用RAND()函數(shù)(請參考RANDBETWEEN() )。如果采用RAND()函數(shù)，電子表格每次計(jì)算便重新產(chǎn)生一個(gè)數(shù)值(按F9鍵)。
不幸的是，大多數(shù)元件所遵循的概率分布并非均勻分布。但是，這類分析在估計(jì)最差性能時(shí)較為快速和有效。
Excel提供了大量其它函數(shù)，可以幫助我們生成更為真實(shí)的pdf。我們將在下節(jié)對其進(jìn)行介紹，之后敘述利用生產(chǎn)數(shù)據(jù)生成任意pdf的一些方法。
標(biāo)準(zhǔn)方差(通常稱為Σ)描述了pdf函數(shù)峰值的寬度，相當(dāng)于二次求導(dǎo)的極性變化分界點(diǎn)，我們利用該方法生成圖2所示pdf。通過將“FALSE”改變?yōu)椤癟RUE”，可以得到cdf值。
如果沒有更準(zhǔn)確的信息，則假設(shè)元件的百分比容差為±3標(biāo)準(zhǔn)方差。例如，±10%的元件會具有±10/3的標(biāo)準(zhǔn)偏差，標(biāo)稱值為±3.33%。
盡管cdf和pdf正確地描述了正態(tài)隨機(jī)變量，但它們不生成隨機(jī)元件值。理想狀態(tài)下，我們會傾向于使用類似于“RANDNORM()”的函數(shù)，所返回的隨機(jī)數(shù)符合正態(tài)分布。
圖5. 生成隨機(jī)數(shù)的對話框
注意，我已輸入步驟1中計(jì)算得到的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)方差。輸入數(shù)字10，表示要生成的隨機(jī)數(shù)(值)個(gè)數(shù)。輸入電子表格中要求Excel輸出值的位置。輸出結(jié)果如下：
圖6. Excel生成的隨機(jī)元件值
這種情況下，我們會想要描繪一種分布，利用生產(chǎn)測試數(shù)據(jù)創(chuàng)建一種分布或者使用計(jì)算數(shù)據(jù)創(chuàng)建一種分布，然后生成符合這種分布的隨機(jī)數(shù)，以進(jìn)行良率分析。
創(chuàng)建此類分布以及符合這種分布的隨機(jī)數(shù)，包括如下幾個(gè)步驟(如后面圖7所示)。
圖7. 生成與生產(chǎn)數(shù)據(jù)一致的隨機(jī)數(shù)
引言
設(shè)計(jì)在實(shí)際環(huán)境中運(yùn)行良好的電路具有一定的挑戰(zhàn)性。僅僅以電路設(shè)計(jì)符合規(guī)范為目標(biāo)還不能滿足實(shí)際要求，準(zhǔn)確預(yù)測電路在一定范圍工作條件下的運(yùn)行狀況非常重要，包括元件值的實(shí)際變化。在深入了解這些運(yùn)行狀況的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)人員可以有效地選擇電路和元件，以達(dá)到所要求的制造容限。構(gòu)建、測試和支持能夠在不同電路參數(shù)下運(yùn)行的電路成本較低。
本文闡述了利用容差分析預(yù)測良率，即有多少種以不同組件構(gòu)建的電路能夠符合規(guī)格要求。為了獲得有效的良率分析，必須要擁有：
- 較好的電路模型，包括重要元件、雜散特性等。
- 較好地預(yù)計(jì)元件值變化的模型
- 合格/不合格的定義或規(guī)格
表1. 良率分析方法
| Yield Analysis Tool | Technique | Best used for |
| SPICE | Multiple simulations | Brute force proof circuit will work, awkward for gaining intuition |
| SPICE | SENS sensitivity analysis | Brute force method, good for getting intuition about what components matter |
| Exact closed-form analysis | Using an equation for the circuit performance calculate sensitivities. Using equations for the component variations and the sensitivities calculate the probability of meeting spec | Very simple problems only, gives good insight into technique |
| Microsoft Excel, MathCAD | Create cdfs with manufacturing data, model circuit with | Intermediate complexity, can incorporate real world data, gives good intuition into the problem |
本文將介紹如何使用Microsoft Excel進(jìn)行良率分析。
我們討論了概率分布函數(shù)等基本的良率分析概念，我們將了解如何按照所要求的概率分布隨機(jī)生成元件值。
利用元件值和設(shè)計(jì)公式確定良率
電路由元器件組成。這些元件組裝后構(gòu)成電路，運(yùn)行狀況遵循一定的規(guī)則或設(shè)計(jì)公式。為了進(jìn)行良率分析，需要了解元件值的變化和設(shè)計(jì)公式。例如，對于圖1所示簡單的放大電路，已知Rf和Rg電阻后(假設(shè)是一個(gè)理想的運(yùn)算放大器)，可以很容易地計(jì)算出該電路的增益。實(shí)際應(yīng)用中，如果數(shù)百次地構(gòu)建該電路，將會發(fā)現(xiàn)每次的Rf和Rg元件值均不同。對該電路進(jìn)行測試時(shí)，每次構(gòu)建電路的增益也不同。
該電路中，元件值的變化源于電阻的容差。增益計(jì)算公式為：增益 = - Rf / Rg。例如，如果取Rf = 1kΩ、Rg = 1kΩ，則增益為-1。
圖1. 反相運(yùn)算放大器示例
最終得到的電路規(guī)格可能為：增益 = -1 ± 0.1 V/V。
元件的PDF和CDF
總之，我們無法提前預(yù)測某個(gè)元件將會出現(xiàn)的數(shù)值。但憑借經(jīng)驗(yàn)，我們可以預(yù)測多數(shù)元件的狀況，或多數(shù)產(chǎn)品的工作情形?？梢岳胮df或概率分布函數(shù)描述這種狀況。pdf是表達(dá)隨機(jī)變量X的可能取值x與實(shí)際數(shù)值出現(xiàn)概率的關(guān)系曲線或函數(shù)。例如，在我們列舉的電路中，可以得出Rf電阻值與一批電阻中出現(xiàn)該電阻值概率的關(guān)系。
cdf為累積分布函數(shù)，為隨機(jī)變量X取一個(gè)小于或等于某個(gè)x值的概率。即如果得到pdf，可以利用積分計(jì)算cdf。您可能采用高斯或正態(tài)分布的pdf，由兩個(gè)參數(shù)定義：平均值(中心值)和標(biāo)準(zhǔn)方差(約等于峰值寬度)。圖2給出了正態(tài)分布的pdf和cdf。
圖2. PDF和CDF示例
正態(tài)分布與大多數(shù)實(shí)際情況相吻合，更容易建立數(shù)學(xué)模型。但是，請務(wù)必注意！正態(tài)分布可能并不真的代表某種特定情況。例如，如果您正在使用的是20%容差的電阻，可能容差為5%的電阻已全部被篩選出去，并被出售給其他人，您看到的實(shí)際pdf如圖3所示。
圖3. 篩選元件的分布情況
按照這種分布，測量電阻與電阻標(biāo)簽完全相同的概率為零！與使用正態(tài)分布的元件電路相比，您的電路所提供的性能會很差。另外，獲得5%電阻的用戶則會得到比較好的工作特性，因?yàn)樗麄兯玫降脑母怕史植己瘮?shù)中已經(jīng)消除了偏差較大的部分。
由此可見，可供選擇的分布函數(shù)有許多，而如何選擇分布非常重要。因此，不要局限于正態(tài)分布這一種。
在Excel中產(chǎn)生隨機(jī)元件值
如果能夠生成一系列隨機(jī)數(shù)，即可用這些數(shù)值代表生產(chǎn)中所使用的電阻值。然后，用這些數(shù)值和電路公式確定電路的增益，將其與規(guī)格要求相對比，計(jì)算良率。下列各圖是我完成的情況。就20次電路構(gòu)建、±20%的增益誤差而言，良率為80% (每次運(yùn)行的結(jié)果會略有不同)。圖4. 生成隨機(jī)電阻值
上述分析中，每個(gè)電阻均使用了均勻分布隨機(jī)變量。這種均勻分布下，取值在兩個(gè)極限值之間的概率都一樣?？梢允褂脙煞N方法生成電阻值：選擇Tools | Data Analysis | Random Number Generation，或使用RAND()函數(shù)(請參考RANDBETWEEN() )。如果采用RAND()函數(shù)，電子表格每次計(jì)算便重新產(chǎn)生一個(gè)數(shù)值(按F9鍵)。
不幸的是，大多數(shù)元件所遵循的概率分布并非均勻分布。但是，這類分析在估計(jì)最差性能時(shí)較為快速和有效。
Excel提供了大量其它函數(shù)，可以幫助我們生成更為真實(shí)的pdf。我們將在下節(jié)對其進(jìn)行介紹，之后敘述利用生產(chǎn)數(shù)據(jù)生成任意pdf的一些方法。
正態(tài)分布PDF和CDF
為了生成一種正態(tài)或高斯曲線，我們采用了內(nèi)置函數(shù)NORMDIST()。例如，對于平均值 = 0，標(biāo)準(zhǔn)方差 = 1的正態(tài)分布，“=NORMDIST($A7,0,1,FALSE)”返回x = 存儲于單元格A7的概率。標(biāo)準(zhǔn)方差(通常稱為Σ)描述了pdf函數(shù)峰值的寬度，相當(dāng)于二次求導(dǎo)的極性變化分界點(diǎn)，我們利用該方法生成圖2所示pdf。通過將“FALSE”改變?yōu)椤癟RUE”，可以得到cdf值。
如果沒有更準(zhǔn)確的信息，則假設(shè)元件的百分比容差為±3標(biāo)準(zhǔn)方差。例如，±10%的元件會具有±10/3的標(biāo)準(zhǔn)偏差，標(biāo)稱值為±3.33%。
盡管cdf和pdf正確地描述了正態(tài)隨機(jī)變量，但它們不生成隨機(jī)元件值。理想狀態(tài)下，我們會傾向于使用類似于“RANDNORM()”的函數(shù)，所返回的隨機(jī)數(shù)符合正態(tài)分布。
生成正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)
Excel沒有提供RANDNORM()函數(shù)，但是一些附加函數(shù)提供了這種必要功能。要想生成10個(gè)標(biāo)稱值為1kΩ，具有±20%誤差范圍的電阻值，步驟如下：- 平均數(shù) = 1kΩ標(biāo)稱值，標(biāo)準(zhǔn)方差為1kΩ的±20%除以3 = ±200/3 = ±66.67Ω。
- 選擇Tools | Data Analysis | Random Number Generation，使用內(nèi)置函數(shù)生成一個(gè)數(shù)列。對話框如下圖所示。
圖5. 生成隨機(jī)數(shù)的對話框
注意，我已輸入步驟1中計(jì)算得到的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)方差。輸入數(shù)字10，表示要生成的隨機(jī)數(shù)(值)個(gè)數(shù)。輸入電子表格中要求Excel輸出值的位置。輸出結(jié)果如下：
圖6. Excel生成的隨機(jī)元件值
其它有用的內(nèi)置分布
您可能已經(jīng)注意到，在Tools | Data Analysis | Random Number對話框中，Excel列舉了多種分布供您選擇。這些分布包括正態(tài)分布、均勻分布、二項(xiàng)式分布、伯努利分布、離散分布以及其它幾種分布。前面所述的均勻分布是一種估計(jì)最差性能的簡單、有效方法。二項(xiàng)式產(chǎn)生一種只有2個(gè)值(例如：1和0)的分布，常見于邏輯電路。一本好的統(tǒng)計(jì)學(xué)參考書和一些實(shí)驗(yàn)可以幫助選擇正確的分布。如果特定分布于所提供的分布不一致，可以專門制作所需要的隨機(jī)數(shù)生成器！我們將在下一節(jié)對此進(jìn)行介紹。生成與生產(chǎn)數(shù)據(jù)一致的隨機(jī)數(shù)
有些情況下，無法找到適合的內(nèi)置函數(shù)或標(biāo)準(zhǔn)pdf函數(shù)。正如我們篩選電阻中所遇到的情況(圖3)，非標(biāo)準(zhǔn)分布的影響極其明顯。這種情況下，我們會想要描繪一種分布，利用生產(chǎn)測試數(shù)據(jù)創(chuàng)建一種分布或者使用計(jì)算數(shù)據(jù)創(chuàng)建一種分布，然后生成符合這種分布的隨機(jī)數(shù)，以進(jìn)行良率分析。
創(chuàng)建此類分布以及符合這種分布的隨機(jī)數(shù)，包括如下幾個(gè)步驟(如后面圖7所示)。
- 測量大量的實(shí)際元件或通過計(jì)算生成數(shù)據(jù)。也許能夠在進(jìn)貨檢驗(yàn)時(shí)獲得這些數(shù)據(jù)。這種原始數(shù)據(jù)將被用于創(chuàng)建pdf。
- 將數(shù)據(jù)制作成直方圖，并根據(jù)采樣總數(shù)進(jìn)行規(guī)一化，即所有概率的和為1。這種規(guī)一化的直方圖便是我們需要的隨機(jī)數(shù)的pdf。
- 對該pdf求積分創(chuàng)建cdf。確認(rèn)能夠單調(diào)達(dá)到最大值1。
- 生成一個(gè)介于0和1之間的均勻分布隨機(jī)數(shù)—y~UY(0,1)。
- 將該均勻分布隨機(jī)數(shù)用作cdf上y = P(X ≤ x)時(shí)cdf的指數(shù)，并記下x。
- 重復(fù)步驟4和5，生成所需要的x隨機(jī)值。
圖7. 生成與生產(chǎn)數(shù)據(jù)一致的隨機(jī)數(shù)
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