文章詳細(xì)對(duì)勒讓德濾波器的綜合設(shè)計(jì)進(jìn)行講解，解釋如何從單調(diào)最衰減特性推導(dǎo)出勒讓德濾波器的。最后介紹基于Matlab的濾波器設(shè)計(jì)軟件，以低通、帶通濾波器為例，展示其功能。給出Github相關(guān)鏈接。

勒讓德濾波器特點(diǎn)和用途

勒讓德濾波器(Legendre Filter、Papoulis Filter、L Filter)濾波器是1959年P(guān)apoulis所提出的一種優(yōu)化的濾波器(譯文:具有單調(diào)響應(yīng)的最優(yōu)濾波器(Optimum Filters with Monotonic Response))，其幅頻特性曲線介于巴特沃斯和第一類(lèi)切比雪夫?yàn)V波器之間，具體來(lái)說(shuō)在通帶內(nèi)具有像巴特沃斯單調(diào)頻響特性(通帶無(wú)紋波)，但是在阻帶具有像切比雪夫?yàn)V波器那樣具有陡峭的截止特性，這種濾波器在現(xiàn)實(shí)中似乎并不常見(jiàn)。

勒讓德濾波器逼近

這里采用了特征多項(xiàng)式，定義為，濾波器整體幅度公式為：

約束

1,?是階多項(xiàng)式(可實(shí)現(xiàn)性，在頻率增益為0)

2,?(低通定義，在頻率為0的位置增益為0)

3,?(定義低通帶寬)

4, 在通帶范圍內(nèi)[0, 1]無(wú)紋波(勒讓德濾波器特征1)

5, 在截止頻率點(diǎn)處信號(hào)衰減最快(勒讓德濾波器特征2)

無(wú)紋波

這里需要理解下無(wú)紋波從特征多項(xiàng)式上如何理解。

假設(shè)在通帶內(nèi)無(wú)紋波，表示在區(qū)間[0,1]是單調(diào)的，即:

或者

衰減最快

這里的衰減最快理解為在處有最大斜率，即：

其中M是最大值。

研究特征多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)

由于約束4和5都有一個(gè)明顯的特征，就是研究特征多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)會(huì)更加方便，所以這里定義：

所以，依據(jù)約束4和5得到：

由約束2和約束3，我們得到:

根據(jù)基本積分公式可以得到:

所以原問(wèn)題變?yōu)椋瑢ふ乙粋€(gè)多項(xiàng)式滿足如下公式：

由理論推導(dǎo)，奇數(shù)階(偶數(shù)階推導(dǎo)詳見(jiàn)：偶數(shù)階單調(diào)響應(yīng)的最優(yōu)濾波器)勒讓德濾波器是一個(gè)完全平方，即，這樣得到，也就是說(shuō)問(wèn)題變?yōu)橐粋€(gè)函數(shù)的平方從0到1的積分為1，需要求這個(gè)函數(shù)。有很多方法來(lái)求解這個(gè)方程，首先我們直接求解。

下圖是Legendre濾波器和Butterworth濾波器的特征多項(xiàng)式和其導(dǎo)數(shù)的對(duì)比

直接優(yōu)化計(jì)算

當(dāng)然假如我們并不了解勒讓德多項(xiàng)式或者雅克比多項(xiàng)式，還是可以直接使用普通多項(xiàng)式來(lái)計(jì)算，這里以5階為例來(lái)計(jì)算，假設(shè)所求的多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)為：

在[0,1]范圍內(nèi)恒定大于等于0，天然滿足單調(diào)條件。然后我們只需要滿足積分條件(也就是約束2和3，)，即：

由約束4，需要找到上式約束下的最大值：

這里有3個(gè)未知數(shù)，約束條件只有1個(gè)，所以這時(shí)一個(gè)多參數(shù)優(yōu)化問(wèn)題，可以有多種優(yōu)化方法，比較常見(jiàn)的使用拉格朗日乘數(shù)法優(yōu)化，當(dāng)然也可以用各種數(shù)值優(yōu)化工具，這里使用wolfram alpha:

NMaximize[{(a0 + a1 + a2)^2, Integrate[2*x*(a2*x^4+a1*x^2 + a0)^2, {x, 0, 1}] == 1}, {a0, a1, a2}]

得到

所以：

積分后得到：

用代入得到：

即得到了最終5階勒讓德濾波器特征多項(xiàng)式。

正交多項(xiàng)式求解

要實(shí)現(xiàn)這個(gè)目標(biāo)可以使用正交多項(xiàng)式來(lái)求解，這是因?yàn)檎欢囗?xiàng)式每個(gè)正交項(xiàng)互不干擾，可以單獨(dú)的調(diào)節(jié)每個(gè)系數(shù)達(dá)到逼近目的。

勒讓德多項(xiàng)式逼近

Papoulis使用了勒讓德多項(xiàng)式(Legendre Polynomials)來(lái)逼近，勒讓德多項(xiàng)式是一組正交多項(xiàng)式。

前7階勒讓德多項(xiàng)式為：

最終我們需要求解的就可以寫(xiě)成一系列的的多項(xiàng)式的組合。

這里看似將公式復(fù)雜化，但是實(shí)際上簡(jiǎn)化了計(jì)算，原因在于滿足從[-1,1]積分為0，所以當(dāng)上式展開(kāi)積分后，各個(gè)交叉項(xiàng)由于多項(xiàng)式不相關(guān)從而相互抵消為0，只有自身乘以自身的項(xiàng)保留了下來(lái)。

上式將一個(gè)積分轉(zhuǎn)化為一個(gè)普通代數(shù)表達(dá)式，使用勒讓德多項(xiàng)式極大簡(jiǎn)化了計(jì)算。

到這一步大家解法都統(tǒng)一了，這是一個(gè)帶約束的優(yōu)化問(wèn)題，使用拉格朗日乘數(shù)法即可解決。

這里以為例展示下計(jì)算過(guò)程(這里，勒讓德多項(xiàng)式到)：

約束為

最大化

即最大化(引入拉格朗日乘數(shù))

分別對(duì)求偏導(dǎo)，令其等于0(求極值點(diǎn))，并列出公式：

化簡(jiǎn)得到：

代入最后一個(gè)公式得到：

解得：

代入得到：

由于勒讓德多項(xiàng)式是定義在[-1,1]上，所以需要將其轉(zhuǎn)換到[0,1]區(qū)間，令，積分求解得到特征多項(xiàng)式：

frac{1}{8}int_{-1}^{2w^2-1}{1+3x}^2dx

位移雅可比多項(xiàng)式逼近

FUKADA使用了位移雅可比多項(xiàng)式(Shifted Jacobi Polynomials)來(lái)逼近，位移雅可比多項(xiàng)式也是一組正交多項(xiàng)式，它包含兩個(gè)參數(shù)，配置不同的參數(shù)就會(huì)表現(xiàn)出不同特征多項(xiàng)式，位移雅可比多項(xiàng)式可以包含幾乎所有的濾波器多項(xiàng)式。下面列出位移雅克比多項(xiàng)式的遞推公式：

其中的系數(shù)為：

當(dāng)且時(shí)，上式就為勒讓德多項(xiàng)式。

其他推導(dǎo)方式和之前勒讓德方式相同。

但是這里帶出一個(gè)概念，即對(duì)于雅克比多項(xiàng)式，滿足正交性質(zhì)，但是應(yīng)用更加廣泛：

公式中的是Kronecker delta符號(hào)，表示只有當(dāng)時(shí)才為1，其他都為0.為權(quán)函數(shù)

在勒讓德多項(xiàng)式中，，即對(duì)于整個(gè)[-1,1]范圍內(nèi)權(quán)重相同，在不同應(yīng)用場(chǎng)景中，我們可以根據(jù)需要選擇不同的優(yōu)化策略。下圖展示了不同參數(shù)情況下權(quán)重的變化：

當(dāng)權(quán)重且時(shí)，多項(xiàng)式是第一類(lèi)切比雪夫多項(xiàng)式，多項(xiàng)式在兩端的權(quán)重比較大，當(dāng)權(quán)重時(shí)，多項(xiàng)式就是第二類(lèi)切比雪夫多項(xiàng)式，多項(xiàng)式在兩端的權(quán)重小。

在勒讓德濾波器中，權(quán)函數(shù)為1，表面在整個(gè)[-1,1]區(qū)間內(nèi)，所有點(diǎn)貢獻(xiàn)都相同，這樣綜合出來(lái)的必定是無(wú)紋波的濾波器。可以這樣直觀的理解，假如區(qū)間內(nèi)存在紋波，那么積分值必定會(huì)比沒(méi)有紋波的大，因?yàn)楹瘮?shù)的平方我們可以理解為對(duì)函數(shù)求其有效值，那么若存在紋波，那么有效值就等于直流分量加上交流分量，這兩者相加就必定大于其中之一。

使用公式也可以簡(jiǎn)單的說(shuō)明這一點(diǎn)，假設(shè)是一個(gè)直流信號(hào)，幅度值在[0,1]范圍內(nèi)均為，那么假設(shè)存在一個(gè)脈動(dòng)直流信號(hào)在[0,0.5]范圍內(nèi)是，在(0.5,1]范圍內(nèi)是，必定存在即。也即是說(shuō)，通過(guò)平方操作，大的值比小的值放大得更大，大的值變得更加突出。在這樣的優(yōu)化條件下，保持積分值不變，原函數(shù)在端點(diǎn)取得最大值，函數(shù)將呈現(xiàn)單調(diào)變化。

本節(jié)中，通過(guò)采用不同的參數(shù)設(shè)置，位移雅可比多項(xiàng)式可以得到不同特性的濾波器。

勒讓德濾波器評(píng)價(jià)

Papoulis首先第一次提出了這種濾波器就得到很多學(xué)者的關(guān)注，其中相繼發(fā)表了多篇關(guān)于單調(diào)濾波器的設(shè)計(jì)，這里發(fā)展出來(lái)很多優(yōu)化了的單調(diào)濾波器，比如LSM(Least-Squares-Monotonic)濾波器，H濾波器，這些濾波器各具特點(diǎn)，總結(jié)下來(lái)就是我們前面給出的不同約束5所綜合下來(lái)的濾波器。

比如H濾波器(本系列文章中有翻譯)就是將約束5修改為：

5, 在漸近頻率點(diǎn)處信號(hào)衰減最快(也即特征多項(xiàng)式最高系數(shù)最大，H濾波器特征)

LSM濾波器(本系列文章中有翻譯)就是將約束5修改為：

5, 在通帶范圍內(nèi)曲線所包圍的面積最小(也即在整個(gè)通帶范圍內(nèi)濾波器反射或插損最小，LSM濾波器特征)

同理我們可以將巴特沃斯濾波器納入到這種單調(diào)濾波器體系，將約束5修改為：

5, 在0頻率處響應(yīng)最平坦(Butterworth濾波器特征)

可以說(shuō)Papoulis開(kāi)創(chuàng)了一種新的濾波器約束規(guī)則，豐富了濾波器的種類(lèi)。總的來(lái)說(shuō)，這種單調(diào)濾波器也屬于幅度逼近。

最近幾年有論文指出勒讓德濾波器除了階梯的衰減特性外沒(méi)有任何其他優(yōu)勢(shì)，大家有興趣可以看看，本公眾號(hào)已經(jīng)將其翻譯為中文《在連續(xù)時(shí)間域中比較Papoulis濾波器和Chebyshev濾波器》。

單調(diào)濾波器系數(shù)和零極點(diǎn)

目前還沒(méi)有統(tǒng)一的公式去計(jì)算勒讓德濾波器的特征多項(xiàng)式，但是可以通過(guò)數(shù)值計(jì)算的辦法計(jì)算出系數(shù)來(lái)，以下提供了生成系數(shù)的Matlab代碼，需要具體源碼的可以去Github上下載。

使用Matlab求解勒讓德特征多項(xiàng)式系數(shù)

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% Edited by bbl
% Date: 2023-06-11(yyyy-mm-dd)
% 勒讓德濾波器系數(shù)設(shè)計(jì)
% 注意返回值低次在前，高次在后
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function [Ln] = funGenLegendreCharacteristicPoly(FilterOrder)
% Initialize coefficient vector
coefficients = ((1:FilterOrder).*2 - 1);

% Define coefficient for normalization
if mod(FilterOrder, 2) == 1
    % Odd polynomial order
    half_order = (FilterOrder - 1) / 2;
    norm_coefficient = 1 / (sqrt(2 * (half_order + 1) * (half_order + 1)));
else
    % Even polynomial order
    half_order = FilterOrder / 2 - 1;
    norm_coefficient = 1 / sqrt((half_order + 1) * (half_order + 2));
    % Check if the half_order is odd or even
    if mod(half_order, 2) == 1
        % Odd
        coefficients(1:2:end) = 0;
    else
        % Even
        coefficients(2:2:end) = 0;
    end
end
% Apply normalization to coefficients
coefficients = coefficients * norm_coefficient;

% Initial value for the Phi
Phi = 0;

% Generate polynomial and add to Phi
for i = 1:half_order + 1
    current_coefficient = coefficients(i);
    legendrePoly = JacobiPoly(i - 1, 0, 0); % Gen legendre polynomial
    Phi  = polyadd(Phi, current_coefficient * legendrePoly);
end
% Calculate Phi^2
Phi_squared = conv(Phi, Phi); 

% For even polynomial order, multiply Phi_squared by (x+1)
if mod(FilterOrder, 2) == 0
    Phi_squared = conv(Phi_squared, [1,1]);
end
% Calculate the integral of Phi_squared
integral_of_Phi_squared = polyint(Phi_squared, 0);

% Define the range for polyval function
lower_range = -1; 
upper_range = [2, -1];

% Calculate polyval for lower and upper ranges
D = polyval(integral_of_Phi_squared, lower_range);
U = substitute_poly(integral_of_Phi_squared, upper_range);

% Final result
Ln0 = polyadd(U, -D);
nLn = length(Ln0);
Ln = zeros(1, nLn*2-1);
Ln(3:2:end) = fliplr(Ln0(1:end-1));
Ln(1)     = Ln0(end);

end

運(yùn)行結(jié)果如下：

>> [Ln] = funGenLegendreCharacteristicPoly(5)
Ln =
    0   0   1   0   -8  0   28  0   -40 0   20

也就是：

這里給出數(shù)值計(jì)算出的勒讓德濾波器前7階濾波器多項(xiàng)式(注意這里)：

不同階數(shù)濾波器頻響如下(圖中紅色曲線是勒讓德濾波器頻響，綠色曲線是巴特沃斯頻響，藍(lán)色曲線是切比雪夫I紋波為的頻響)：

事實(shí)上，勒讓德濾波器的頻率響應(yīng)并未達(dá)到我們預(yù)期的優(yōu)秀程度，從圖中可以看到對(duì)比切比雪夫?yàn)V波器，勒讓德濾波器沒(méi)有優(yōu)勢(shì)，因此，一些學(xué)者批評(píng)這只是一種適合學(xué)術(shù)研究，而在實(shí)際應(yīng)用中并無(wú)優(yōu)勢(shì)的濾波器。

在s平面取其左半邊極點(diǎn)得到前7階勒讓德濾波器系數(shù)為(, 其中的極點(diǎn)等于的做半邊極點(diǎn))：

前7階勒讓德濾波器極點(diǎn)為()：

零極點(diǎn)變化動(dòng)圖(圖中紅色點(diǎn)是勒讓德濾波器極點(diǎn)，藍(lán)色和綠色分別是切比雪夫?yàn)V波器極點(diǎn)和巴特沃斯濾波器極點(diǎn)分布，猜測(cè)勒讓德濾波器極點(diǎn)也是分布在一個(gè)橢圓上，注意這里的零極點(diǎn)圖橫坐標(biāo)是虛軸，縱坐標(biāo)為實(shí)軸)：

這里通過(guò)調(diào)整切比雪夫?yàn)V波器紋波大小，驗(yàn)證了猜測(cè)，勒讓德濾波器極點(diǎn)分布近似在一個(gè)橢圓上：

下圖是不同類(lèi)型濾波器的零極點(diǎn)分布圖，紅色曲線和點(diǎn)是5階勒讓德濾波器極點(diǎn)分布，可見(jiàn)勒讓德濾波器的極點(diǎn)在巴特沃斯濾波器和切比雪夫?yàn)V波器之間：

勒讓德濾波器綜合

勒讓德波器綜合和巴特沃斯濾波器一樣，屬于全極點(diǎn)濾波器，所以這里僅僅列出一個(gè)簡(jiǎn)單的3階勒讓德濾波器綜合實(shí)例，以供參考：

勒讓德濾波器設(shè)計(jì)軟件

基于Matlab的appdesign工具開(kāi)發(fā)了一套濾波器設(shè)計(jì)軟件, 主要特點(diǎn)是：

支持勒讓德濾波器(Legendre Filter)、高斯濾波器(Gaussian Filter)、貝塞爾濾波器(Bessel Filter)、橢圓函數(shù)濾波器(Elliptic/Cauer Filter)、切比雪夫?yàn)V波器(Chebyshev I)、逆切比雪夫?yàn)V波器(Chebyshev II, Inverse Chebyshev)、巴特沃斯濾波器(Butterworth)設(shè)計(jì)

支持4種不同濾波器通帶類(lèi)型(LPF,HPF,BPF,BRF)設(shè)計(jì)

T型和PI型結(jié)構(gòu)濾波器隨意切換

可以設(shè)置阻帶衰減決定濾波器階數(shù)

可以設(shè)置通帶衰減來(lái)綜合濾波器

可以隨意配置負(fù)載和終端阻抗, 并支持一端接載(源端電阻短路, 源端電流源, 終端開(kāi)路, 終端短路)設(shè)計(jì)

可以幅頻響應(yīng)分析、零極點(diǎn)分析、瞬態(tài)分析

可以顯示理想頻率響應(yīng)、零極點(diǎn)和實(shí)際仿真的的頻率響應(yīng)、零極點(diǎn)

可以支持實(shí)際標(biāo)準(zhǔn)器件逼近設(shè)計(jì)

Legendre LPF設(shè)計(jì)舉例

設(shè)計(jì)一款-3dB截止頻率為1GHz, 7階低通Legendre濾波器，輸入輸出阻抗為50歐姆，設(shè)計(jì)過(guò)程如下：

最終設(shè)計(jì)參數(shù)如下：

勒讓德濾波器瞬態(tài)仿真結(jié)果：

勒讓德濾波器AC仿真結(jié)果：

Legendre BPF設(shè)計(jì)舉例

設(shè)計(jì)6階帶通Legendre濾波器, 中心頻率為1GHz，帶寬為1GHz，50歐姆輸入，輸出阻抗為高阻，最后進(jìn)行瞬態(tài)仿真，設(shè)計(jì)過(guò)程如下：

最終設(shè)計(jì)參數(shù)如下：

AC仿真結(jié)果：

瞬態(tài)仿真結(jié)果：

程序的Matalb源碼已經(jīng)上傳GitHub中，有興趣的同學(xué)可以下載試用體驗(yàn)，當(dāng)然也歡迎技術(shù)交流。

直線型濾波器設(shè)計(jì)預(yù)告

回到我們開(kāi)啟這一主題的初衷（模擬無(wú)源濾波器設(shè)計(jì)（一）），想要實(shí)現(xiàn)一個(gè)直線型濾波器設(shè)計(jì)，現(xiàn)在做了這么多鋪墊，我們終于有能力設(shè)計(jì)出這樣一個(gè)直線型濾波器了。直線型濾波器不也是一種單調(diào)濾波器嗎！只要讓斜率小于0即可。但是我們應(yīng)該也需要考慮到直線型濾波器實(shí)際上會(huì)出現(xiàn)頻率響應(yīng)大于0的情況出現(xiàn)，這里解決方案類(lèi)似于偶數(shù)階切比雪夫?yàn)V波器遇到的問(wèn)題那樣，實(shí)際上偶數(shù)階低通切比雪夫?yàn)V波器在綜合時(shí)就出現(xiàn)了0頻率處幅度小于0的情況，當(dāng)時(shí)得到的結(jié)果是，當(dāng)濾波器兩邊不匹配時(shí)，即存在直流衰減情況下是可以實(shí)現(xiàn)的。所以我們可以列出直線型濾波器設(shè)計(jì)約束規(guī)則：

1,?是階多項(xiàng)式(可實(shí)現(xiàn)性，在頻率增益為0)

2,?(直線的第一個(gè)坐標(biāo)，在頻率為0的位置增益為IL,?)

3,?(直線的第二個(gè)坐標(biāo)，在頻率為1的位置增益為1，即最大值)

4, 在通帶范圍內(nèi)[0, 1]無(wú)紋波(直線特征)

編輯：黃飛

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