你啥電路都見過的嗎？下面這個電路可以用作隨機數(shù)發(fā)生器，混沌現(xiàn)象的真實演示器，來瞧一瞧吧！

　　下圖所示的設(shè)計實例是迭代單峰映射的一種簡單實現(xiàn)，讓人想起研究非線性動力學(xué)時遇到的邏輯斯諦映射或費爾哈斯（Verhulst）映射。它可以用來向?qū)W生展示混沌離散時間動力學(xué)，或作為隨機數(shù)發(fā)生器。具體的電路實現(xiàn)是：Vk+1 = rF（Vk），其中F是用圖中灰線框內(nèi)的電路實現(xiàn)的非線性單峰函數(shù)（一個“凸塊”）。這個電路的響應(yīng)顯示在Vout與Vin關(guān)系圖中。

圖1：Q1單峰函數(shù)電路的響應(yīng)

　　r是U1b提供的增益因子。U1a和U3a只是緩沖器。在時鐘信號的低電平期間，這個非線性函數(shù)的輸出電壓存儲在C1上。當(dāng)時鐘切換到高電平時，這個電壓將被傳遞到C2，然后用作單峰函數(shù)的下一個輸入。電路的供電電壓是12V。S3 （? 4066）用作反相器。

圖2：原理圖

　　在低增益設(shè)置（r）情況下，迭代將初始的零電壓作為穩(wěn)定平衡態(tài)：V* = rF（V*）。通過提高增益，電路從穩(wěn)定平衡態(tài)轉(zhuǎn)向n周期振蕩。n周期振蕩的迭代反復(fù)可以看作n次迭代映射的平衡態(tài)，比如對3周期振蕩來說V* =rF（rF（rF（V*）））。第一個示波器的屏幕截圖顯示了r=4.7時的情況。

圖3：r=4.7時的行為（紅線：Vk，藍線：時鐘）

　　進一步提高增益將導(dǎo)致混沌現(xiàn)象。理論上每個初始狀態(tài)或起始電壓都將導(dǎo)致永不重復(fù)的迭代順序。對這種迭代式混沌系統(tǒng)來說邏輯斯諦映射xn+1 = rxn（1-xn）是已知最好的模型，它使用的是拋物線函數(shù)。然而事實表明，任何單峰映射，包括像模映射這樣的非連續(xù)映射或像帳篷映射那樣的非平滑映射，都會導(dǎo)致混沌現(xiàn)象，因此需要使用晶體管Q1周邊的簡單電路。

圖4：r=6.7時的行為，需要將示波器持續(xù)時間設(shè)為無限，并在盡可能接近所獲電壓峰值時觸發(fā)

　　圖4顯示了確定性混沌事件的關(guān)鍵屬性：對初始狀態(tài)的敏感依賴。接近（但稍稍不等于）的起始條件（觸發(fā)電壓）在經(jīng)過幾次更新后將導(dǎo)致分散的迭代序列。一般來講，存在一種“事件視界”。預(yù)測下一次迭代很容易，但預(yù)測當(dāng)前狀態(tài)之后的第二十次迭代幾乎是不可能的，因為我們到時必須很精確地知道起始條件。重要的是，即使這個系統(tǒng)可以做到?jīng)]有噪聲（就像理論上的邏輯斯諦映射一樣），它還是會輸出一個混沌序列。

　　至于應(yīng)用，這個電路可以用作隨機數(shù)發(fā)生器，混沌現(xiàn)象的真實演示器，還可以讓那些聲稱啥電路都見過的書呆子們開開眼。