1 基本概念與應(yīng)用

1）LFSR：線性反饋移位寄存器（linear feedback shift register， LFSR）是指給定前一狀態(tài)的輸出，將該輸出的線性函數(shù)再用作輸入的移位寄存器。異或運(yùn)算是最常見的單比特線性函數(shù)：對寄存器的某些位進(jìn)行異或操作后作為輸入，再對寄存器中的各比特進(jìn)行整體移位。

LFSR 產(chǎn)生的兩種形式為伽羅瓦（Galois）和斐波那契（Fibonacci）兩種形式。也有成為外部（External）執(zhí)行方式和內(nèi)部（Internal）執(zhí)行方式。

（1）伽羅瓦方式（Internal）

Galois 方式特征數(shù)據(jù)的方向從左至右，反饋線路是從右至左。其中 X^0 項(xiàng)（本原多項(xiàng)式里面的‘1’這一項(xiàng)）作為起始項(xiàng)。按照本原多項(xiàng)式的指示確定異或門（XOR）在移位寄存器電路上的位置。如上圖所示 X^4。因此 Galois 方式也有人稱作線內(nèi)或模類型（M- 型）LFSR。

（2）斐波那契方式（External）

從圖中我們可以看到 Fibonacci 方式的數(shù)學(xué)流向和反饋形式是恰好跟 Galois 方式相反的，按照本原多項(xiàng)式，其中 X^0 這一項(xiàng)作為最后一項(xiàng)，這里需要一個 XOR 門，將本原多項(xiàng)式中所給的 taps 來設(shè)定它的異或方式。因此 Fibonacci 方式也被叫做線外或者簡型（S- 型）LFSR。

2）本原多項(xiàng)式

本原多項(xiàng)式是近世代數(shù)中的一個概念，是唯一分解整環(huán)上滿足所有系數(shù)的最大公因數(shù)為 1 的多項(xiàng)式。本原多項(xiàng)式不等于零，與本原多項(xiàng)式相伴的多項(xiàng)式仍為本原多項(xiàng)式。

（1）在 MATLAB 中，本原多項(xiàng)式可以通過函數(shù) primpoly（x）來產(chǎn)生。

（2）在 MATLAB 中，通過函數(shù) gfprimfd（m，‘min’）可以找到一個最小的本原多項(xiàng)式。

3）應(yīng)用

誤碼率測量 -- 在數(shù)字通信中誤碼率是一項(xiàng)重要的質(zhì)量指標(biāo)，在實(shí)際測量數(shù)字通信系統(tǒng)的誤碼率時，一般來說，測量結(jié)果與信源發(fā)出信號的統(tǒng)計(jì)特性有關(guān)。通常認(rèn)為二進(jìn)制信號 0 和 1 是以等概率隨機(jī)出現(xiàn)的。所以測量誤碼率時最理想的信源應(yīng)是偽隨機(jī)序列產(chǎn)生器。這樣測量的結(jié)果，我們認(rèn)為是符合實(shí)際運(yùn)用時的情況。

時延測量 -- 有時我們需要測量信號經(jīng)過某一傳輸路徑所收到的時間延遲，例如，需要測量某一延遲線的時間延遲。另外，我們還常常通過測量一無線電信號在某個媒質(zhì)中的傳播時間，從而折算傳播距離，即利用無線電信號測距。這就是說，這種測距的原理實(shí)質(zhì)上也是測量延遲。

噪聲產(chǎn)生器 -- 測量通信系統(tǒng)的性能時，常常要使用噪聲產(chǎn)生器，由它給出具有所要求的統(tǒng)計(jì)特性和頻率特性的噪聲，并且可以隨意控制其強(qiáng)度，以便得到不同信噪比條件下的系統(tǒng)性能。例如，在許多情況下，要求它能產(chǎn)生限帶白色高斯噪聲。

通信加密、數(shù)據(jù)序列的加擾與解擾、擴(kuò)展頻譜通信、分離多徑技術(shù)等等。

2 偽隨機(jī)序列的原理

對于某種反饋邏輯、初始化狀態(tài)非全零時，若輸出序列周期最長（P=2r-1），稱為 m 序列，也稱為偽隨機(jī)序列。

偽隨機(jī)序列通常由反饋移位寄存器產(chǎn)生，又可分為線性反饋移位寄存器和非線性反饋移位寄存器兩類。由線性反饋移位寄存器產(chǎn)生出的周期最長的二進(jìn)制數(shù)字序列稱為最大長度線性反饋移位寄存器，即為通常說的 m 序列，因其理論成熟，實(shí)現(xiàn)簡單，應(yīng)用較為廣泛。下面介紹 m 序列的產(chǎn)生原理。

在二進(jìn)制多級移位寄存器中，若線性反饋移位寄存器（LFSR）有 n 階（即有 n 級寄存器），則所能產(chǎn)生的最大長度的碼序列為 2n-1 位。如果數(shù)字信號直接取自 LFSR（非翻轉(zhuǎn)信號）的輸出，那么最長的連 0 數(shù)為 n-1。除了字符串的連 0 和連 1，偽隨機(jī)序列在一個長度為 n 的字符串中將包含任何可能的 0 和 1 的組合。要使移位寄存器產(chǎn)生確定的值，必須置其初值并允許時鐘電路產(chǎn)生移位時鐘。

線性反饋移位寄存器產(chǎn)生 m 序列

在圖中給出一個一般的線性反饋移位寄存器的組成。圖中一級移存器的狀態(tài)用表示，=0 或 1，i=整數(shù)。反饋線的連接狀態(tài)用 表示，=1 表示此線接通（參加反饋），=0 表示此線斷開。我們不難推想，反饋線的連接狀態(tài)不同，就可能改變此移存器輸出序列的周期 p。

的取值決定了移存器的反饋連接和序列的結(jié)構(gòu)，也就是決定了序列的周期。用特征多項(xiàng)式表示為：

當(dāng)特征多項(xiàng)式符合某些條件時稱為本原多項(xiàng)式。在設(shè)計(jì) m 序列產(chǎn)生器時，移位寄存器反饋線的結(jié)構(gòu)直接決定于本原多項(xiàng)式的結(jié)構(gòu)。也就是只要找到本原多項(xiàng)式，就能由它構(gòu)成 m 序列產(chǎn)生器。

3 matlab 的 LFSR 驗(yàn)證

1）matlab 函數(shù)產(chǎn)生本原多項(xiàng)式

clear all

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primpoly（8）;

2）本原多項(xiàng)式產(chǎn)生隨機(jī)序列

clear all

close all

% m=8

% x^8+x^4+x^3+x^2+1

% 435

s=［1 1 1 1 1 1 1 1］;

t=［8 4 3 2］;

［seq c］=LFSRv1（s，t）;

4 FPGA 的 LSFR 驗(yàn)證

1）fpga 實(shí)現(xiàn)本原多項(xiàng)式

如上圖所示，當(dāng) fpga 仿真的輸入種子和 matlab 的輸入種子一致時產(chǎn)生的序列一致。

上圖為隨機(jī)序列的模擬信號展示。

3）在產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)序列的基礎(chǔ)上我們可以進(jìn)一步去產(chǎn)生符合高斯分布的高斯白噪聲