尺度函數(shù)族

眾所周知,小波變換的雙正交基就來自與小波函數(shù)和尺度函數(shù),而他們通過scale和平移來得到的小波函數(shù)族和尺度函數(shù)族表示了不同小波(尺度)函數(shù)的分辨率,下面來用公式回顧一下:

小波函數(shù)定義

尺度函數(shù)分辨率沿拓

事實(shí)上,尺度函數(shù)族中的尺度 j 決定著不同的時(shí)間分辨率

而實(shí)際上(證明請(qǐng)看參考資料),高時(shí)間分辨率的尺度函數(shù)必然可以代表低時(shí)間分辨率的尺度函數(shù),如上圖的三角尺度函數(shù)可以表示為:

多分辨分析(MRA)方程

尺度函數(shù)的MRA方程

有了上面的鋪墊,這里就比較簡(jiǎn)單了,因?yàn)槲覀冎?低分辨率信號(hào)可以由高分辨率信號(hào)線性表達(dá),所以我們可以看出,高分辨率信號(hào)所張成的空間必然包含低分辨率張成的空間:

小波函數(shù)的MRA方程

講小波函數(shù)的MRA方程之前,我們不妨來回顧一下IDWT的定義:

自然而然,我們可以知道小波函數(shù)的MRA方程的遞歸意義是更為重要的,所以有:

所以多級(jí)的大家也會(huì)求了吧...

可以簡(jiǎn)單地看出,信號(hào)經(jīng)過小波函數(shù)系數(shù)(尺度函數(shù)系數(shù))之后還需要經(jīng)過一個(gè)抽取的過程,這個(gè)的話自己看看小波函數(shù)和尺度函數(shù)的定義式就可以了

離散小波變換的重構(gòu)算法

這里是相似的,而且由于懶的原因我沒有做重構(gòu),所以也直接放圖:

可以簡(jiǎn)單地看出,信號(hào)經(jīng)過小波函數(shù)系數(shù)(尺度函數(shù)系數(shù))之后還需要經(jīng)過一個(gè)內(nèi)插的過程,這個(gè)的話自己看看小波函數(shù)和尺度函數(shù)的定義式就可以了.

需要注意的是,可以先抽取再濾波,但是不能先濾波后內(nèi)插,見上圖,(常識(shí))

小波變換(DWT)的FPGA實(shí)現(xiàn)

眾所周知,這次我們要實(shí)現(xiàn)的算法框圖是這個(gè):

多相結(jié)構(gòu)模型

本來我是直接按照算法流程實(shí)現(xiàn)了DWT,然后講抽取和濾波對(duì)調(diào)了位置(為了提高系統(tǒng)的性能)

后來從網(wǎng)上僅有的資料中查看到別人做了多相分解,后面我想了想,如果不用多相結(jié)構(gòu)的話,相當(dāng)于原信號(hào)的先經(jīng)過了一次抽取,也是極大地浪費(fèi)了信號(hào). 又有:

所以我們將信號(hào)和濾波器系數(shù)都進(jìn)行奇偶分解,分別進(jìn)行濾波,得到整體FPGA框圖:

接下來我們簡(jiǎn)單地理一下過程

3. 以db4小波為示例,其他小波只需要改改濾波器和matalb就可以了
4. 僅實(shí)現(xiàn)一級(jí)分解,多級(jí)分解只要自己認(rèn)真看博客就知道怎么做了

信號(hào)奇偶分解:

這個(gè)模塊比較簡(jiǎn)單,但是想設(shè)計(jì)好需要一點(diǎn)小心思,思路就是做一個(gè)二分頻時(shí)鐘,上升沿將數(shù)據(jù)寫入偶數(shù)部分,下降沿將數(shù)據(jù)寫入奇數(shù)部分,這里不給出代碼

matlab獲取濾波器系數(shù)

代碼很簡(jiǎn)單,先生成,再量化:

wn='db4';
[Ld,Hd,Lr,Hr] = wfilters(wn);
k=0:length(Ld)-1;
 subplot(221);stem(k,Ld);
 title('低通分解濾波器Ld');
 subplot(222);stem(k,Lr);
 title('低通重建濾波器Lr');
 subplot(223);stem(k,Hd);
 title('高通分解濾波器Hd');
 subplot(224);stem(k,Hd);
 title('高通重建濾波器Hr');

qua_ld = round(Ld*2^8);
qua_hd = round(Hd*2^8);
qua_lr = round(Lr*2^8);
qua_hr = round(Hr*2^8);
disp(qua_ld);
disp(qua_hd);
disp(qua_lr);
disp(qua_hr);

FPGA設(shè)計(jì)濾波器

這里的流程跟我上一篇博客,FPGA/Verilog 設(shè)計(jì)FIR濾波器 ^[2]^ 是相似的,這里不多說,給出一個(gè)濾波器的源碼:

module filter_hd_e(
 //clock and reset
 input CLK_50M,RST_N,
 //filter in out
 input  signed [15:0] data_in_hd_e,
 output signed [19:0] hd_out_e
);
localparam COEFF1,COEFF3,COEFF5,COEFF7;  //過長(zhǎng)省略
wire signed [19:0] add_result;
reg signed [15:0] data_shift[3:0];
wire signed [23:0]  mul_data[3:0]; 

 add_final add_inst(
 .clock       (CLK_50M),
 .data0x      (mul_data[0][23:8]),
 .data1x      (mul_data[1][23:8]),
 .data2x      (mul_data[2][23:8]),
 .data3x      (mul_data[3][23:8]),
 .result      (add_result)
);
always @ (posedge CLK_50M or negedge RST_N)
begin
    if(!RST_N)begin
        data_shift[0]  <= 0;
        data_shift[1]  <= 0;
        data_shift[2]  <= 0;
        data_shift[3]  <= 0;
    end
    else begin 
        data_shift[3]  <= data_shift[2];
        data_shift[2]  <= data_shift[1];
        data_shift[1]  <= data_shift[0]; 
        data_shift[0]  <= data_in_hd_e;
    end                  
end
mult mult_inst_1 ( data_shift[0] *COEFF1 //下同
mult mult_inst_2 (
mult mult_inst_3 (
mult mult_inst_4 ( //過長(zhǎng)省略
assign hd_out_e = add_result;

endmodule

大家對(duì)應(yīng)這框圖可能會(huì)說我怎么沒有把濾波器系數(shù)給翻轉(zhuǎn),這個(gè)問題的話,大家可以看看那個(gè)獲取系數(shù)的函數(shù)描述,他本來就幫我們翻轉(zhuǎn)了.

加法器就算了,過于簡(jiǎn)單

matlab產(chǎn)生激勵(lì)

這個(gè)在上一篇博客中也有提及,但是這次我們不是直接產(chǎn)生mif文件,而是選擇在仿真的時(shí)候讀入數(shù)據(jù),所以代碼就是:

depth = 1024;
width = 16;
x = 0 : 2*pi/(depth-1) :2*pi;
y = sin(x)+sin(8*x);
y = (y/2) * 32768;%將信號(hào)放大32768倍
y(360:400) = 32767;    //為了小波變換的戲劇性效果設(shè)置
b = signed2unsigned(y,width);
fid = fopen('sinx.txt','wt'); %將信號(hào)寫入一個(gè).txt文件中
for num=0 : (depth-1) 
fprintf(fid,'%x\\n',round(b(num+1)));
end
fclose(fid);

仿真結(jié)果

用tb讀入數(shù)據(jù):

integer i;   //數(shù)組坐標(biāo)
reg signed [15:0] stimulus[1:data_num];  //數(shù)組形式存儲(chǔ)讀出的數(shù)據(jù)
initial 
begin
    RST_N = 1'b1;
 #60 RST_N = 1'b0;
 #60 RST_N = 1'b1; 
    $readmemh("sinx.txt", stimulus);  //將txt文件中的數(shù)據(jù)存儲(chǔ)在數(shù)組中
    i = 0;
    repeat(data_num) begin   //重復(fù)讀取數(shù)組中的數(shù)據(jù)
        i = i + 1;
        data_in = stimulus[i]; 
        #PERIOD;         //每個(gè)時(shí)鐘讀取一次
    end
  $stop;
end

那么又到了緊張刺激的,看波形環(huán)節(jié): matlab計(jì)算:

fpga計(jì)算: