RSA加密算法

　　RSA加密算法簡(jiǎn)史

　　RSA是1977年由羅納德·李維斯特（Ron Rivest）、阿迪·薩莫爾（Adi Shamir）和倫納德·阿德曼（Leonard Adleman）一起提出的。當(dāng)時(shí)他們?nèi)硕荚诼槭±砉W(xué)院工作。RSA就是他們?nèi)诵帐祥_(kāi)頭字母拼在一起組成的。

　　公鑰與密鑰的產(chǎn)生

　　假設(shè)Alice想要通過(guò)一個(gè)不可靠的媒體接收Bob的一條私人訊息。她可以用以下的方式來(lái)產(chǎn)生一個(gè)公鑰和一個(gè)私鑰：

　　隨意選擇兩個(gè)大的質(zhì)數(shù)p和q，p不等于q，計(jì)算N=pq。

　　根據(jù)歐拉函數(shù)，求得r = （p-1）（q-1）

　　選擇一個(gè)小于 r 的整數(shù) e，求得 e 關(guān)于模 r 的模反元素，命名為d。（模反元素存在，當(dāng)且僅當(dāng)e與r互質(zhì)）

　　將 p 和 q 的記錄銷(xiāo)毀。

　?。∟，e）是公鑰，（N，d）是私鑰。Alice將她的公鑰（N，e）傳給Bob，而將她的私鑰（N，d）藏起來(lái)。

　　加密消息

　　假設(shè)Bob想給Alice送一個(gè)消息m，他知道Alice產(chǎn)生的N和e。他使用起先與Alice約好的格式將m轉(zhuǎn)換為一個(gè)小于N的整數(shù)n，比如他可以將每一個(gè)字轉(zhuǎn)換為這個(gè)字的Unicode碼，然后將這些數(shù)字連在一起組成一個(gè)數(shù)字。假如他的信息非常長(zhǎng)的話，他可以將這個(gè)信息分為幾段，然后將每一段轉(zhuǎn)換為n。用下面這個(gè)公式他可以將n加密為c：

　　ne ≡ c （mod N）

　　計(jì)算c并不復(fù)雜。Bob算出c后就可以將它傳遞給Alice。

　　解密消息

　　Alice得到Bob的消息c后就可以利用她的密鑰d來(lái)解碼。她可以用以下這個(gè)公式來(lái)將c轉(zhuǎn)換為n：

　　cd ≡ n （mod N）

　　得到n后，她可以將原來(lái)的信息m重新復(fù)原。

　　解碼的原理是：

　　cd ≡ n e·d（mod N）

　　以及ed ≡ 1 （mod p-1）和ed ≡ 1 （mod q-1）。由費(fèi)馬小定理可證明（因?yàn)閜和q是質(zhì)數(shù)）

　　n e·d ≡ n （mod p） 　　和 　n e·d ≡ n （mod q）

　　這說(shuō)明（因?yàn)閜和q是不同的質(zhì)數(shù)，所以p和q互質(zhì)）

　　n e·d ≡ n （mod pq）

　　簽名消息

　　RSA也可以用來(lái)為一個(gè)消息署名。假如甲想給乙傳遞一個(gè)署名的消息的話，那么她可以為她的消息計(jì)算一個(gè)散列值（Message digest），然后用她的密鑰（private key）加密這個(gè)散列值并將這個(gè)“署名”加在消息的后面。這個(gè)消息只有用她的公鑰才能被解密。乙獲得這個(gè)消息后可以用甲的公鑰解密這個(gè)散列值，然后將這個(gè)數(shù)據(jù)與他自己為這個(gè)消息計(jì)算的散列值相比較。假如兩者相符的話，那么他就可以知道發(fā)信人持有甲的密鑰，以及這個(gè)消息在傳播路徑上沒(méi)有被篡改過(guò)。

　　編程實(shí)踐

　　下面，開(kāi)始我們的重點(diǎn)環(huán)節(jié)：編程實(shí)踐。在開(kāi)始編程前，我們通過(guò)計(jì)算，來(lái)確定公鑰和密鑰。

　　計(jì)算公鑰和密鑰

　　假設(shè)p = 3、q = 11（p，q都是素?cái)?shù)即可。），則N = pq = 33；

　　r = （p-1）（q-1） = （3-1）（11-1） = 20；

　　根據(jù)模反元素的計(jì)算公式，我們可以得出，e·d ≡ 1 （mod 20），即e·d = 20n+1 （n為正整數(shù)）；我們假設(shè)n=1，則e·d = 21。e、d為正整數(shù)，并且e與r互質(zhì)，則e = 3，d = 7。（兩個(gè)數(shù)交換一下也可以。）

　　到這里，公鑰和密鑰已經(jīng)確定。公鑰為（N， e） = （33， 3），密鑰為（N， d） = （33， 7）。

　　編程實(shí)現(xiàn)

　　下面我們使用Java來(lái)實(shí)現(xiàn)一下加密和解密的過(guò)程。具體代碼如下：

　　RSA算法實(shí)現(xiàn)：

　?。踛ava］ view plaincopy《span style=“font-size:14px;”》package security.rsa;

　　public class RSA {

　　/**

　　* 加密、解密算法

　　* @param key 公鑰或密鑰

　　* @param message 數(shù)據(jù)

　　* @return

　　*/

　　public static long rsa（int baseNum， int key， long message）{

　　if（baseNum 《 1 || key 《 1）{

　　return 0L;

　　}

　　//加密或者解密之后的數(shù)據(jù)

　　long rsaMessage = 0L;

　　//加密核心算法

　　rsaMessage = Math.round（Math.pow（message， key）） % baseNum;

　　return rsaMessage;

　　}

　　public static void main（String［］ args）{

　　//基數(shù)

　　int baseNum = 3 * 11;

　　//公鑰

　　int keyE = 3;

　　//密鑰

　　int keyD = 7;

　　//未加密的數(shù)據(jù)

　　long msg = 24L;

　　//加密后的數(shù)據(jù)

　　long encodeMsg = rsa（baseNum， keyE， msg）;

　　//解密后的數(shù)據(jù)

　　long decodeMsg = rsa（baseNum， keyD， encodeMsg）;

　　System.out.println（“加密前：” + msg）;

　　System.out.println（“加密后：” + encodeMsg）;

　　System.out.println（“解密后：” + decodeMsg）;

　　}

　　《/span》

　　}