哈夫曼算法的理解及原理分析,算法實(shí)現(xiàn),構(gòu)造哈夫曼樹(shù)的算法 - 全文

　　哈夫曼樹(shù)的介紹

　　Huffman Tree，中文名是哈夫曼樹(shù)或霍夫曼樹(shù)，它是最優(yōu)二叉樹(shù)。

　　定義：給定n個(gè)權(quán)值作為n個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)，構(gòu)造一棵二叉樹(shù)，若樹(shù)的帶權(quán)路徑長(zhǎng)度達(dá)到最小，則這棵樹(shù)被稱(chēng)為哈夫曼樹(shù)。這個(gè)定義里面涉及到了幾個(gè)陌生的概念，下面就是一顆哈夫曼樹(shù)，我們來(lái)看圖解答。

　　哈夫曼算法的理解及原理分析,構(gòu)造哈夫曼樹(shù)的算法

　?。?）路徑和路徑長(zhǎng)度

　　定義：在一棵樹(shù)中，從一個(gè)結(jié)點(diǎn)往下可以達(dá)到的孩子或?qū)O子結(jié)點(diǎn)之間的通路，稱(chēng)為路徑。通路中分支的數(shù)目稱(chēng)為路徑長(zhǎng)度。若規(guī)定根結(jié)點(diǎn)的層數(shù)為1，則從根結(jié)點(diǎn)到第L層結(jié)點(diǎn)的路徑長(zhǎng)度為L(zhǎng)-1。

　　例子：100和80的路徑長(zhǎng)度是1，50和30的路徑長(zhǎng)度是2，20和10的路徑長(zhǎng)度是3。

　　（2）結(jié)點(diǎn)的權(quán)及帶權(quán)路徑長(zhǎng)度

　　定義：若將樹(shù)中結(jié)點(diǎn)賦給一個(gè)有著某種含義的數(shù)值，則這個(gè)數(shù)值稱(chēng)為該結(jié)點(diǎn)的權(quán)。結(jié)點(diǎn)的帶權(quán)路徑長(zhǎng)度為：從根結(jié)點(diǎn)到該結(jié)點(diǎn)之間的路徑長(zhǎng)度與該結(jié)點(diǎn)的權(quán)的乘積。

　　例子：節(jié)點(diǎn)20的路徑長(zhǎng)度是3，它的帶權(quán)路徑長(zhǎng)度= 路徑長(zhǎng)度 * 權(quán) = 3 * 20 = 60。

　　（3）樹(shù)的帶權(quán)路徑長(zhǎng)度

　　定義：樹(shù)的帶權(quán)路徑長(zhǎng)度規(guī)定為所有葉子結(jié)點(diǎn)的帶權(quán)路徑長(zhǎng)度之和，記為WPL。

　　例子：示例中，樹(shù)的WPL= 1*100 + 2*50 + 3*20 + 3*10 = 100 + 100 + 60 + 30 = 290。

　　比較下面兩棵樹(shù)

　　哈夫曼算法的理解及原理分析,構(gòu)造哈夫曼樹(shù)的算法

　　上面的兩棵樹(shù)都是以{10， 20， 50， 100}為葉子節(jié)點(diǎn)的樹(shù)。

　　左邊的樹(shù)WPL=2*10 + 2*20 + 2*50 + 2*100 = 360

　　右邊的樹(shù)WPL=290

　　左邊的樹(shù)WPL 》右邊的樹(shù)的WPL。你也可以計(jì)算除上面兩種示例之外的情況，但實(shí)際上右邊的樹(shù)就是{10，20，50，100}對(duì)應(yīng)的哈夫曼樹(shù)。至此，應(yīng)該對(duì)哈夫曼樹(shù)的概念有了一定的了解了，下面看看如何去構(gòu)造一棵哈夫曼樹(shù)。

　　哈夫曼樹(shù)的圖文解析

　　假設(shè)有n個(gè)權(quán)值，則構(gòu)造出的哈夫曼樹(shù)有n個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)。 n個(gè)權(quán)值分別設(shè)為 w1、w2、…、wn，哈夫曼樹(shù)的構(gòu)造規(guī)則為：

　　1. 將w1、w2、…，wn看成是有n 棵樹(shù)的森林（每棵樹(shù)僅有一個(gè)結(jié)點(diǎn)）；

　　2. 在森林中選出根結(jié)點(diǎn)的權(quán)值最小的兩棵樹(shù)進(jìn)行合并，作為一棵新樹(shù)的左、右子樹(shù)，且新樹(shù)的根結(jié)點(diǎn)權(quán)值為其左、右子樹(shù)根結(jié)點(diǎn)權(quán)值之和；

　　3. 從森林中刪除選取的兩棵樹(shù)，并將新樹(shù)加入森林；

　　4. 重復(fù)（02）、（03）步，直到森林中只剩一棵樹(shù)為止，該樹(shù)即為所求得的哈夫曼樹(shù)。

　　以{5，6，7，8，15}為例，來(lái)構(gòu)造一棵哈夫曼樹(shù)。

　　哈夫曼算法的理解及原理分析,構(gòu)造哈夫曼樹(shù)的算法

　　第1步：創(chuàng)建森林，森林包括5棵樹(shù)，這5棵樹(shù)的權(quán)值分別是5，6，7，8，15。

　　第2步：在森林中，選擇根節(jié)點(diǎn)權(quán)值最小的兩棵樹(shù)（5和6）來(lái)進(jìn)行合并，將它們作為一顆新樹(shù)的左右孩子（誰(shuí)左誰(shuí)右無(wú)關(guān)緊要，這里，我們選擇較小的作為左孩子），并且新樹(shù)的權(quán)值是左右孩子的權(quán)值之和。即，新樹(shù)的權(quán)值是11。然后，將“樹(shù)5”和“樹(shù)6”從森林中刪除，并將新的樹(shù)（樹(shù)11）添加到森林中。

　　第3步：在森林中，選擇根節(jié)點(diǎn)權(quán)值最小的兩棵樹(shù)（7和8）來(lái)進(jìn)行合并。得到的新樹(shù)的權(quán)值是15。然后，將“樹(shù)7”和“樹(shù)8”從森林中刪除，并將新的樹(shù)（樹(shù)15）添加到森林中。

　　第4步：在森林中，選擇根節(jié)點(diǎn)權(quán)值最小的兩棵樹(shù)（11和15）來(lái)進(jìn)行合并。得到的新樹(shù)的權(quán)值是26。然后，將“樹(shù)11”和“樹(shù)15”從森林中刪除，并將新的樹(shù)（樹(shù)26）添加到森林中。

　　第5步：在森林中，選擇根節(jié)點(diǎn)權(quán)值最小的兩棵樹(shù)（15和26）來(lái)進(jìn)行合并。得到的新樹(shù)的權(quán)值是41。然后，將“樹(shù)15”和“樹(shù)26”從森林中刪除，并將新的樹(shù)（樹(shù)41）添加到森林中。

　　此時(shí)，森林中只有一棵樹(shù)（樹(shù)41）。這棵樹(shù)就是我們需要的哈夫曼樹(shù)！

　　哈夫曼樹(shù)是一種樹(shù)形結(jié)構(gòu)，用哈夫曼樹(shù)的方法解編程題的算法就叫做哈夫曼算法。樹(shù)并不是指植物，而是一種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，因?yàn)槠浯娣欧绞筋H有點(diǎn)象一棵樹(shù)有樹(shù)叉因而稱(chēng)為樹(shù)。最簡(jiǎn)哈夫曼樹(shù)是由德國(guó)數(shù)學(xué)家馮。哈夫曼發(fā)現(xiàn)的，此樹(shù)的特點(diǎn)就是引出的路程最短。

　　哈夫曼算法

　　哈夫曼樹(shù)是一種樹(shù)形結(jié)構(gòu)，用哈夫曼樹(shù)的方法解編程題的算法就叫做哈夫曼算法。樹(shù)并不是指植物，而是一種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。

　　定義：它是由n個(gè)帶權(quán)葉子結(jié)點(diǎn)構(gòu)成的所有二叉樹(shù)中帶權(quán)路徑長(zhǎng)度最短的二叉樹(shù)。因?yàn)檫@種樹(shù)最早由哈夫曼（Huffman）研究，所以稱(chēng)為哈夫曼樹(shù)，又叫最優(yōu)二叉樹(shù)。

　　構(gòu)造哈夫曼樹(shù)

　?。踙tml］ view plain copy/*

　　* 創(chuàng)建Huffman樹(shù)

　　* @param 權(quán)值數(shù)組

　　public Huffman（int a［］） {

　　HuffmanNode parent = null;

　　MinHeap heap;

　　// 建立數(shù)組a對(duì)應(yīng)的最小堆

　　heap = new MinHeap（a）;

　　for（int i=0; i《a.length-1; i++） {

　　HuffmanNode left = heap.dumpFromMinimum（）; // 最小節(jié)點(diǎn)是左孩子

　　HuffmanNode right = heap.dumpFromMinimum（）; // 其次才是右孩子

　　// 新建parent節(jié)點(diǎn)，左右孩子分別是left/right；

　　// parent的大小是左右孩子之和

　　parent = new HuffmanNode（left.key+right.key， left， right， null）;

　　left.parent = parent;

　　right.parent = parent;

　　// 將parent節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)拷貝到“最小堆”中

　　heap.insert（parent）;

　　}

　　mRoot = parent;

　　// 銷(xiāo)毀最小堆

　　heap.destroy（）;

　　}

　　首先創(chuàng)建最小堆，然后進(jìn)入for循環(huán)。

　　每次循環(huán)時(shí)：

　?。?）首先，將最小堆中的最小節(jié)點(diǎn)拷貝一份并賦值給left，然后重塑最小堆（將最小節(jié)點(diǎn)和后面的節(jié)點(diǎn)交換位置，接著將“交換位置后的最小節(jié)點(diǎn)”之前的全部元素重新構(gòu)造成最小堆）；

　?。?）接著，再將最小堆中的最小節(jié)點(diǎn)拷貝一份并將其賦值right，然后再次重塑最小堆；

　　（3）然后，新建節(jié)點(diǎn)parent，并將它作為left和right的父節(jié)點(diǎn)；

　?。?）接著，將parent的數(shù)據(jù)復(fù)制給最小堆中的指定節(jié)點(diǎn)。

　　哈夫曼算法原理

　　1952年， David A. Huffman提出了一個(gè)不同的算法，這個(gè)算法可以為任何的可能性提供出一個(gè)理想的樹(shù)。香農(nóng)-范諾編碼（Shanno-Fano）是從樹(shù)的根節(jié)點(diǎn)到葉子節(jié)點(diǎn)所進(jìn)行的的編碼，哈夫曼編碼算法卻是從相反的方向，暨從葉子節(jié)點(diǎn)到根節(jié)點(diǎn)的方向編碼的。

　　1.為每個(gè)符號(hào)建立一個(gè)葉子節(jié)點(diǎn)，并加上其相應(yīng)的發(fā)生頻率

　　2.當(dāng)有一個(gè)以上的節(jié)點(diǎn)存在時(shí)，進(jìn)行下列循環(huán)：

　　1）把這些節(jié)點(diǎn)作為帶權(quán)值的二叉樹(shù)的根節(jié)點(diǎn)，左右子樹(shù)為空

　　2）選擇兩棵根結(jié)點(diǎn)權(quán)值最小的樹(shù)作為左右子樹(shù)構(gòu)造一棵新的二叉樹(shù)，且至新的二叉樹(shù)的根結(jié)點(diǎn)的權(quán)值為其左右子樹(shù)上根結(jié)點(diǎn)的權(quán)值之和。

　　3）把權(quán)值最小的兩個(gè)根節(jié)點(diǎn)移除

　　4）將新的二叉樹(shù)加入隊(duì)列中。

　　5）最后剩下的節(jié)點(diǎn)暨為根節(jié)點(diǎn)，此時(shí)二叉樹(shù)已經(jīng)完成。

　　哈夫曼樹(shù)的應(yīng)用

　　哈夫曼編碼：

　　哈夫曼樹(shù)可以直接應(yīng)用于通信及數(shù)據(jù)傳送中的二進(jìn)制編碼。設(shè)： D=｛d1，d2，d3…dn｝為需要編碼的字符集合。

　　W=｛w1，w2，w3，…wn｝為D中各字符出現(xiàn)的頻率。現(xiàn)要對(duì)D中的字符進(jìn)行二進(jìn)制編碼，使得：

　　（1）按給出的編碼傳輸文件時(shí)，通信編碼的總長(zhǎng)最短。

　?。?）若di不等于dj，則di的編碼不可能是dj的編碼的開(kāi)始部分（前綴）。

　　滿(mǎn)足上述要求的二進(jìn)制編碼稱(chēng)為最優(yōu)前綴編碼。上述要求的第一條是為了提高傳輸?shù)乃俣?，第二條是為了保證傳輸?shù)?a target="_blank">信息在譯碼時(shí)無(wú)二性，所以在字符的編碼中間不需要添加任意的分割符。

　　對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，可以利用哈夫曼樹(shù)加以解決：用d1，d2，d3…dn作為外部結(jié)點(diǎn)，用w1，w2，w3…wn作為外部結(jié)點(diǎn)的權(quán)，構(gòu)造哈夫曼樹(shù)。在哈夫曼樹(shù)中把從每個(gè)結(jié)點(diǎn)引向其左子結(jié)點(diǎn)的邊標(biāo)上二進(jìn)制數(shù)“0”，把從每個(gè)結(jié)點(diǎn)引向右子節(jié)點(diǎn)的邊標(biāo)上二進(jìn)制數(shù)“1”，從根到每個(gè)葉結(jié)點(diǎn)的路徑上的二進(jìn)制數(shù)連接起來(lái)，就是這個(gè)葉結(jié)點(diǎn)所代表字符的最優(yōu)前綴編碼。通常把這種編碼稱(chēng)為哈夫曼編碼。例如：

　　D=｛d1，d2，d3，d4，d5，d6，d7，d8，d9，d10，d11，d12，d13｝ W=｛2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41｝利用哈夫曼算法構(gòu)造出如下圖所示的哈夫曼樹(shù)：

哈夫曼算法的理解及原理分析,構(gòu)造哈夫曼樹(shù)的算法

　　從而得到各字符的編碼為：

　　d1:1011110 d2:1011111

　　d3:101110 d4:10110

　　d5:0100 d6:0101

　　d7:1010 d8:000

　　d9:001 d10:011

　　d11:100 d12:110

　　d13:111

　　編碼的結(jié)果是，出現(xiàn)頻率大的字符其編碼較短，出現(xiàn)頻率較小的字符其編碼較長(zhǎng)。

　　哈夫曼算法實(shí)現(xiàn)

　　實(shí)現(xiàn)的時(shí)候我們用vector《bool》記錄每個(gè)char的編碼；用map《char，vector《bool》》表示整個(gè)字典；

　　就得到了下面的代碼（下面有兩個(gè)，一對(duì)一錯(cuò)）：

　　先放出來(lái)這個(gè)錯(cuò)的，以示警戒：

　?。踓pp］ view plain copy/************************************************************************/

　　/* File Name： Huffman.cpp

　　* @Function： Lossless Compression

　　@Author： Sophia Zhang

　　@Create Time： 2012-9-26 10:40

　　@Last Modify： 2012-9-26 11:10

　　/************************************************************************/

　　#include“iostream”

　　#include “queue”

　　#include “map”

　　#include “string”

　　#include “iterator”

　　#include “vector”

　　#include “algorithm”

　　using namespace std;

　　#define NChar 8 //suppose use at most 8 bits to describe all symbols

　　#define Nsymbols 1《《NChar //can describe 256 symbols totally （include a-z， A-Z）

　　typedef vector《bool》 Huff_code;//8 bit code of one char

　　map《char，Huff_code》 Huff_Dic; //huffman coding dictionary

　　class HTree

　　{

　　public ：

　　HTree* left;

　　HTree* right;

　　char ch;

　　int weight;

　　HTree（）{left = right = NULL; weight=0;}

　　HTree（HTree* l，HTree* r，int w，char c）{left = l; right = r; weight=w; ch=c;}

　　~HTree（）{delete left; delete right;}

　　int Getweight（）{return weight？weight:left-》weight+right-》weight;}

　　bool Isleaf（）{return ！left && ！right; }

　　bool operator 《（const HTree tr） const

　　{

　　return tr.weight 《 weight;

　　}

　　};

　　HTree* BuildTree（int *frequency）

　　{

　　priority_queue《HTree*》 QTree;

　　//1st level add characters

　　for （int i=0;i《Nsymbols;i++）

　　{

　　if（frequency［i］）

　　QTree.push（new HTree（NULL，NULL，frequency［i］，（char）i））;

　　}

　　//build

　　while （QTree.size（）》1）

　　{

　　HTree* lc = QTree.top（）;

　　QTree.pop（）;

　　HTree* rc = QTree.top（）;

　　QTree.pop（）;

　　HTree* parent = new HTree（lc，rc，parent-》Getweight（），（char）256）;

　　QTree.push（parent）;

　　}

　　//return tree root

　　return QTree.top（）;

　　}

　　void Huffman_Coding（HTree* root， Huff_code& curcode）

　　{

　　if（root-》Isleaf（））

　　{

　　Huff_Dic［root-》ch］ = curcode;

　　return;

　　}

　　Huff_code& lcode = curcode;

　　Huff_code& rcode = curcode;

　　lcode.push_back（false）;

　　rcode.push_back（true）;

　　Huffman_Coding（root-》left，lcode）;

　　Huffman_Coding（root-》right，rcode）;

　　}

　　int main（）

　　{

　　int freq［Nsymbols］ = {0};

　　char *str = “this is the string need to be compressed”;

　　//statistic character frequency

　　while （*str！=‘\0’）

　　freq［*str++］++;

　　//build tree

　　HTree* r = BuildTree（freq）;

　　Huff_code nullcode;

　　nullcode.clear（）;

　　Huffman_Coding（r，nullcode）;

　　for（map《char，Huff_code》：：iterator it = Huff_Dic.begin（）; it ！= Huff_Dic.end（）; it++）

　　{

　　cout《《（*it）.first《《‘\t’;

　　Huff_code vec_code = （*it）.second;

　　for （vector《bool》：：iterator vit = vec_code.begin（）; vit！=vec_code.end（）;vit++）

　　{

　　cout《《（*vit）《《endl;

　　}

　　上面這段代碼，我運(yùn)行出來(lái)不對(duì)。在調(diào)試的時(shí)候發(fā)現(xiàn)了一個(gè)問(wèn)題，就是QTree優(yōu)先隊(duì)列中的排序出了問(wèn)題，說(shuō)來(lái)也是，上面的代碼中，我重載小于號(hào)是對(duì)HTree object做的；而實(shí)際上我建樹(shù)時(shí)用的是指針，那么優(yōu)先級(jí)隊(duì)列中元素為指針時(shí)該怎么辦呢？

　　那我們將friend bool operator 》（Node node1，Node node2）修改為friend bool operator 》（Node* node1，Node* node2），也就是傳遞的是Node的指針行不行呢？

　　答案是不可以，因?yàn)楦鶕?jù)c++primer中重載操作符中講的“程序員只能為類(lèi)類(lèi)型或枚舉類(lèi)型的操作數(shù)定義重載操作符，在把操作符聲明為類(lèi)的成員時(shí)，至少有一個(gè)類(lèi)或枚舉類(lèi)型的參數(shù)按照值或者引用的方式傳遞”，也就是說(shuō)friend bool operator 》（Node* node1，Node* node2）形參中都是指針類(lèi)型的是不可以的。我們只能再建一個(gè)類(lèi)，用其中的重載（）操作符作為優(yōu)先隊(duì)列的比較函數(shù)。

　　就得到了下面正確的代碼：

　?。踓pp］ view plain copy/************************************************************************/

　　/* File Name： Huffman.cpp

　　* @Function： Lossless Compression

　　@Author： Sophia Zhang

　　@Create Time： 2012-9-26 10:40

　　@Last Modify： 2012-9-26 12:10

　　/************************************************************************/

　　#include“iostream”

　　#include “queue”

　　#include “map”

　　#include “string”

　　#include “iterator”

　　#include “vector”

　　#include “algorithm”

　　using namespace std;

　　#define NChar 8 //suppose use 8 bits to describe all symbols

　　#define Nsymbols 1《《NChar //can describe 256 symbols totally （include a-z， A-Z）

　　typedef vector《bool》 Huff_code;//8 bit code of one char

　　map《char，Huff_code》 Huff_Dic; //huffman coding dictionary

　　/************************************************************************/

　　/* Tree Class elements：

　　*2 child trees

　　*character and frequency of current node

　　/************************************************************************/

　　class HTree

　　{

　　public ：

　　HTree* left;

　　HTree* right;

　　char ch;

　　int weight;

　　HTree（）{left = right = NULL; weight=0;ch =‘\0’;}

　　HTree（HTree* l，HTree* r，int w，char c）{left = l; right = r; weight=w; ch=c;}

　　~HTree（）{delete left; delete right;}

　　bool Isleaf（）{return ！left && ！right; }

　　};

　　/************************************************************************/

　　/* prepare for pointer sorting*/

　　/*because we cannot use overloading in class HTree directly*/

　　/************************************************************************/

　　class Compare_tree

　　{

　　public：

　　bool operator （）（HTree* t1， HTree* t2）

　　{

　　return t1-》weight》 t2-》weight;

　　}

　　};

　　/************************************************************************/

　　/* use priority queue to build huffman tree*/

　　/************************************************************************/

　　HTree* BuildTree（int *frequency）

　　{

　　priority_queue《HTree*，vector《HTree*》，Compare_tree》 QTree;

　　//1st level add characters

　　for （int i=0;i《Nsymbols;i++）

　　{

　　if（frequency［i］）

　　QTree.push（new HTree（NULL，NULL，frequency［i］，（char）i））;

　　}

　　//build

　　while （QTree.size（）》1）

　　{

　　HTree* lc = QTree.top（）;

　　QTree.pop（）;

　　HTree* rc = QTree.top（）;

　　QTree.pop（）;

　　HTree* parent = new HTree（lc，rc，lc-》weight+rc-》weight，（char）256）;

　　QTree.push（parent）;

　　}

　　//return tree root

　　return QTree.top（）;

　　}

　　/************************************************************************/

　　/* Give Huffman Coding to the Huffman Tree*/

　　/************************************************************************/

　　void Huffman_Coding（HTree* root， Huff_code& curcode）

　　{

　　if（root-》Isleaf（））

　　{

　　Huff_Dic［root-》ch］ = curcode;

　　return;

　　}

　　Huff_code lcode = curcode;

　　Huff_code rcode = curcode;

　　lcode.push_back（false）;

　　rcode.push_back（true）;

　　Huffman_Coding（root-》left，lcode）;

　　Huffman_Coding（root-》right，rcode）;

　　}

　　int main（）

　　{

　　int freq［Nsymbols］ = {0};

　　char *str = “this is the string need to be compressed”;

　　//statistic character frequency

　　while （*str！=‘\0’）

　　freq［*str++］++;

　　//build tree

　　HTree* r = BuildTree（freq）;

　　Huff_code nullcode;

　　nullcode.clear（）;

　　Huffman_Coding（r，nullcode）;

　　for（map《char，Huff_code》：：iterator it = Huff_Dic.begin（）; it ！= Huff_Dic.end（）; it++）

　　{

　　cout《《（*it）.first《《‘\t’;

　　std：：copy（it-》second.begin（），it-》second.end（），std：：ostream_iterator《bool》（cout））;

　　cout《《endl;

　　}

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本文導(dǎo)航

第 1 頁(yè)：哈夫曼算法的理解及原理分析,算法實(shí)現(xiàn),構(gòu)造哈夫曼樹(shù)的算法
第 2 頁(yè)：哈夫曼樹(shù)的圖文解析
第 3 頁(yè)：哈夫曼算法原理
第 4 頁(yè)：哈夫曼算法實(shí)現(xiàn)

哈夫曼算法(5084) 哈夫曼算法(5084)
哈夫曼樹(shù)(1246) 哈夫曼樹(shù)(1246)

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哈夫曼樹(shù)的圖文解析

哈夫曼算法

構(gòu)造哈夫曼樹(shù)

哈夫曼算法原理

哈夫曼樹(shù)的應(yīng)用

哈夫曼算法實(shí)現(xiàn)

本文導(dǎo)航

評(píng)論

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