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北京大學2000年研究生入學考試試題
一（20分）質(zhì)量為 的粒子，在位勢
中運動，1）試給出存在束縛態(tài)的條件，并給出其能量本征值和相應(yīng)的本征函數(shù)；
2）給出粒子處于 區(qū)域中的幾率，它是大于 ，還是小于 ？為什么？
解：薛定諤方程可化為：
二、（10分）若 是氫原子的定態(tài)矢，計及自旋-軌道耦合。
1）給出 態(tài)的守恒量完全集；
2）若 ，則 態(tài)的那些量子數(shù)可能是不同的？為什么？
?解：1） 為耦合基矢，守恒量的完全集合是 ；
? 2）量子數(shù) 必然是相同的。量子數(shù) 可能是不同的。因為 不是 的本征函數(shù)。
（注： 是 的非零函數(shù)， 為電子自旋和坐標算符）
三、（16分）三個自旋為 的粒子，它們的哈密頓為 ，
求本征值和簡并度。
解：
??? 個自旋為 的粒子只有以下四個狀態(tài)：3個自旋均向上，3個自旋均向下，2個自旋向上、1個自旋向下，2個自旋向下、1個自旋向上，總自旋 ，組成四重態(tài)。
?????? 其本征函數(shù)分別為
?
? 的本征值為 ，簡并度為4.
四、（22分）兩個自旋為 的粒子，在 表象中的表示為 ，其中 是第 個粒子自旋向上的幾率， 是第 個粒子自旋向下的幾率。
? 1）求哈密頓量??? 的本征值和本征函數(shù)；
? 2） 時，體系處于
求 時刻發(fā)現(xiàn)體系在態(tài) 的幾率。
解：本征方程為
一（20分）質(zhì)量為 的粒子，在位勢
中運動，1）試給出存在束縛態(tài)的條件，并給出其能量本征值和相應(yīng)的本征函數(shù)；
2）給出粒子處于 區(qū)域中的幾率，它是大于 ，還是小于 ？為什么？
解：薛定諤方程可化為：
二、（10分）若 是氫原子的定態(tài)矢，計及自旋-軌道耦合。
1）給出 態(tài)的守恒量完全集；
2）若 ，則 態(tài)的那些量子數(shù)可能是不同的？為什么？
?解：1） 為耦合基矢，守恒量的完全集合是 ；
? 2）量子數(shù) 必然是相同的。量子數(shù) 可能是不同的。因為 不是 的本征函數(shù)。
（注： 是 的非零函數(shù)， 為電子自旋和坐標算符）
三、（16分）三個自旋為 的粒子，它們的哈密頓為 ，
求本征值和簡并度。
解：
??? 個自旋為 的粒子只有以下四個狀態(tài)：3個自旋均向上，3個自旋均向下，2個自旋向上、1個自旋向下，2個自旋向下、1個自旋向上，總自旋 ，組成四重態(tài)。
?????? 其本征函數(shù)分別為
?
? 的本征值為 ，簡并度為4.
四、（22分）兩個自旋為 的粒子，在 表象中的表示為 ，其中 是第 個粒子自旋向上的幾率， 是第 個粒子自旋向下的幾率。
? 1）求哈密頓量??? 的本征值和本征函數(shù)；
? 2） 時，體系處于
求 時刻發(fā)現(xiàn)體系在態(tài) 的幾率。
解：本征方程為
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