資料介紹
北京大學2000年研究生入學考試試題
一(20分)質(zhì)量為 的粒子,在位勢
中運動,1)試給出存在束縛態(tài)的條件,并給出其能量本征值和相應(yīng)的本征函數(shù);
2)給出粒子處于 區(qū)域中的幾率,它是大于 ,還是小于 ?為什么?
解:薛定諤方程可化為:
二、(10分)若 是氫原子的定態(tài)矢,計及自旋-軌道耦合。
1)給出 態(tài)的守恒量完全集;
2)若 ,則 態(tài)的那些量子數(shù)可能是不同的?為什么?
?解:1) 為耦合基矢,守恒量的完全集合是 ;
? 2)量子數(shù) 必然是相同的。量子數(shù) 可能是不同的。因為 不是 的本征函數(shù)。
(注: 是 的非零函數(shù), 為電子自旋和坐標算符)
三、(16分)三個自旋為 的粒子,它們的哈密頓為 ,
求本征值和簡并度。
解:
??? 個自旋為 的粒子只有以下四個狀態(tài):3個自旋均向上,3個自旋均向下,2個自旋向上、1個自旋向下,2個自旋向下、1個自旋向上,總自旋 ,組成四重態(tài)。
?????? 其本征函數(shù)分別為
?
? 的本征值為 ,簡并度為4.
四、(22分)兩個自旋為 的粒子,在 表象中的表示為 ,其中 是第 個粒子自旋向上的幾率, 是第 個粒子自旋向下的幾率。
? 1)求哈密頓量??? 的本征值和本征函數(shù);
? 2) 時,體系處于
求 時刻發(fā)現(xiàn)體系在態(tài) 的幾率。
解:本征方程為
一(20分)質(zhì)量為 的粒子,在位勢
中運動,1)試給出存在束縛態(tài)的條件,并給出其能量本征值和相應(yīng)的本征函數(shù);
2)給出粒子處于 區(qū)域中的幾率,它是大于 ,還是小于 ?為什么?
解:薛定諤方程可化為:
二、(10分)若 是氫原子的定態(tài)矢,計及自旋-軌道耦合。
1)給出 態(tài)的守恒量完全集;
2)若 ,則 態(tài)的那些量子數(shù)可能是不同的?為什么?
?解:1) 為耦合基矢,守恒量的完全集合是 ;
? 2)量子數(shù) 必然是相同的。量子數(shù) 可能是不同的。因為 不是 的本征函數(shù)。
(注: 是 的非零函數(shù), 為電子自旋和坐標算符)
三、(16分)三個自旋為 的粒子,它們的哈密頓為 ,
求本征值和簡并度。
解:
??? 個自旋為 的粒子只有以下四個狀態(tài):3個自旋均向上,3個自旋均向下,2個自旋向上、1個自旋向下,2個自旋向下、1個自旋向上,總自旋 ,組成四重態(tài)。
?????? 其本征函數(shù)分別為
?
? 的本征值為 ,簡并度為4.
四、(22分)兩個自旋為 的粒子,在 表象中的表示為 ,其中 是第 個粒子自旋向上的幾率, 是第 個粒子自旋向下的幾率。
? 1)求哈密頓量??? 的本征值和本征函數(shù);
? 2) 時,體系處于
求 時刻發(fā)現(xiàn)體系在態(tài) 的幾率。
解:本征方程為
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