如果一個FIR濾波器的脈沖響應(yīng)函數(shù)具有對稱性或反對稱性，則其相位響應(yīng)是頻率的線性函數(shù)r或附加一個固定的初始相位），這樣的濾波器稱為線性相位FIR濾波器。由于系數(shù)的對稱性，實現(xiàn)線性相位FIR濾波器所需要的乘法器數(shù)量只有相同長度FIR濾波器的r約）一半，并且沒有相位失真，因而線性相位FIR濾波器在無線通信，圖像處理，語音處理等領(lǐng)域有非常廣泛的應(yīng)用。在設(shè)計線性相位FIR濾波器時，通常需要給出通帶和阻帶的區(qū)間以及相應(yīng)誤差范圍r如通帶起伏，阻帶衰減等），有時還需要附加一些時域或頻域約束。常見的設(shè)計方法有窗函數(shù)法，頻率采樣法，等波紋法，線性規(guī)劃法，最小二乘法等。這些方法在計算量，優(yōu)化的目標函數(shù)，數(shù)值穩(wěn)定性等方面差別較大。窗函數(shù)法最為簡單，但它在任何意義上都不是最優(yōu)的。在給定通帶和阻帶起伏的約束下，等波紋法可以得到最短的濾波器。它的通帶和阻帶具有等波紋特性，在最大誤差最小化意義上是最優(yōu)的。但這種方法無法兼容濾波器的時域和頻域約束。線性規(guī)劃法需要占用大量的內(nèi)存空間并且計算時間較長。最小二乘法可以極小化誤差的能量，但這種方法需要矩陣求逆運算，因而計算量較大。此外，該方法還存在數(shù)值穩(wěn)定性問題．特別是在設(shè)計長濾波器時該問題更為突出。Vaidyanathan和Nguyen將線性相位FIR濾波器的設(shè)計表示成一個實對稱正定矩陣的特征向量問題，通過求解該矩陣的最小特征值所對應(yīng)的特征向量即可得到濾波器的脈沖響應(yīng)函數(shù)。隨后該方法被推廣至任意FIR濾波器的設(shè)計，高階數(shù)字差分器的設(shè)計，IIR濾波器的設(shè)計，2維FIR濾波器的設(shè)計。該方法避免了復(fù)雜的矩陣求逆運算，可以用高效的迭代法僅僅求解一個特征向量。這個方法的另一個優(yōu)點是可以兼容濾波器的時域和頻域約束。但是該方法將零頻設(shè)為參考頻率，引入了不必要的附加約束。本文通過在通帶取平均的方法，避免了參考頻率的設(shè)定問題，并提高了線性相位FIR濾波器的設(shè)計性能。